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1、分组求和法典题导入例 1(2011山东高考)等比数列an中，a1，a2，a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且 a1，a2，a3中的任何两个数不在下表的同一列.第一行第二行第三行(1)求数列an的通项公式；(2)若数列bn满足：bnan(1)nln an，求数列bn的前 2n 项和 S2n.自主解答(1)当 a13 时，不合题意；当 a12 时，当且仅当 a26，a318 时，符合题意；当 a110 时，不合题意因此 a12，a26，a318.所以公比 q3，故 an23n 1.第一列369第二列248第三列101418(2)因为 bnan(1)nln an23n 1(1)nln(23n
2、 1)23n 1(1)n(ln 2ln 3)(1)nnln 3，所以 S2nb1b2b2n2(1332n 1)111 12n(ln 2ln 3)132n123 12nln 32nln 332nnln 31.132n由题悟法分组转化法求和的常见类型(1)若 anbncn， 且bn， cn为等差或等比数列， 可采用分组求和法求an的前 n 项和bn，n为奇数，(2)通项公式为 an的数列，其中数列bn，cn是等比数列或等差数c ，n为偶数n列，可采用分组求和法求和以题试法1(2013威海模拟)已知数列xn的首项 x13，通项 xn2npnq(nN*，p，q 为常数)，且 x1，x4，x5成等差数列
3、求：(1)p，q 的值；(2)数列xn前 n 项和 Sn的公式解：(1)由 x13，得 2pq3，又因为 x424p4q，x525p5q，且 x1x52x4，得 325p5q25p8q，解得 p1，q1.nn1(2)由(1)，知 xn2nn，所以 Sn(2222n)(12n)2n 12.22.数列 112，314，518，7116，的前n项和Sn为()An2112n1 Bn2212nCn211 Dn2212n2n1解析由题意知已知数列的通项为a1n2n12n，111则Sn2nn222n111n212n.2答案C3.已知等差数列an的前n项和为Sn，且a35，S15225.(1)求数列an的通项
4、公式；(2)设bn2an2n，求数列bn的前n项和Tn.解析：(1)设等差数列an的首项为a1，公差为d，a12d5，由题意，得15a15142d225，1解得a11，d2，an2n1.(2)ba1n2n2n24n2n，Tnb1b2bn12n (44 4 )2(12n)24n1422n2n 4nn2n .6334.设an是公比为正数的等比数列，a12，a3a24.(1)求an的通项公式；(2)设bn是首项为 1，公差为 2 的等差数列，求数列anbn的前n项和Sn.解析(1)设q为等比数列an的公比，则由a12，a3a24 得 2q22q4，即q2q20，解得q2 或q1(舍去)，因此q2.所
5、以an的通项为an22n12n(nN N*)2nnn(2)Snn122n1n22.12211111111 124n1.5.求和 Sn12224解和式中第 k 项为111ak1 k12421k1211211k.221111211nSn22221112(111 ( 2n)222n个111n2212 n2n2.12n 1126.数列an的前 n 项和为 Sn， a11， a22， an2an1(1)n (nN N* *)， 则 S100_.答案2 600解析由 an2an1(1)n知 a2k2a2k2，a2k1a2k10，a1a3a5a2n11，数列a2k是等差数列，a2k2k.S100(a1a3a
6、5a99)(a2a4a6a100)10025050(246100)502 600.2n2n13925657.求和：(1)Sn248162n；111x2x222xnn2.(2)Snxxxn2n11解(1)由于 annn，n221111112233nnSn2222111123n(123n)2222111nnn122nn11n1.212212(2)当 x1 时，Sn4n.当 x1 时，111x2x222xnn2Snxxx111x222x424x2n22nxxx111242n(x2x4x2n)2nxxx22n22nx x 1x1x22nx 11x2x2n1x2n 212n.x2nx214nx1，2nS
7、nx 1x2n212nx1.2n2x x 18.已知数列an中， a160， an1an3，则这个数列前 30 项的绝对值的和是_答案765解析由题意知an是等差数列，an603(n1)3n63，令 an0，解得 n21.|a1|a2|a3|a30|(a1a2a20)(a21a30)60906330S302S20(606063)20765.29.数列an的前 n 项和 Snn24n2，则|a1|a2|a10|_.答案66解析当 n1 时，a1S11.当 n2 时，anSnSn12n5.1n1an.2n5n25令 2n50，得 n ，2当 n2 时，an0，|a1|a2|a10|(a1a2)(a
8、3a4a10)S102S266.10.数列an的通项公式为 an(1)n 1(4n3)，则它的前 100 项之和 S100等于()A200B200C400D400答案B解析S100(413)(423)(433)(41003)41 2 3 4 99 100 4(50)200.11.(2012课标全国)数列an满足 an1(1)nan2n1，则an的前 60 项和为_答案1 830解析an1(1)nan2n1，a21a1，a32a1，a47a1，a5a1，a69a1，a72a1，a815a1，a9a1，a1017a1，a112a1，a1223a1，a57a1，a58113a1，a592a1，a60
9、119a1，a1a2a60(a1a2a3a4)(a5a6a7a8)(a57a58a59a60)10264223415102341 830.212.已知数列 2 008,2 009,1，2 008，2 009，这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2 013 项之和 S2 013等于()A1B2 010C4 018D0答案C解析由已知得 anan1an1 (n2)，an1anan1.故数列的前 8 项依次为 2 008,2 009,1，2 008，2 009，1，2 008,2 009.由此可知数列为周期数列，周期为 6，且 S60.2 01363353，S2
10、013S34 018.13.设f (x) 1，利用课本中推导等差数列前n项和公式的方法，可求x2 2f (5) f (4) f (0). f (5) f (6)的值为A3 2B2C2 2D22解：由于f (x) f (1 x) 12，则原式 f (5) f (6) f (4) f (5)2222 f (6) f (5)1122 3 2，选 A14.数列an的前n项和为Sn， 满足：a11，3tSn(2t 3)Sn1 3t， 其中t 0，n N且n 2（）求证：数列an是等比数列；（）设数列an的公比为f (t)，数列bn满足b11,bn f (式.（）记Tn b1b2b2b3b3b4b4b5b
11、2n1b2nb2nb2n1,求证：Tn 解（）当n 2时，3tSn(2t 3)Sn1 3t ,3tSn1(2t 3)Sn 3t得：3tan1(2t 3)an 01)(n 2),求bn的通项bn120.9an12t 3（n 2）an3t又a11,3t(a1a2)(2t 3)a13t，解得：a22t 3,3t2t 3aa2a3n13ta1a2anan是首项为 1，公比为22t 3的等比数列。3t3b3bn1 22（）f (t) 2t 3,b n1 bn1,n33t33bn1bnbn12221,则bn1 (n 1)n 3333（）Tn b2(b1b3)b4(b3b5)b2n(b2n1b2n1)54n
12、 1n()442n(4n 6)433 (b2b4b2n) (2n23n)332994520当n 2时,2n23n为增,Tn 9915.1002992982972 2212的值是A2525B5050C10100D20200解：原式 (100 99)(9897)(21) 5050，选 B16.等差数列an的公差不为零，a47，a1，a2，a5成等比数列，数列Tn满足条件 Tna2a4a8a2n，则 Tn_.解析：设an的公差为 d0，由 a1，a2，a5成等比数列，得 a22a1a5，即(72d)2(73d)(7d)d2 或 d0(舍去)an7(n4)22n1.又a2n22n12n 11，Tn(221)(231)(241)(2n 11)(22232n 1)n2n 2n4.