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1、函数的基本性质1.函数的单调性函数的单调性(1)单调函数的定义单调函数的定义设函数设函数f(x)的定义域为的定义域为I，如果对于定，如果对于定义域义域I内某个区间内某个区间D上的任意两个自变量的上的任意两个自变量的值值x1，x2，当，当x1x2时，时，若若 ，则，则f(x)在区间在区间D上是上是增函数增函数若若 ，则，则f(x)在区间在区间D上是上是减函数减函数基础知识梳理基础知识梳理f(x1)f(x2) (2)单调区间的定义单调区间的定义 若函数若函数f(x)在区间在区间D上是上是 或或 ，则称函数，则称函数f(x)在这一区间上在这一区间上具有具有(严格的严格的)单调性，单调性， 叫做叫做f
2、(x)的单调区间的单调区间基础知识梳理基础知识梳理增函数增函数减函数减函数区间区间D基础知识梳理基础知识梳理1.单调区间与函数定义域有单调区间与函数定义域有何关系？何关系？【思考思考提示提示】单调区间单调区间是定义域的子区间是定义域的子区间2函数的最值函数的最值(1)设函数设函数yf(x)的定义域为的定义域为I，如果存在实数如果存在实数M，满足：，满足：对于任意的对于任意的xI，都有，都有 .存在存在x0I，使得，使得 .则称则称M是是f(x)的最大值的最大值基础知识梳理基础知识梳理f(x)Mf(x0)M(2)设函数设函数yf(x)的定义域为的定义域为I，如果存在实数如果存在实数M，满足：，满
3、足：对于任意的对于任意的xI，都有，都有 .存在存在x0I，使得，使得 .则称则称M是是f(x)的最小值的最小值基础知识梳理基础知识梳理f(x)Mf(x0)M基础知识梳理基础知识梳理2.函数的最值与函数值域有何函数的最值与函数值域有何关系？关系？【思考思考提示提示】函数的最值函数的最值与函数的值域是关联的，求出了闭与函数的值域是关联的，求出了闭区间上连续函数的值域也就有了函区间上连续函数的值域也就有了函数的最值，但只有了函数的最大数的最值，但只有了函数的最大 (小小)值，未必能求出函数的值域值，未必能求出函数的值域3函数的奇偶性函数的奇偶性基础知识梳理基础知识梳理奇偶性奇偶性定义定义图象特点图
4、象特点偶函数偶函数如果对于函数如果对于函数f(x)的定义域内任的定义域内任意一个意一个x，都有，都有f(x)f(x)，那，那么函数么函数f(x)是偶函数是偶函数关于关于对称对称奇函数奇函数如果对于函数如果对于函数f(x)的定义域内任的定义域内任意一个意一个x，都有，都有f(x)f(x)，那么函数那么函数f(x)是奇函数是奇函数关于关于对称对称y轴轴原点原点基础知识梳理基础知识梳理3.奇偶函数的定义域有何特点？奇偶函数的定义域有何特点？【思考思考提示提示】若函数若函数f(x)具具有奇偶性，则有奇偶性，则f(x)的定义域关于原点的定义域关于原点对称反之，若函数的定义域不关于对称反之，若函数的定义域
5、不关于原点对称，则该函数无奇偶性原点对称，则该函数无奇偶性4奇偶函数的性质奇偶函数的性质(1)奇函数在关于原点对称的区奇函数在关于原点对称的区间上的单调性间上的单调性 ，偶函数在关于，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性原点对称的区间上的单调性 (填填“相同相同”、“相反相反”)基础知识梳理基础知识梳理相同相同相反相反1在在(，0)上是减函数的是上是减函数的是()答案：答案：D三基能力强化三基能力强化2已知已知f(x)ax2bx是定义在是定义在a1,2a上的偶函数，那么上的偶函数，那么ab的的值是值是()三基能力强化三基能力强化答案：答案：B三基能力强化三基能力强化A(，0)(1，) B( ,
6、1)C0,1) D(0,2) 3已知函数已知函数 ，若若f(2a )f(a)则实数则实数 a 的取值范围是的取值范围是( ) 0,)(2xxxf答案：答案：C三基能力强化三基能力强化变式训练变式训练已知函数已知函数 ，若若f(2a )f(a)则实数则实数 a 的取值范围是的取值范围是( ) 2)(xxfA(，0)(1，) B( ,1)C0,1) D(0,2) 答案：答案：B4函数函数f(x)x22x，xa21,4的最大值为的最大值为_答案：答案：8三基能力强化三基能力强化若若f(x)是偶函数，则是偶函数，则f(x)f(|x|)，反之亦真，反之亦真若若f(x)为奇函数，且为奇函数，且0在定义域在
7、定义域内，则内，则f(0)0.若若f(x)0且且f(x)的定义域关于的定义域关于原点对称，则原点对称，则f(x)既是奇函数又是偶既是奇函数又是偶函数函数规律方法总结规律方法总结答案：答案：2x3三基能力强化三基能力强化函数的单调性用以揭示随着自函数的单调性用以揭示随着自变量的增大，函数值的增大与减小变量的增大，函数值的增大与减小的规律在定义区间上任取的规律在定义区间上任取x1、x2，且，且x1x2的条件下，判断或证明的条件下，判断或证明f(x1)f(x2)，这一过程，这一过程就是实施不等式的变换过程就是实施不等式的变换过程课堂互动讲练课堂互动讲练考点一考点一函数单调性的判断与证明函数单调性的判
8、断与证明课堂互动讲练课堂互动讲练【思路点拨思路点拨】利用定义进利用定义进行判断，主要判定行判断，主要判定f(x2)f(x1)的的正负正负试讨论函数试讨论函数f(x)axx1，x(1,1)的单调性的单调性(其中其中 a0) 【规律小结规律小结】用定义证明函数用定义证明函数单调性的一般步骤：单调性的一般步骤：(1)任取：即设任取：即设x1，x2是该区间内是该区间内的任意两个值，且的任意两个值，且x1x2.(2)作差：即作差：即f(x2)f(x1)(或或f(x1)f(x2).(3)变形变形:通过通分、配方、因式通过通分、配方、因式分解等方法，向有利于判断差的符号分解等方法，向有利于判断差的符号的方向
9、变形的方向变形课堂互动讲练课堂互动讲练(3)定号：根据给定的区间和定号：根据给定的区间和x2x1的符号，确定差的符号，确定差f(x2)f(x1)(或或f(x1)f(x2)的符号当符号不确定时，可的符号当符号不确定时，可以进行分类讨论以进行分类讨论(4)下结论：根据定义得出结论下结论：根据定义得出结论课堂互动讲练课堂互动讲练判断函数的奇偶性，应该首先判断函数的奇偶性，应该首先分析函数的定义域，在分析时，不分析函数的定义域，在分析时，不要把函数化简，而要根据原来的结要把函数化简，而要根据原来的结构去求解定义域，如果定义域不关构去求解定义域，如果定义域不关于原点对称，则一定是非奇非偶函于原点对称，则
10、一定是非奇非偶函数数课堂互动讲练课堂互动讲练考点二考点二函数奇偶性的判定函数奇偶性的判定课堂互动讲练课堂互动讲练判断下列各函数的奇偶性判断下列各函数的奇偶性： f(1) (x) x 1x； (2) 1(f(x) x1)x1x； (3) (4)f(x)1x2|x2|2. f(x) x21x课堂互动讲练课堂互动讲练若例若例 2 第第(4)小题改为小题改为 f(x)1 x2|x|2，判断奇偶性判断奇偶性 因为奇函数的图象关于原点对因为奇函数的图象关于原点对称，所以结合图象可得奇函数在称，所以结合图象可得奇函数在(a，b)与与(b，a)上的单调性相同因上的单调性相同因为偶函数的图象关于为偶函数的图象关
11、于y轴对称，所以轴对称，所以偶函数在偶函数在(a，b)与与(b，a)上的单上的单调性相反调性相反课堂互动讲练课堂互动讲练考点三考点三函数的奇偶性与单调性函数的奇偶性与单调性课堂互动讲练课堂互动讲练定义在定义在R上的增函数上的增函数f(x)对任意对任意的的a、bR，都有，都有f(ab)f(a)f(b)1,且且f(4)5，解不等式，解不等式f(3m2m2)3.课堂互动讲练课堂互动讲练【思路点拨思路点拨】 将函数不等式中抽将函数不等式中抽象的函数符号象的函数符号“f”运用单调性运用单调性“去掉去掉”，为此需将右边常数为此需将右边常数3看成某个变量的看成某个变量的函数值函数值函数函数f(x) 满足满足
12、f(x1x2)f(x1)f(x2)(1)求求f(1)的值；的值；(2)如果如果f(4)1，f(3x1)f(2x6)3，且，且f(x)在在(0，)上是增函数，上是增函数，求求x的取值范围的取值范围课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练(1)令令x1=x2=1,得得f(11)f(1)f(1) ,得得f(1) =0(2)依题设有依题设有f(44)f(4)f(4)2，f(164)f(16)f(4)3，f(3x1)f(2x6)3，即即f(3x1)(2x6)f(64)(*) 9分分f(x)在在(0，)上是增函数，上是增函数，(*)等价于不等式组等价于不等式组53:64)62)(13(062013xxxxx解得规律方法总结规律方法总结2理解函数的奇偶性应注意的问题理解函数的奇偶性应注意的问题(1)定义域在数轴上关于原点对称是定义域在数轴上关于原点对称是函数函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充为奇函数或偶函数的必要但不充分条件分条件f(x)f(x)或或f(x)f(x)是定是定义域上的恒等式义域上的恒等式规律方法总结规律方法总结规律方法总结规律方法总结