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1、 15.3 15.3 等腰三角形等腰三角形 （第一课时）（第一课时）枞阳二中许实宏细心观察细心观察细心观察细心观察细心观察细心观察细心观察细心观察ABC定义：有两条边相等的三角形定义：有两条边相等的三角形, ,叫做等腰三角形叫做等腰三角形. .相等的两条边叫做相等的两条边叫做腰腰, ,另一条边叫做另一条边叫做底边底边, ,底边与腰的夹角叫做底边与腰的夹角叫做底角底角. .两腰所夹的角叫做两腰所夹的角叫做顶角顶角, ,腰腰腰腰底边底边顶角顶角底角底角回顾回顾 如图：把一张长方形纸片按图中的虚线对折如图：把一张长方形纸片按图中的虚线对折, 并剪去红线下方的部分并剪去红线下方的部分,再把它展再把它展
2、 开开,得得ABCACDB观察观察AB 和和AC有什么关系有什么关系?这个三角形是什么三角形这个三角形是什么三角形?AB=AC, AB=AC, ABCABC是等腰三角形是等腰三角形心灵手巧心灵手巧ABCD把剪出的等腰三角形把剪出的等腰三角形ABCABC沿折痕对折，找出沿折痕对折，找出其中重合的线段和角，填入下表：其中重合的线段和角，填入下表：重合的线段重合的线段重合的角重合的角AB=ACAB=ACBD=CDBD=CDAD=AD=ADADB=B=C CADB=ADB=ADCADCBAD=BAD=CADCAD细心观察细心观察上面剪出的等腰三角形时轴对称图形吗？上面剪出的等腰三角形时轴对称图形吗？性
3、质性质1(等边对等角等边对等角)等腰三角形的两个底角相等等腰三角形的两个底角相等。ABCD已知：已知：ABC中，中，AB=AC求证：求证：B= C想一想：想一想：1.如何证明两个角相等？如何证明两个角相等？ 议一议议一议：2.2.如何构造两个全等的三如何构造两个全等的三 角形？角形？大胆猜想大胆猜想已知：已知： 如图，在如图，在ABCABC中，中，AB=AC.AB=AC.求证：求证： B= B= C.C.ABC等腰三角形的两个底角相等。等腰三角形的两个底角相等。D证明：证明： 作底边的中线作底边的中线ADAD，则，则BD=CDBD=CDAB=AC ( AB=AC ( 已知已知 ) )BD=CD
4、 ( BD=CD ( 已作已作 ) )AD=AD=ADAD ( (公共边公共边) ) BAD BAD CAD (SSS).CAD (SSS). B= C (B= C (全等三角形的对应角相等全等三角形的对应角相等). ).在在BADBAD和和CADCAD中中方法一：作底边上的中线方法一：作底边上的中线已知：已知： 如图，在如图，在ABCABC中，中，AB=AC.AB=AC.求证：求证： B= B= C.C.ABC等腰三角形的两个底角相等。等腰三角形的两个底角相等。D证明：证明： 作顶角的平分线作顶角的平分线ADAD，则，则1=1=2 2AB=AC ( AB=AC ( 已知已知 ) )1=1=2
5、 ( 2 ( 已作已作 ) )AD=AD=ADAD ( (公共边公共边) ) BAD BAD CAD (SAS).CAD (SAS). B= C (B= C (全等三角形的对应角相等全等三角形的对应角相等). ).方法二：作顶角的平分线方法二：作顶角的平分线在在BADBAD和和CADCAD中中12已知：已知： 如图，在如图，在ABCABC中，中，AB=AC.AB=AC.求证：求证： B= B= C.C.ABC等腰三角形的两个底角相等。等腰三角形的两个底角相等。D证明：证明： 作底边的高线作底边的高线ADAD，则，则BDA=BDA=CDA=90CDA=90AB=AC ( AB=AC ( 已知已知
6、 ) )AD=AD=ADAD ( (公共边公共边) ) RtRtBADBAD RtRtCADCAD (HL). (HL). B= C (B= C (全等三角形的对应角相等全等三角形的对应角相等). ).方法三：作底边的高线方法三：作底边的高线在在RtRtBADBAD和和RtRtCADCAD中中1 1、等腰三角形一个底角为、等腰三角形一个底角为7070, ,它的顶角为它的顶角为_._.2 2、等腰三角形一个角为、等腰三角形一个角为7070, ,它的另外两个角为它的另外两个角为 _. _.3 3、等腰三角形一个角为、等腰三角形一个角为110110, ,它的另外两个角为它的另外两个角为_._. 顶角
7、度数顶角度数+2+2底角度数底角度数=180=180 0 0顶角度数顶角度数180180 0 0底角度数底角度数9090结论结论: : 在等腰三角形中在等腰三角形中, ,40 35 ，35 70,40 或或 55,554.4.在在ABCABC中，中，AB=BC=AC,AB=BC=AC,则：则：A=A=_， B= B= _ ， C= C= _。606060推论：等边三角形的三个内角都相等，并且推论：等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于每个角都等于6060。(简称三线合一)ABCD性质性质2 2 等腰三角形的等腰三角形的顶角顶角平分线平分线与与底边底边上的中线上的中线，底边底边上的高上的高
8、互相重合互相重合小组讨论小组讨论思考：思考： 由由BAD CAD，除了可以得到，除了可以得到 B= C之外，之外，你还可以得到那些相等的线段和相等的你还可以得到那些相等的线段和相等的角？和你的同伴交流一下，看看你有什么新的角？和你的同伴交流一下，看看你有什么新的发现？发现？ 性质性质3 3 等腰三角形是轴对称图形，其顶角的平分等腰三角形是轴对称图形，其顶角的平分线（底边上的中线、底边上的高）所在的直线就是线（底边上的中线、底边上的高）所在的直线就是等腰三角形的对称轴。等腰三角形的对称轴。根据等腰三角形性质根据等腰三角形性质2 2填空填空, ,在在ABCABC中，中， AB=AC AB=AC，
9、(1) ADBC(1) ADBC，_ = _ = _，_= _. _= _. (2) AD(2) AD是中线，是中线，_ _ ，_ =_._ =_.(3) AD(3) AD是角平分线，是角平分线，_ _ _ _ ，_ =_._ =_.ABCDBADCADCADBDCDADBCBDBADBCADCD 知一线得二线知一线得二线 “三线合一三线合一”可以帮助我可以帮助我们解决线段的垂直、相等们解决线段的垂直、相等以及角的相等问题。以及角的相等问题。 例例1 如图，在如图，在ABC中中 ，AB=AC，点，点D在在AC上，且上，且BD=BC=AD，求，求ABC各角的度数。各角的度数。1 1、图中有哪几个
10、等腰三角形？、图中有哪几个等腰三角形？ABCDx2x2x2xABC ABC ABD ABD BDCBDC2 2、有哪些相等的角？、有哪些相等的角？ABC=ABC=ACB=ACB=BDC BDC A=A=ABDABD3 3、这两组相等的角之间还有什么关、这两组相等的角之间还有什么关系？系？BDC=2BDC=2 A A ABC+ACB+ A=180 ABC+ACB+ A=180 例2：已知，如图AB=AC，AD=AE。求证：BD=CE。证明：作AFAC于F点 AB=AC BF=CF 又AD=AE DF=EF BF-DF=CF-EF 即 BD=CEF1.如图在ABC中，点D、E是底边BC上的两点，且
11、BD=AD=DE=AE=CE，求BAC的度数。解：解：AD=DE=AEAD=DE=AE ADE=ADE=AED=60AED=60 AD=BD AD=BD B=B=BADBAD B+B+BAD=BAD=ADE=60ADE=60 B=30B=30 同理：同理：=30=30 BAC= BAC=180180B B= =120120作业作业: : 教科书习题教科书习题1 1.3.3 第第1 1、题、题如图，如图，AOB是一钢架，且是一钢架，且AOB=10，为了使钢架更坚固，为了使钢架更坚固，需在其内部添一些钢管需在其内部添一些钢管EF、FM、MH，添加的钢管长度，添加的钢管长度都与都与OE相等，添加这样的钢管相等，添加这样的钢管4根时，求根时，求AHB的度数，若的度数，若按照这种方式添加钢管，最多可以添加多少根钢管？按照这种方式添加钢管，最多可以添加多少根钢管？