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1、OABCDM条件条件CD为直径为直径CDAB结论结论 垂直于弦的直径平分弦垂直于弦的直径平分弦, 并且平分弦所对的两条弧并且平分弦所对的两条弧.垂径定理垂径定理: :AM=BM, AC =BC, AD =BD.求证：求证：ACBD.ACDBO.ACDBO同心圆等腰OABOABCDM观察猜想：条件条件CD为直径为直径CDAB结论结论AM=BM, AC =BC, AD =BD.OCDMAB证明证明: :连结连结OA,OB,OA,OB,则则AO=OBAO=OBAOBAOB是等腰三角形是等腰三角形AM=BMAM=BMCDAB(CDAB(等腰三角形三线合一等腰三角形三线合一) ) ( (垂直于弦的直径平
2、分弦所对的弧垂直于弦的直径平分弦所对的弧) )AC = BC已知已知: :如图如图,O,O的直径交弦的直径交弦AB(AB(非直径非直径) )于点于点M,M,AM=BM AM=BM 求证求证:CDAB, AC=BC :CDAB, AC=BC 证明归纳：垂径定理的逆定理垂径定理的逆定理1 1OABCDM 平分弦（平分弦（不是直径不是直径）的直径）的直径垂直于弦垂直于弦,并且并且平分弦所对的两条弧平分弦所对的两条弧. CD是直径是直径AM=BM推得推得 CDAB, AC =BC, AD =BD.OABCDM再猜想：条件条件CD为直径为直径CDAB结论结论AM=BM AC =BC, AD =BD.平分
3、弧的直径平分弧的直径垂直平分垂直平分弧所对的弦弧所对的弦.再证明归纳：垂径定理的逆定理垂径定理的逆定理2n你可以写出相应的命题吗你可以写出相应的命题吗? 如图如图, ,根据垂径定理与逆定理可知根据垂径定理与逆定理可知, ,如果在下列如果在下列五个条件中五个条件中: :具二具二得三得三.OABCDM CD是直径是直径, AM=BM, CDAB, AD = BD. AC = BC,总结规律：1、已知，如图，、已知，如图， O的直径的直径PQ分别交弦分别交弦AB,CD于点于点M,N,AM=BM,AB/CD求证：求证：DN=CNODCPQNABM练一练：赵州石拱桥赵州石拱桥 13001300多年前多年
4、前, ,我国隋朝建造的赵州石拱桥我国隋朝建造的赵州石拱桥( (如图如图) )的桥的桥拱是圆弧形拱是圆弧形, ,它的跨度它的跨度( (弧所对是弦的长弧所对是弦的长) )为为37.4m,37.4m,拱拱高高( (弧的中点到弦的距离弧的中点到弦的距离, ,也叫弓形高也叫弓形高) )为为7.2m,7.2m,求桥拱求桥拱的半径的半径( (精确到精确到0.1m).0.1m).解：如图，用解：如图，用 表示桥拱，表示桥拱， 所在圆的圆心为所在圆的圆心为O，半径为，半径为Rm，经过圆心经过圆心O作弦作弦AB的垂线的垂线OD，D为垂足，与为垂足，与 相交于点相交于点C.根根据垂径定理，据垂径定理，D是是AB的中
5、点，的中点，C是是 的中点，的中点，CD就是拱高就是拱高.由题设由题设ABABABAB37 47 2. ,. ,ABCD=12ADAB=137 418 72. ,= =ODOCDC=-=-7 2. .R= =在在RtOAD中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得222,OAADOD-=-=解得解得 R27.9（m）.答：赵州石拱桥的桥拱半径约为答：赵州石拱桥的桥拱半径约为27.9m.OABCRD37.47.2拱高：弧的中点到弦的距离拱高：弧的中点到弦的距离练一练练一练1.1.如如图：图：M M为弦为弦ABAB的中点，的中点， 32.（课本（课本P80 T2 ）23.如图，如图， O的直径的直径CD
6、和弦和弦AB相交于点相交于点E，已知已知CE3cm，DE7cm，DEA=30，求求AB的长？的长？ABCD OEF某一公路隧道的形状如图某一公路隧道的形状如图,半圆拱的圆心距离地面半圆拱的圆心距离地面2m,半径半径为为1.5m,一辆高一辆高3m,宽宽2.3m的集装箱车能通过这个隧道吗的集装箱车能通过这个隧道吗?21.5OCB32.3F1.15解解:取取CD=1.15m,作作DECD交圆交圆O于点于点E连接连接OE,过过O作作OFED于于F,由题意可得由题意可得OE=1.5,OF=CD=1.15FD=OC=2由勾股定理得由勾股定理得:2222EFOEOF1.51.150.96DF=EF+DF=2
7、.963高高3m,宽宽2.3m的集装箱车的集装箱车不能通过这个隧道不能通过这个隧道DE1.51.152如果要使高度不超过如果要使高度不超过4m,宽为宽为2.3m的货车能通过这个隧道的货车能通过这个隧道,且不改且不改变圆心到地面的距离变圆心到地面的距离,半圆拱的半径至少为多少半圆拱的半径至少为多少m? 如图如图,根据以上三个定理可知对于一个圆和一条直线根据以上三个定理可知对于一个圆和一条直线来说。大前提是来说。大前提是CD是直径是直径 如果在下列如果在下列4个条件中个条件中:只要具备其中有只要具备其中有1个条件个条件,就可推出其余三个结论就可推出其余三个结论.OABCDM CDABAD=BD. AM=BM AC=BC,小结：小结： d + h = r222)2(adr