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1、 第二章第二章 一元函数微分学一元函数微分学.导数与微分导数与微分我们再用极限来研究变量变化的快慢程度，这即是微分学中 的重要概念导数导数。1.1.定义定义(一)导数的概念如果函数 f(x)在点 x0 处的导数存在，那么称函数f(x)在点 x0 处可导，反之，称为不可导。左、右导数2.导数的几何意义 曲线的切线的斜率即为函数的导数。3.可导与连续的关系由导数定义可知：可导 连续(二)曲线的切线方程及法线方程(三)求导公式函数在任意点 x 处的导数仍是 x 的函数，称为 f(x)的导函数。1.基本导数表2.函数和、差、积、商的导数3.复合函数和反函数的导数(四)隐函数的导数利用先取对数再求导的求
2、导方法称为对数求导法。(五)对数求导法(六)高阶导数1.高阶导数概念为了形式上统一二阶及二阶以上阶导数统称为高阶导数(七)微分1.微分的定义微分是微积分学中又一基本概念，它和导数有着极其密切的关系。定义：设函数 y=f(x)在 x0 的某个邻域内有定义,如果 存在一个与 x 无关的量 A 及一个 x 的高阶无穷小o(x)，使得函数增量 y 可表示为 y=Ax+o(x)，则称函数 f(x)在点 x0 处微分存在,Ax 称为函数在 x0 处的微分，若函数 f(x)在点 x0 的微分存在，则称函数在该点可微。3.微分与导数的关系2.微分的几何意义为了形式上统一，记 dx=x，则 dy=f(x)dx任
3、意点 x 处的微分称为函数的微分，记作 dy 或 df(x)即 dy=f(x)x 4.基本微分表和微分运算法则微分运算法则5.微分形式不变性这一性质又称微分形式不变性。（一）洛必达法则（一）洛必达法则2.2.2.2.导数的应用导数的应用(二二)导数的应用导数的应用1.1.函数单调性的判别法函数单调性的判别法如果函数可导的话，导数与函数的增减有很大的关系。定理1的条件结论可改写成：列表讨论 一般来说，用导数为零的点来划分单调区间，有时，导数不存在的点也可用来划分单调区间。“”表示单调增加“”表示单调减少。2.函数的极值及其求法函数的极值及其求法极小值,极大值统称极值，极小点,极大点统称极值点。注意：极小值、极大值与最小值、最大值的差异。对可导函数来说，极值点必为驻点，而驻点不一定是极值点。什么条件下驻点必为极值点呢？x1x2y0 xy0 x1x2x3.3.曲线的凹曲线的凹凸性凸性用定义来判定函数 f(x)的图形是凹还是凸是非常困难的，下面给出充分条件。4.曲线的拐点曲线的拐点我们把曲线凹凸性发生转变的转折点称为拐点。2）水平渐近线1）垂直渐近线5.5.曲线的渐近线曲线的渐近线6.最大值、最小值问题最大值、最小值问题由闭区间上连续函数的性质知闭区间的连续函数必能取到最大值、最小值。最大(小)值必在端点或极大(小)点处取到。所以只要计算端点值和可能极值点的函数值加以比较即可。