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1、关于函数的基本性质第一页，讲稿共三十七页哦知识点一 函数的单调性1.1.单调性单调性(1)(1)单调函数的定义单调函数的定义增函数增函数减函数减函数定定义义一般地，设函数一般地，设函数f f(x x)的定义域为的定义域为I I.如果对于定义如果对于定义域域I I内某个区间内某个区间D D上的任意两个自变量上的任意两个自变量x x1 1，x x2 2，当，当x x1 1 x x2 2时，都有时，都有 ，那么就说函数，那么就说函数f f(x x)在在区间区间D D上是增函数上是增函数 ，那么就说函数，那么就说函数f f(x x)在在区间区间D D上是减函数上是减函数f(x1)f(x2)f(x1)0
2、 x1,+),f(x)0恒成立，试求实恒成立，试求实 数数a a的取值范围的取值范围.思维启迪思维启迪 第第(1)(1)问问可可先证明函数先证明函数f(x)f(x)在在11,+)上上的单调性的单调性,然后然后利用函数的单调性求解，利用函数的单调性求解，对对于于第第 (2)(2)问问可采可采用转化为求函数用转化为求函数f(x)f(x)在在11,+)上上的的最小最小 值值大大于于0 0的的问问题题来来解解决决.还还可以使可以使用用分离参分离参数数法法第十三页，讲稿共三十七页哦2 2、比较函数值或两个自变量的大小比较函数值或两个自变量的大小.比比较较函函数数值值的的大大小小，应应将将自自变变量量转转
3、化化到到同同一一个个单单调调区区间间内，然后利用函数的单调性解决内，然后利用函数的单调性解决.3 3、解不等式解不等式.在在求求解解与与抽抽象象函函数数有有关关的的不不等等式式时时，往往往往是是利利用用函函数数的的单单调调性性将将“f f”符符号号脱脱掉掉，使使其其转转化化为为具具体体的的不不等等式式求求解解.此此时时应应特别注意函数的定义域特别注意函数的定义域.上述两类题型常与函数的奇偶性相结合考查上述两类题型常与函数的奇偶性相结合考查第十四页，讲稿共三十七页哦4 4、利用单调性求参数、利用单调性求参数.视视参参数数为为已已知知数数，依依据据函函数数的的图图象象或或单单调调性性定定义义，确确
4、定定函函数数的单调区间，与已知单调区间比较求参数的单调区间，与已知单调区间比较求参数.例例1.1.函数函数f f(x x)|x xa a|在在(，22上单调递减，上单调递减，则则a a的取值范围是的取值范围是 例例2.2.已知已知 是是R R上的减函数，那么上的减函数，那么a a的的取值范围是取值范围是第十五页，讲稿共三十七页哦题型三题型三 函数的奇偶性判断函数的奇偶性判断(1)(1)定义法定义法(2)(2)图象法图象法(3)(3)性质法性质法若若f f(x x)，g g(x x)在在其其公公共共定定义义域域上上具具有有奇奇偶偶性性，则则奇奇奇奇奇奇；奇奇奇奇偶偶，偶偶偶，偶偶偶偶，偶偶偶，奇
5、偶偶，奇偶奇偶奇.第十六页，讲稿共三十七页哦非奇非偶函数非奇非偶函数奇函数奇函数奇函数奇函数奇函数奇函数首先必须判断函数的定义域是否关于原点对称首先必须判断函数的定义域是否关于原点对称（4）可以用定义判断）可以用定义判断也可以画图也可以画图偶函数偶函数第十七页，讲稿共三十七页哦题型四题型四 函数奇偶性的应用函数奇偶性的应用重点类型重点类型解决方法解决方法求函数值求函数值或解析式或解析式把待求值或自变量把待求值或自变量x x利用奇偶性转化为已知利用奇偶性转化为已知区间的函数值或解析式求解区间的函数值或解析式求解.求参数值求参数值利用待定系数法求解利用待定系数法求解.根据根据f f(x x)f f
6、(x x)得到关于待求参数的恒等式，由系数的对得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值等性得参数的值.第十八页，讲稿共三十七页哦解决有关函数解决有关函数图象的问题图象的问题利用奇函数的图象关于原点对称，偶函数利用奇函数的图象关于原点对称，偶函数 的的图象关于图象关于y y轴对称，画出另一半对称区间上的轴对称，画出另一半对称区间上的图象图象.奇偶性与其他奇偶性与其他性质的综合应性质的综合应用用(1)(1)奇函数在关于原点对称的区间上单调性相奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上单调性同，偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反相反(2)(2)在利用函数的性质
7、求函数值或比较函数值在利用函数的性质求函数值或比较函数值的大小时，要综合利用函数的周期性与奇偶的大小时，要综合利用函数的周期性与奇偶性，把自变量化归到已知区间中，然后根据性，把自变量化归到已知区间中，然后根据相关的性质求解相关的性质求解.第十九页，讲稿共三十七页哦1 1、求函数值或解析式求函数值或解析式解决此类题型分三步：解决此类题型分三步：将所求解析式的自变量的范围转将所求解析式的自变量的范围转化为已知解析式中自变量的范围；化为已知解析式中自变量的范围；将转化后的自变量代入将转化后的自变量代入已知解析式；已知解析式；利用函数的奇偶性求出解析式利用函数的奇偶性求出解析式第二十页，讲稿共三十七页
8、哦奇偶性两个性质：奇偶性两个性质：（1 1）若函数具有奇偶性，则定义域关于原点对称）若函数具有奇偶性，则定义域关于原点对称例例1 1、若若函函数数f f(x x)axax2 2bxbx3 3a ab b是是偶偶函函数数，定定义义域域为为 a a1 1，2 2a a，则，则a a_，b b_._.2 2、已知函数的奇偶性，求参数、已知函数的奇偶性，求参数.第二十一页，讲稿共三十七页哦第二十二页，讲稿共三十七页哦若已知函数的奇偶性，求参数的值若已知函数的奇偶性，求参数的值.可从以下几可从以下几个角度来思考：个角度来思考：从函数的定义域的角度，即函数的奇偶性的从函数的定义域的角度，即函数的奇偶性的前
9、提条件是定义域关于原点对称；前提条件是定义域关于原点对称；从函数解析式的角度，即从函数解析式的角度，即f(-x)f(-x)与与f(x)f(x)的关系；的关系；从赋值的角度，即用特殊值代入求解从赋值的角度，即用特殊值代入求解.第二十三页，讲稿共三十七页哦3 3、奇函数的特别应用、奇函数的特别应用第二十四页，讲稿共三十七页哦 例例1 1、下下列列函函数数中中，在在其其定定义义域域内内既既是是偶偶函函数数，又又在在(，0)0)上单调递增的函数是上单调递增的函数是()4 4、函数奇偶性、单调性的综合应用、函数奇偶性、单调性的综合应用方法方法1 1：利用代数思想解题：利用代数思想解题方法方法2 2：利用
10、图像解题：利用图像解题第二十五页，讲稿共三十七页哦第二十六页，讲稿共三十七页哦答案(1)C(2)(，13，)点评解题(1)的关键是会判断复合函数的单调性；解题(2)的关键是利用奇偶性和单调性的性质画出草图.第二十七页，讲稿共三十七页哦分析：利用函数奇偶性与单调性之间的关系可确定函数分析：利用函数奇偶性与单调性之间的关系可确定函数f(x)f(x)在在R R上是单调递增的，再利用单调性解不等式上是单调递增的，再利用单调性解不等式.第二十八页，讲稿共三十七页哦题型五、函数的周期性解题方略题型五、函数的周期性解题方略1.1.有关函数周期性的常用结论有关函数周期性的常用结论2.2.判判断断函函数数的的周
11、周期期只只需需证证明明f f(x xT T)f f(x x)()(T T0)0)，便便可可证证明明函函数数是是周周期期函函数数，且且周周期期为为T T，根根据据函函数数的的周周期期性性，可可以以由由函函数数局局部部性性质质得得到到函函数数的的整整体体性性质质，即即周周期期性性与与奇奇偶偶性性都都具具有有将将未未知知区区间间上上的的问问题题转转化化到到已知区间的功能已知区间的功能.第二十九页，讲稿共三十七页哦第三十页，讲稿共三十七页哦小练小练：1.1.设设偶偶函函数数f f(x x)为为(0,+)(0,+)上上的的减减函函数数，则则f f(2),2),f f(),),f f(3)(3)的大小顺序
12、是的大小顺序是 2.2.已知二次函数已知二次函数 为偶函数，则为偶函数，则f f(x x)在在(5 5，2)2)上是单调上是单调 函数函数图图 像像第三十一页，讲稿共三十七页哦5 5、已知、已知f(x)f(x)是是R R上的奇函数，且上的奇函数，且f(-5)=5f(-5)=5，则则f(5)=_f(5)=_6.6.已知函数已知函数 ，常数，常数a a、b Rb R，且，且f f（4 4）=0=0，则，则f f（-4-4）=7 7已知已知 为奇函数，为奇函数，求求a,ba,b第三十二页，讲稿共三十七页哦 函数性质的综合应用问题解题策略函数性质的综合应用问题解题策略 函函数数f f(x x)的的定定
13、义义域域D D x x|x x00，且且满满足足对对于于任任意意x x1 1，x x2 2D D.有有f f(x x1 1x x2 2)f f(x x1 1)f f(x x2 2).).(1)(1)求求f f(1)(1)的值；的值；(2)(2)判断判断f f(x x)的奇偶性并证明；的奇偶性并证明；(3)(3)如如果果f f(4)(4)1 1，f f(3(3x x1)1)f f(2(2x x6)36)3，且且f f(x x)在在(0(0，)上是增函数，求上是增函数，求x x的取值范围的取值范围.第三十三页，讲稿共三十七页哦解题指导解(1)令x1x21，有f(11)f(1)f(1)，解得f(1)
14、0.(2)f(x)为偶函数，证明如下：令x1x21，有f(1)(1)f(1)f(1)，解得f(1)0.令x11，x2x，有f(x)f(1)f(x)，第三十四页，讲稿共三十七页哦f(x)f(x).f(x)为偶函数.(3)f(44)f(4)f(4)2，f(164)f(16)f(4)3.由f(3x1)f(2x6)3，变形为f(3x1)(2x6)f(64).(*)f(x)为偶函数，f(x)f(x)f(|x|).不等式(*)等价于f|(3x1)(2x6)|f(64).又f(x)在(0，)上是增函数，|(3x1)(2x6)|64，且(3x1)(2x6)0.第三十五页，讲稿共三十七页哦第三十六页，讲稿共三十七页哦感谢大家观看2022/9/272022/9/27第三十七页，讲稿共三十七页哦