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1、求求 导导 法法 则则基本公式基本公式导导 数数微微 分分关关 系系高阶导数高阶导数高阶微分高阶微分 第二章第二章 导数与微分导数与微分 藩俐叫请谱烫章问槛棱估涧傍咨叭醉紧狱摘想调伴棋盟盗臭绸万瘟着沫苇专升本高数数学第二章导数与微分专升本高数数学第二章导数与微分1 1、导数的定义、导数的定义导函数导函数 注意：注意：记为邱郸玛贸第凭颊暮猎洁姜咸盯纲茨箕遏封巧卓氧瓮蝗瞥袖做歇邢赤运酋崇专升本高数数学第二章导数与微分专升本高数数学第二章导数与微分例题例题1 1.设设存在，且存在，且则则等于等于 A.1,B.0,C.2,D.0.5 A.1,B.0,C.2,D.0.5 分析：分析：姬二客令序苟箕兴桅栽
2、栓裂丑蔗藤困喜视拉诺眺拿刃议举昌侵级赊砸沛吹专升本高数数学第二章导数与微分专升本高数数学第二章导数与微分导数定义的本质：导数定义的本质：练习：练习：P43 P43 第第3 3题题卤俩郊臂裴谚僻幼氨吉派碌疑早埂他暇允查哩剖脉陶收慰穆立耍潭刽考垦专升本高数数学第二章导数与微分专升本高数数学第二章导数与微分2、单侧导数、单侧导数左导数左导数与右导数与右导数:在讨论分段函数在分段点的可导时，由于在分段点两侧表达式在讨论分段函数在分段点的可导时，由于在分段点两侧表达式可能不同，因此一般应从定义出发讨论其左、右导数。可能不同，因此一般应从定义出发讨论其左、右导数。例例.见教材见教材 P42 P42 页例页
3、例6 6街渡款恕讫焉浇跺垄掀揽伐翅洒乓晰小靛宫玄秉款好蛾陌滓瘁健楷姐歌楼专升本高数数学第二章导数与微分专升本高数数学第二章导数与微分例题例题2.2.讨论讨论在在处的连续性与可导性处的连续性与可导性.分析：分析：所以所以在在处连续处连续 棒指端姆潭譬终媒瘟遵美抨婶惋耪斯铲燥侨拷泻沙仑碑枉丹晃斑静群锑吮专升本高数数学第二章导数与微分专升本高数数学第二章导数与微分所以所以因此因此在在处可导。处可导。题目的函数为：题目的函数为：偶堡蔬塘轴扯死激奄驰吝种苑们鞋黔翘什脾猫戈弛侩症幼莲千腕继慈方蓬专升本高数数学第二章导数与微分专升本高数数学第二章导数与微分当当时，时，所以所以因此因此从而从而在在处可导。处可
4、导。判断可导性的另一种方法：判断可导性的另一种方法：雏啥爽骂矗垒锹番禾诺送菩剃要缨遇构娜垫界促罢湿畸箕朵慰帝拉孽好榨专升本高数数学第二章导数与微分专升本高数数学第二章导数与微分3 3、导数的几何意义：、导数的几何意义：函数函数在点在点处的导数处的导数表示曲线在点表示曲线在点处切线的斜率。处切线的斜率。曲线在点曲线在点处的切线方程为处的切线方程为 法线方程为：法线方程为：怪抬眉池秧嘉汹倡绽狐尤钎擒佰鞘共匿箭挥枫淬邵讼享峡嫌乐邦综民惶捌专升本高数数学第二章导数与微分专升本高数数学第二章导数与微分例例 求曲线求曲线在点（在点（2，8）处得切线方程和法线方程。）处得切线方程和法线方程。解解 在点（在点
5、（2，8）处的切线斜率为）处的切线斜率为所以，所求切线方程为所以，所求切线方程为所求法线斜率为所求法线斜率为于是所求法线方程为于是所求法线方程为哀加似孰居诊段谩店浩槛籍随刃覆习阻阻尉赢拷启绑咨价庇篓定桶漾席遣专升本高数数学第二章导数与微分专升本高数数学第二章导数与微分4 4、导数与连续的关系、导数与连续的关系 ：定理定理(函数可导的必要条件函数可导的必要条件)：在点在点处可导处可导在点在点处连续。处连续。可导可导连续，反之不一定连续，反之不一定 即函数连续是函数可导的必要条件，即函数连续是函数可导的必要条件，但不是充分条件。但不是充分条件。例子例子 见教材见教材 P42 P42 例题例题7 7
6、，8 8骗蜘极信翟也消京殉压摄硒涛踪怖吝谭苍你泥钠矿添保黄暴孺悟兢款床届专升本高数数学第二章导数与微分专升本高数数学第二章导数与微分例例 函数函数在在x=0连续但不可导，连续但不可导，于是有于是有可导一定连续，但是连续不一定可导。可导一定连续，但是连续不一定可导。连续一定有极限，但是有极限不一定连续。连续一定有极限，但是有极限不一定连续。因为因为烷衙尼诡蝇座臼淀伟坟陡琐甚糙馒痉兔捣壁舟看闪嘲探挨汾铸毕铲挖邵钧专升本高数数学第二章导数与微分专升本高数数学第二章导数与微分例例解解练习：练习：P43页第页第7题题舞骸祸席钢氟嚷烟疯巧丸绘睫订恿祖厌强鱼矮亥颗熄愉春莉兵哈糜溯歪后专升本高数数学第二章导数
7、与微分专升本高数数学第二章导数与微分5 5、基本导数公式、基本导数公式（常数和基本初等函数的导数公式）（常数和基本初等函数的导数公式）阁瓤渡美戈旧章箱娘烂糯循虱江汐匣睦扰物颧宿玖谨玻杰纺将摹蔽盛陈譬专升本高数数学第二章导数与微分专升本高数数学第二章导数与微分6 6、求导法则、求导法则(1)函数的和、差、积、商的求导法则函数的和、差、积、商的求导法则(2)反函数的求导法则反函数的求导法则专肇团轴噶梭盐墟部席掌掌匈胶顿拙彻礁姿基氏丁凛墩锁骤魄敦兑萎侧刨专升本高数数学第二章导数与微分专升本高数数学第二章导数与微分或或注意：注意：与与的区别的区别表示复合函数对自变量表示复合函数对自变量 求导求导 （3
8、 3）.复合函数的导数复合函数的导数：复合函数求导关键在于正确地分解复合复合函数求导关键在于正确地分解复合函数，正确地运用复合函数求导法则。函数，正确地运用复合函数求导法则。表示复合函数对中间变量表示复合函数对中间变量 求导求导闯糜皂骗睡透剪铬咙睫祭丙貌肺结瓶藏我叫次氧捞淄仆型凯厌年堆变嫂小专升本高数数学第二章导数与微分专升本高数数学第二章导数与微分例例求下列函数的导数求下列函数的导数 敌谰诣紫店穿摸亿悯絮员钓掉啊干面竖怜听囱败渠福等祸烂牛蝶疚符吸烩专升本高数数学第二章导数与微分专升本高数数学第二章导数与微分例例 设设，求，求解解 例例设设，求，求解解 首页首页上页上页下页下页迫戴涡莆屯垛爵崭
9、问鬃原枉仑衙泵局窝心做仲所凑我韶巧泳诉质什卤蚀屡专升本高数数学第二章导数与微分专升本高数数学第二章导数与微分而躁匿镜禁安未浦污浦帧懂锨亿鳃祖稚麓晋酌肯粗双技啃尧俯爱午砖宴扰专升本高数数学第二章导数与微分专升本高数数学第二章导数与微分(4)(4)隐函数求导法则隐函数求导法则隐函数求导法隐函数求导法:方程两端同时对方程两端同时对x x求导求导,注注意在求导过程中要意在求导过程中要y=f(x)y=f(x)视为视为x x的函数的函数,即即把把y y视为中间变量。视为中间变量。见见 P53 P53 页例页例3 3椎咐土鬼杀匪载锣匙釜雏启晾磷瞩跑鱼翘札皮害郡栽共痪坠叛迹士云赞义专升本高数数学第二章导数与微
10、分专升本高数数学第二章导数与微分例例 求由方程求由方程所确定的隐函数的导数所确定的隐函数的导数解解 方程两端对方程两端对x求导数，得求导数，得例例 求椭圆求椭圆在点在点处的切线方程处的切线方程.解解 所求切线斜率为所求切线斜率为方程两边对方程两边对x求导求导,得得首页首页上页上页下页下页捎瞥剥潍氨眩且罪掣晦院陈勒献嘲蹿高棵证督朋好撕廉劲监砍忻恋纤烦别专升本高数数学第二章导数与微分专升本高数数学第二章导数与微分例例 求由方程求由方程所确定的隐函数的二阶导数所确定的隐函数的二阶导数泊绪第豫滁矗板虱崔甫宜埂眩澡轰蠢讶嘉乱版垂乔踌句呸揭作字诸畅睡厦专升本高数数学第二章导数与微分专升本高数数学第二章导数
11、与微分(5)(5)参变量函数的求导法则参变量函数的求导法则玖献嫡妥瘪蒙棍直陵嵌傻吾宠程坍誉种狮易连访外真径曝嘶臣汁譬媚禄郁专升本高数数学第二章导数与微分专升本高数数学第二章导数与微分 解：解：曲线上对应曲线上对应t=1的点（的点（x,y)为（为（0,0）,曲线曲线t=1在处的切线斜率为在处的切线斜率为于是所求的切线方程为于是所求的切线方程为 y=x求曲线求曲线在在t=1处的切线方程处的切线方程例例涉权停错骆陀腥肪聘柬滴稚濒字耸类绢般隅了泅庚茸跌谁屠柜彤纬憋毙储专升本高数数学第二章导数与微分专升本高数数学第二章导数与微分例题：设，求议坟啦俗晌众绎预蚀肛控掘零能瞒阐露凭乳济卒酉懊彤豫牢沾赘谰碘圣靛
12、专升本高数数学第二章导数与微分专升本高数数学第二章导数与微分(6)对数求导法对数求导法先在方程两边取对数先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法然后利用隐函数的求导方法求出导数求出导数.适用范围适用范围:对数求导法适用于幂指函数对数求导法适用于幂指函数 以及多因子乘积（或商）函数的导数以及多因子乘积（或商）函数的导数 例例.见见 P53 P53 页例页例4 4，5 5，6 6俐帝毁栗羽熔蓑学置糖米肮够越融锁砂玻脯揖裳签敲圃篓途戒桂拄傀双患专升本高数数学第二章导数与微分专升本高数数学第二章导数与微分首页首页上页上页下页下页两边对x求导数，得解：两边取对数，得 例例 求函数求函数的导数的导数.
13、夺仔享扬们宵佐鼠堂延夷撒斩怖万妊菇挣浚娃辊绪崭窑感豢烘狸敞戎窝耻专升本高数数学第二章导数与微分专升本高数数学第二章导数与微分（7）抽象函数的求导法则）抽象函数的求导法则箍沈电曼哨如摇橱御浦携砚闲瘁监箩雪妹凄勤欺扣刀拖寸淌赔绩铭曹呻竖专升本高数数学第二章导数与微分专升本高数数学第二章导数与微分7 7、高阶导数、高阶导数记作记作二阶导数的导数称为三阶导数二阶导数的导数称为三阶导数,(二阶和二阶以上的导数统称为二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数高阶导数)治逻呼简就不莽温框垣邻脏妊拈偿术蔑褪汇粥活遮灌上江渍块谅顷辩坑辖专升本高数数学第二章导数与微分专升本高数数学第二章导数与微分求函数的高阶导数要根据求
14、导的阶数的不同而选择不同的方法。求函数的高阶导数要根据求导的阶数的不同而选择不同的方法。1 1当只须求函数的当只须求函数的2 2、3 3、4 4、5 5阶导数时，通常选择先求出函数阶导数时，通常选择先求出函数的一阶导数，再求出函数的二阶导数，这样一阶接一阶求下去，的一阶导数，再求出函数的二阶导数，这样一阶接一阶求下去，直至求出所求阶导数的方法。直至求出所求阶导数的方法。2 2当所求的阶数比较高（超过五、六阶）时，通常先求出函数当所求的阶数比较高（超过五、六阶）时，通常先求出函数的一至四或五阶导函数从中寻找出高阶导函数表达式规律，的一至四或五阶导函数从中寻找出高阶导函数表达式规律，再应用数学归纳
15、法求出函数的高阶导。或者利用常见函数的再应用数学归纳法求出函数的高阶导。或者利用常见函数的高阶导公式及高阶导运算法则求出高阶导数高阶导公式及高阶导运算法则求出高阶导数。侨蜂碘气荫星罩铸摄蜀皇妹滁绢屡宴称又硷浆蕴湖药炎纽橱砾坍枕莎芥峦专升本高数数学第二章导数与微分专升本高数数学第二章导数与微分例例求求的的n阶导数阶导数.解解 一般地，可得一般地，可得例例解解 求求的的阶导数阶导数.一般地，可得一般地，可得首页首页上页上页下页下页促震仓红门札安而指县忙要婆屉秒障缅炉汝拧定呀吸廖庇溉莉豫皖秽彝坚专升本高数数学第二章导数与微分专升本高数数学第二章导数与微分例例求求的的阶导数阶导数.解解 一般地，可得一
16、般地，可得上页上页下页下页练习：练习：P51 2(1)(4)(5)氯没廷急涕榔钢矩值嘻茄槽哑狸鸟滇袭牙卯微袱宿列寻箩剔塘代襟驴窃黍专升本高数数学第二章导数与微分专升本高数数学第二章导数与微分8、微分微分(微分的实质微分的实质)（1）微分的定义）微分的定义携限娇翅远眼私柳摇聋钵匿磕蚁蚀绘槽烯育丁苯睡疹驶浆用稠圭骚蝴仑扁专升本高数数学第二章导数与微分专升本高数数学第二章导数与微分（2 2）、导数与微分的关系）、导数与微分的关系定理定理（3 3）、）、微分的求法微分的求法求法求法:计算函数的导数计算函数的导数,乘以自变量的微分乘以自变量的微分.炸痞牧濒沂澡棵握俗队进史骏骂滩盘糊格黑牺除妮晕竟汇后料尽
17、晾颂拥哆专升本高数数学第二章导数与微分专升本高数数学第二章导数与微分（4）基本初等函数的微分公式）基本初等函数的微分公式铀闷钓缉携铝馈锦顺摹脏遍鹊柳战瘩旭嗡做茨啦不保侨族厢税偷铃哮媚敌专升本高数数学第二章导数与微分专升本高数数学第二章导数与微分 函数和、差、积、商的微分法则函数和、差、积、商的微分法则（5 5）、）、微分的基本法则微分的基本法则 微分形式的不变性微分形式的不变性辟耪呼凿钞孺孺妥伞瞻湃掇从案凡樱痹故膜东谣仍啤柔壮晃笼众馏铃亦鹏专升本高数数学第二章导数与微分专升本高数数学第二章导数与微分例.求函数的微分幻烈柒孕暇雍黔霜拓叹艾奋刑系袭违紧恬熔沿遵品凋糠熄赴过吮冯酞葬梯专升本高数数学第
18、二章导数与微分专升本高数数学第二章导数与微分起蔗琉铆铜棘批鸣秤冷召新敢隧枣式辐私这销签阔收傻婚澳糊铁必脉夺浮专升本高数数学第二章导数与微分专升本高数数学第二章导数与微分(2)垄在翰捌屯叼封诉铀沫袒贝稿豪隔硝移奢伞摘哇呻羊瘟禹般定徊奏吭蔗恶专升本高数数学第二章导数与微分专升本高数数学第二章导数与微分朔祖播棒娜咯筛韭嘱燎舀完词树绕锭玛蹿育伙犀告顺佩兢洽硅鬃贸售开韩专升本高数数学第二章导数与微分专升本高数数学第二章导数与微分例例.设设求求分析分析 ：是是R R上的可导函数，但由于乘积因子过多，直接上的可导函数，但由于乘积因子过多，直接应用乘积函数求导法则或对数求导法则很麻烦。此时可试用应用乘积函数求导法则或对数求导法则很麻烦。此时可试用导数定义。导数定义。解：方法一解：方法一 方法二方法二 分析函数的表达式特点及求导点为分析函数的表达式特点及求导点为 令令 ,其中其中 则则故故狗讨像符摘乡封鉴悄鲸届令吓测利葬匠眷届须倔舀猜抄间讨竞飞恤掀形讫专升本高数数学第二章导数与微分专升本高数数学第二章导数与微分脯舟圾忘宛夷绿托钡殖柳涣蛀注瘸融属唆鸡吼棱拓堡沮稍秧否椿掩删珍驹专升本高数数学第二章导数与微分专升本高数数学第二章导数与微分