《《经济数学》-第二章导数与微分.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《经济数学》-第二章导数与微分.ppt（26页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、第第2章章 导数与微分导数与微分1.1 导数的概念1.2 导数的运算1.3 微分结束结束前页前页结束结束后页后页定义定义 设设y=f(x)在点在点x0的某邻域内有定义，的某邻域内有定义，属于该邻域，记属于该邻域，记 若若存在，则称其极限值为存在，则称其极限值为y=f(x)在点在点x0 处的导数，记为处的导数，记为或或2.1 导数的概念导数的概念前页前页结束结束后页后页导数定义与下面的形式等价导数定义与下面的形式等价：若若y=f(x)在在x=x0 的导数存在，则称的导数存在，则称y=f(x)在点在点x0 处可导，反之称处可导，反之称y=f(x)在在x=x0 不可导，此时意不可导，此时意味着不存在
2、味着不存在.前页前页结束结束后页后页左导数与右导数左导数与右导数 左导数左导数:右导数右导数:显然可以用下面的形式来定义左、右导数显然可以用下面的形式来定义左、右导数定理定理3.1 y=f(x)在在x=x0可导的充分必要条件是可导的充分必要条件是y=f(x)在在x=x0 的左、右导数存在且相等的左、右导数存在且相等.前页前页结束结束后页后页导数的几何意义导数的几何意义 当自变量当自变量 从变化到从变化到 时，曲线时，曲线y=f(x)上上的点由的点由 变到变到此时此时 为割线两端点为割线两端点M0，M的横坐标之差，而的横坐标之差，而 则为则为M0，M 的纵坐标之差，的纵坐标之差，所以所以 即为过
3、即为过M0，M两点的两点的割线的斜率割线的斜率.M0M前页前页结束结束后页后页 曲线曲线y=f(x)在点在点M0处的切线即为割线处的切线即为割线M0M当当M沿沿曲曲线线y=f(x)无限接近无限接近 时的极限位置时的极限位置M0P，因而当因而当 时，割线斜率的极限值就是切线的斜率时，割线斜率的极限值就是切线的斜率.即：即：所以，导数所以，导数 的几何意义是的几何意义是曲线曲线y=f(x)在点在点M0(x0,f(x0)处的切线斜率处的切线斜率.M0M前页前页结束结束后页后页 设函数设函数y=f(x)在点处可导，则曲线在点处可导，则曲线y=f(x)在点处在点处的切线方程为：的切线方程为：而当而当 时
4、时,曲线曲线 在在 的切线方程为的切线方程为(即法线平行y轴).当当 时时,曲线曲线 在在 的法线的法线方程为方程为而当而当 时时,曲线曲线 在在 的法线方程为的法线方程为前页前页结束结束后页后页例例1 1 求函数求函数 的导数的导数解解:(1):(1)求增量求增量:(2)(2)算比值算比值:(3)(3)取极限取极限:同理可得同理可得:特别地特别地,.,.前页前页结束结束后页后页例例2 2 求曲线求曲线 在点在点 处的切线与法线方程处的切线与法线方程.解解:因为因为 ,由导数几何意义由导数几何意义,曲线曲线 在点在点 的切线与法线的斜率分别为的切线与法线的斜率分别为:于是所求的切线方程为于是所
5、求的切线方程为:即即法线方程为法线方程为:即前页前页结束结束后页后页2.1.2 2.1.2 可导性与连续性的关系可导性与连续性的关系定理定理2 若函数若函数y=f(x)在点在点x0处可导，处可导，则则f(x)在点在点x0 处连续处连续.前页前页结束结束后页后页例3 证明函数 在x=0处连续但不可导.证证 因为因为所以所以 在在x=0=0连续连续而而即函数即函数 在在x=0处左右导数不相等处左右导数不相等,从而在从而在 x=0不可导不可导.由此可见，函数在某点连续是函数在该点可由此可见，函数在某点连续是函数在该点可导的必要导的必要条件，但不是充分条件条件，但不是充分条件即可导定连续即可导定连续,
6、连续不一定可导连续不一定可导.前页前页结束结束后页后页 设函数设函数u(u(x)与与v(v(x)在点在点x处均可导，则处均可导，则:定理一定理一2.2.1 2.2.1 函数的和、差、积、商的求导法则函数的和、差、积、商的求导法则2.2 2.2 导数的运算导数的运算特别地特别地,如果如果可得公式可得公式前页前页结束结束后页后页注：法则（注：法则（1）（）（2）均可推广到有限）均可推广到有限多个可导函数的情形多个可导函数的情形例：例：设设u=u(x),v=v(x),w=w(x)在点在点x处均处均可导，则可导，则前页前页结束结束后页后页解：解：例例2 设设解：解：例例1前页前页结束结束后页后页解：解
7、：即即 类似可得类似可得例例3 求求y=tanx 的导数的导数前页前页结束结束后页后页基本导数公式表基本导数公式表2.2.2 基本初等函数的导数基本初等函数的导数前页前页结束结束后页后页解：解：例例4前页前页结束结束后页后页 定理二定理二如果函数如果函数在在x处可导，而函数处可导，而函数y=f(u)在对应的在对应的u处可导，处可导，那么复合函数那么复合函数在在x处可导，且有处可导，且有或或对于多次复合的函数，其求导公式类似，对于多次复合的函数，其求导公式类似，此法则也称链导法此法则也称链导法注：注：2.2.3 复合函数的导数复合函数的导数前页前页结束结束后页后页例例6解：解：解：解：例例5前页
8、前页结束结束后页后页1.隐函数的导数隐函数的导数例例7 求方程求方程 所确定的函数的导数所确定的函数的导数解：解：方程两端对方程两端对x求导得求导得2.2.5 隐函数的导数隐函数的导数隐函数即是由隐函数即是由 所确定的函数，其求导方法就是把所确定的函数，其求导方法就是把y看成看成x的函数，方程两端同时对的函数，方程两端同时对x求导，然后解出求导，然后解出 。即即前页前页结束结束后页后页例例8解：解：两边对两边对x求导得求导得前页前页结束结束后页后页 可以表示为可以表示为定义定义 设函数设函数在点在点的某邻域内有定义，的某邻域内有定义，处的增量处的增量在点在点如果函数如果函数处的微分，处的微分，
9、可微，可微，称为称为在点在点处处在点在点高阶的无穷小，则称函数高阶的无穷小，则称函数时时其中其中A是与是与无关的常数，无关的常数，是当是当比比2.3.1 微分的概念微分的概念2.3 2.3 微分微分前页前页结束结束后页后页由微分定义，函数由微分定义，函数f(x)在点在点x0处可微与可导等价，处可微与可导等价，且且,因而因而在点在点 x0处的微分可写成处的微分可写成于是函数于是函数通常把通常把记为记为，称自变量的微分，称自变量的微分，上式两端同除以自变量的微分，得上式两端同除以自变量的微分，得因此导数也称为微商因此导数也称为微商f(x)在点在点x0 处的微分又可写成处的微分又可写成d xf(x)在在(a,b)内任一点内任一点x处的微分记为处的微分记为记为记为前页前页结束结束后页后页解：解：例例1 求函数求函数 y=x2 在在 x=1,时的改变量和微分。时的改变量和微分。于是于是 在点在点处，处，前页前页结束结束后页后页2.3.3 微分的运算法则微分的运算法则1.微分的基本公式：微分的基本公式：前页前页结束结束后页后页2.2.微分的四则运算法则微分的四则运算法则设设u=u(x)，v=v(x)均可微均可微，则，则 （C 为常数）；为常数）；