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1、函数的基本性质内容提要: 1、函数的单调性 2、函数的奇偶性 3、函数的对称性 4、函数的周期性函数的基本性质（1）单调性 1、定义：（特别地：对“任意”的理解即“连续”） 2、证明单调性或求单调性常用方法： （1）定义法 （2）求导法 （3）数形结合（图象）法例：、不能确定、增函数或减函数；、减函数；、增函数；上为，上为增函数，则在，上为增函数，在，、若函数在的取值求）（是增函数，且，、若函数在）例），（）（）（性：、判断下列函数的单调的单调性，（）（、求：）上是增函数，在（）（、求证：）的单调性，）在（）（、判断DCBAcacbbaxxfxfpxxyxxybabxxaxfxxfRaaxxf
2、6:) 1(111512331214)0, 03011212223D3、复合函数的单调区间求法表解法）的单调区间（、求：的单调区间、求例：xxyxxy232log2231的取值范围上为减函数，求：在、的取值范围上为减函数，求：在：练习的取值范围）为减函数，求：，在（：例、带字母参数复合函数的单调区间为上单调递减则在练习：的单调性求：若例、较复杂题型aaaxxyaaxyaaaxxyxfyRxfyxgxfxgxxxfa, 2)3(log21 , 0)2(log13-1-)(log15_)3()()()2()(28)(:142212222作业1:65221222122log13)0, 020111x
3、xyxxybabxxaxfxxf）（）（）（）（间和值域、求下列函数的单调区的单调性，（）（、求：）上是增函数，在（）（、求证：函数的基本性质（2）奇偶性 1、定义及类型：（特别地：（1）f（x）0时，为既奇又偶：例： （2）判断非奇非偶：f（-x）-f（x）且 f（-x )f（x）；或定义域不关于原点对称) 2、求函数奇偶性注意事项： （1）先求定义域，判断其是否关于原点对称 （2）注意定义式的变通： f（-x）+f（x）=0或f（-x）/f（x）=-1为奇函数； f（-x）-f（x）=0或f（-x）/f（x）=1为偶函数。2211)(xxxf 3、注意对称性质的应用： 奇函数关于原点对称；
4、偶函数关于y轴对称 4、注意运算性质的应用： （1）奇函数有f（0）=0； （2）奇奇=偶；奇+（-）奇=奇； 偶偶=偶；偶+（-）偶=偶； 奇偶=奇； (3)复合函数的奇偶性只和x有关:如f(x+1)是奇函数即有f(-x+1)=- f(x+1)题型训练： （1）定义题：（P24例2） （2）单调、奇偶性质综合题：（P24例3） （3）利用奇偶性质求函数解析式： 步骤： （1）按所求设x； （2）把x化成已知条件取值范围； （3）代入条件； （4）利用奇偶性质求结果。的解析式求时上为奇函数，且）在（例：已知：)(:12)(,023xfxxxfxRxf4、综合训练；的递减区间是时则时）为奇函数，
5、当（，已知且）的定义域为（、函数数、既是奇函数又是偶函、非奇非偶函数；、偶函数；、奇函数；）是（）则（）（）（，）定义域为（，、若）（）（、）（）（、）（）（、）（）（、）是奇函数，则（、定、由、非单调函数；、减函数；、增函数；是，）在区间（为偶函数，则）（）（、若、减函数且最大值为；、减函数且最小值为、增函数且最大值为；、增函数且最小值为上是，）在区间（则，为上是增函数，且最小值，）在区间（全国）奇函数、（)(,1, 12)(,11154; 0; 0; 0; 0325321255553757391122xfxxxxfxxfxRxfDCBAxfyfxfyxfRxfRyxxfxfDxfxfCxf
6、xfBxfxfAxfmDCBAxfmxxmxfDCBAxfxfBACAxx7/4对称问题对称问题一、特殊对称：一、特殊对称：1、点关于、点关于x轴，轴，y轴轴，O对称；对称；2、线、线关于关于x轴，轴，y轴，轴，O对称；对称；3、点关于、点关于y=x对称；对称；4、线关于、线关于y=x对称对称注：注：1、点关于点的问题是对称中、点关于点的问题是对称中最基本的问题，其实质是最基本的问题，其实质是中点坐中点坐标公式标公式问题。问题。2、点关于线对称问题关键是利用、点关于线对称问题关键是利用好好垂直平分垂直平分。3、线关于点对称的关键是：用好、线关于点对称的关键是：用好两点式两点式二、普通对称：二、
7、普通对称：1、点关于点对称；、点关于点对称；2、点关于线对称；、点关于线对称；3、线关于点对称；、线关于点对称；4、线关于线对称；、线关于线对称；3)对称变换对称变换yf(x)与与yf(x)的图象关于的图象关于 对称对称yf(x)与与yf(x)的图象关于的图象关于 对称对称yf(x)与与yf(x)的图象关于的图象关于 对对称称（4）y=f(x)关于关于y=x对称得对称得_（5）y=f(x)关于关于y=-x对称得对称得_（6）y=f(x)关于关于x=a对称得对称得_（7）y=f(x)关于关于(a,b)对称得对称得_函数基本性质（函数基本性质（3 3）对称性）对称性y轴轴x轴轴原点原点预习练习例1
8、例例上一页下一页 返回复习称后的解析式单位，再作关于原点对向左平移、如何变得？由、）对称的方程是关于点（、对称的方程是关于直线、对称的方程是关于、对称的方程是关于、关于原点对称的方程是、轴对称的方程是关于、轴对称的方程是关于、1lg9lg) 1lg()(8_,3212)(7_312)(6_12)(5_12)(4_12)(3_12)(2_12)(1xyxyxxfxxfxxxfxyxxfxyxxfxxfyxxfxxxf函数的基本性质（3）对称性证明 例:已知函数f(x)定义在R上,且f(a+x)=f(a-x) 求证:y=f(x)的图象关于直线x=a对称 证明函数y=f(x)的图象关于对称的思路:
9、(1)先在y=f(x)的图象上任取一点(x0,y0) (2)求出(x0,y0)关于的对称点(x ,y ) (3)证明(x ,y )满足 方程 练：对于定义在上的函数（）若（）（-），求证： y=f(x)的图象关于（，）成中心对称_)4(, 0)4(),(,21)(0511ffxfxf则且存在反函数）对称的图像关于点（湖南）设例：（-2作业：作业：1已知点已知点A(5,8),B(4,1)试求试求A点关于点关于B点的对称点。点的对称点。2.求直线求直线3x-y-4=0关于点关于点P(2,1)对称的直对称的直线线l的方程及关于直线的方程及关于直线x=2对称方程对称方程3、求：点求：点P(2,1)关于
10、直线关于直线3x-y-4=0对称的对对称的对称点的坐标。称点的坐标。4、求直线、求直线3x-y-4=0关于直线关于直线x-y+4=0对称的直对称的直线线l的方程。的方程。w5、一光线从、一光线从A（3，2）出发，经）出发，经x轴反射通轴反射通过过B（-1，6），求：入射光线所在的直线方程。），求：入射光线所在的直线方程。 函数的基本性质（4）周期性 （一） 主要知识： 周期函数的定义：对于定义域内的每一个，都存在非零常数，使得 恒成立，则称函数 具有周期性，T 叫做 的一个周期， 则KT ( )也是的周期，所有周期中的最小正数叫的最小正周期.几种特殊的抽象函数：具有周期性的抽象函数： 函数满足
11、对定义域内任一实数（其中为常数）, 则 是以T=a为周期的周期函数； 则 是以T=2a为周期的周期函数； 则 是以T=2a为周期的周期函数； 则 是 T=2a 以为周期的周期函数； 则 是以T=2a 为周期的周期函数.()( )f x Tf x( )f x( )f x,0k Zk fxfxa yf x f x af x 1f x af xf x af x a1( )()1( )f xf x af x yf x yf x yf x yf x , 则f(x)是以为T=4a周期的周期函数. ,则f(x)是以为T=4a周期的周期函数.函数y=f(x)满足 （a0），若f(x) 为奇函数，则其周期为T=
12、4a，若f(x)为偶函数，则其周期为T=2a.函数y=f(x)的图象关于直线x=a和x=b都对称，(ab)则函数是以2(b-a)为周期的周期函数；函数y=f(x)的图象关于A(a,y0), B(b,y0),两点都对称， (ab)则函数是以 2(b-a) 为周期的周期函数；函数y=f(x)的图象关于A(a,y0)和直线x=b对称， (ab)则函数是以 4(b-a)为周期的周期函数；(12)函数y=f(x)的图象满足f(a+x)+f(b+x)=0， (ab)则函数是以 2(b-a)为周期的周期函数；1( )()1( )f xf x af x1( )()1( )f xf x af x()()f a xf a x 例题：为奇函数、为奇函数、为偶函数、都是奇函数则与，若的定义域为全国理）函数：（例)3(D)2()()(B)(A) 1() 1(R)(091xfxfxfCxfxfxfxfxf函数的基本性质（4）周期性 例2：（）为偶函数且是定义在实数集上的周期函数，周期为，当时，（），则当-，时，求：（） 例3：（广东题，本小题满分14分） 设函数 且在闭区间0，7上，只有 （）试判断函数的奇偶性； （）试求方程在闭区间2005，2005上的根的个数，并证明你的结论.)7()7(),2()2(),()(xfxfxfxfxf上满足在. 0)3() 1 ( ff