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1、问题问题 ：你知道赵州桥吗：你知道赵州桥吗? ?它是它是13001300多年前我国隋代建多年前我国隋代建造的石拱桥造的石拱桥, , 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶它是我国古代人民勤劳与智慧的结晶它的主桥是圆弧形的主桥是圆弧形, ,它的跨度它的跨度( (弧所对的弦的长弧所对的弦的长) )为为37.437.4m m, , 拱高拱高( (弧的中点到弦的距离弧的中点到弦的距离) )为为7.27.2m m，你能求出赵洲桥你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？主桥拱的半径吗？ 实践探究实践探究把一个圆沿着它的任意一条直径对折，把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到重复几次，你发现了
2、什么？由此你能得到什么结论？什么结论？可以发现：可以发现： 圆是轴对称图形，任何一条圆是轴对称图形，任何一条直径所直径所在直线在直线都是它的对称轴都是它的对称轴O 判断对错并说明理由判断对错并说明理由 圆是轴对称图形，它有无数条对称轴，圆是轴对称图形，它有无数条对称轴，它的对称轴是它的直径（它的对称轴是它的直径（ ）如图，如图，AB是是 O的一条弦，做直径的一条弦，做直径CD，使，使CDAB，垂足为，垂足为E（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？（2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？）你能发现图中有那些相等的线段和
3、弧？为什么？OABCDE活活 动动 二二（1）是轴对称图形直径）是轴对称图形直径CD所在的所在的直线是它的对称轴直线是它的对称轴（2） 线段：线段： AE=BE弧：，弧：，把圆沿着直径把圆沿着直径CD折叠时，折叠时，CD两侧的两个半圆重合，两侧的两个半圆重合，点点A与点与点B重合，重合，AE与与BE重合，重合，和和 重合，重合，和和重合重合直径平分弦，并且直径平分弦，并且平分及平分及OABCDE垂径定理：垂径定理：垂直于弦的直径平分垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧弦，并且平分弦所对的两条弧即即，思考思考： 平分弦的直径垂直于这条弦吗？平分弦的直径垂直于这条弦吗？ CDAB, CD是
4、直径是直径 AE=BE可推可推得得 AC=BC, AD=BD. 平分弦（不是直径）的直径垂平分弦（不是直径）的直径垂直于弦直于弦,并且平分弦所对的两条弧并且平分弦所对的两条弧.BADCOE平分弦的直径垂直于弦（平分弦的直径垂直于弦（ ）CDBAO1.被平分被平分的弦不的弦不是直径是直径2.被平分的弦是直径被平分的弦是直径n AB不是直径不是直径垂径定理三种语言 1.定理定理 垂直于弦的直径平分弦垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧并且平分弦所的两条弧老师提示老师提示: 垂径定理是圆中一个重要的结论垂径定理是圆中一个重要的结论,三种语言要三种语言要 相互转化相互转化,形成整体形成整体,才能
5、运用自如才能运用自如.OABCDMCDAB,如图如图 CD是直径是直径,AM=BM, AC =BC, AD=BD.AM=BM,CD是直径是直径 CDAB可推得可推得CDAB,CD是直径是直径AM=BMAC=BC, AD=BD.可推得可推得M垂径定理垂径定理：垂径定理的推论：垂径定理的推论： AB不是直径不是直径AC=BC, AD=BD.BADCOABDOABDOABCDO图图1ABCDO图图2OABCD图图3图图4图图5图图6下列哪些图形可以用垂径定理，你能说明理由吗？下列哪些图形可以用垂径定理，你能说明理由吗？ 练习练习2、按图填空：在、按图填空：在 O中，中， （1）若）若MNAB，MN为
6、直径，为直径， 则则_，_，_；（2）若）若ACBC，MN为直径，为直径，AB不是直径，不是直径， 则则_，_，_；（3）若）若MNAB，ACBC，则，则_，_，_；（4）若）若AN = BN ，MN为直径，则为直径，则_，_，_NMC判断下列说法的正误判断下列说法的正误 平分弧的直径必平分弧所对的弦平分弧的直径必平分弧所对的弦 平分弦的直线必垂直弦平分弦的直线必垂直弦 垂直于弦的直径平分这条弦垂直于弦的直径平分这条弦 平分弦的直径垂直于这条弦平分弦的直径垂直于这条弦 弦的垂直平分线一定经过圆心弦的垂直平分线一定经过圆心平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦
7、在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦，在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦，必平分此弦所对的弧必平分此弦所对的弧 1300多年前多年前,我国隋朝建造的赵州石拱我国隋朝建造的赵州石拱桥桥(如图如图)的桥拱是圆弧形的桥拱是圆弧形,它的跨度它的跨度(弧所对是弧所对是弦的长弦的长)为为 37.4 m,拱高为拱高为7.2m,求桥拱的半径求桥拱的半径(精确到精确到0.1m).37.4米米7.2米米BODACR解决求赵州桥拱半径的问题解决求赵州桥拱半径的问题例例1.如图，用如图，用 表示主桥拱，设表示主桥拱，设 所在圆的圆心为所在圆的圆心为O，半径为半径为R经过圆心经过圆心O 作弦作弦AB 的垂线的垂线OC
8、，D为垂足，为垂足，OC与与AB 相交于点相交于点D，根据前面的结论，根据前面的结论，D 是是AB 的中点，的中点，C是是 的中点，的中点，CD 就是拱高就是拱高解得：解得：R279（m）BODACR解决求赵州桥拱半径的问题解决求赵州桥拱半径的问题在在RtOAD中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得即即 R2=18.72+（R7.2）2赵州桥的主桥拱半径约为赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.OA2=AD2+OD2,7.184.372121ABADAB=37.4，CD=7.2，OD=OCCD=R7.2在图中在图中如图，用如图，用 表示主桥拱，设表示主桥拱，设 所在圆的圆心为所在圆的圆心为O，半径为
9、半径为R经过圆心经过圆心O 作弦作弦AB 的垂线的垂线OC，D为垂足，为垂足，OC与与AB 相交于点相交于点D，根据前面的结论，根据前面的结论，D 是是AB 的中点，的中点，C是是 的中点，的中点，CD 就是拱高就是拱高.AEBO.AEBOF思路：（由）垂径定理思路：（由）垂径定理构造构造Rt （结合）勾股定理（结合）勾股定理建立方程建立方程构造构造Rt的的“七字口诀七字口诀”： 半径半弦弦心距半径半弦弦心距 1如图，在如图，在 O中，弦中，弦AB的长为的长为8cm，圆心，圆心O到到AB的距离为的距离为3cm，求，求 O的半径的半径OABE练习练习解：解：OEAB222AOOEAE2222=
10、3 +4 =5cmAOOEAE答：答： O的半径为的半径为5cm.活活 动动 三三118422AEAB 在在Rt AOE 中中 2如图，在如图，在 O中，中，AB、AC为互相垂直且相等的为互相垂直且相等的两条弦，两条弦，ODAB于于D，OEAC于于E，求证四边形，求证四边形ADOE是正方形是正方形DOABCE证明：证明： OEAC ODAB ABAC90 90 90OEAEADODA四边形四边形ADOE为矩形，为矩形，又又AC=AB11 22AEACADAB， AE=AD 四边形四边形ADOE为正方形为正方形.603.在直径是在直径是20cm的的中，中， AOB的度数是的度数是，那么弦，那么弦
11、AB的弦心距是的弦心距是. D A B O5 3cm O1.弓形的弦长为弓形的弦长为6cm，弓形的高为，弓形的高为2cm，则这弓形所在的圆的半径为则这弓形所在的圆的半径为. D C A B O134cm3cm2.已知：已知：P为为内一点，且内一点，且OP2cm，如果，如果的半径是的半径是那么过那么过P点的最短点的最短的弦等于的弦等于. E D C B A P O2 5cm O O方法总结方法总结n 对于一个圆中的弦长对于一个圆中的弦长a、圆心到弦的、圆心到弦的距离距离d、圆半径、圆半径r、弓形高、弓形高h，这四个量，这四个量中，只要已知其中任意两个量，就可中，只要已知其中任意两个量，就可以求出
12、另外两个量，如图有：以求出另外两个量，如图有：d + h = r222)2(adrhda2O某地有一座圆弧形拱桥圆心为，桥下水面宽度为、某地有一座圆弧形拱桥圆心为，桥下水面宽度为、2 m ，过，过O 作作OC AB 于于D， 交圆弧于交圆弧于C，CD=2、4m， 现有一艘宽现有一艘宽3m，船舱顶部为方形并高出水面（，船舱顶部为方形并高出水面（AB）2m的的货船要经过拱桥，此货船能否顺利通过这座拱桥？货船要经过拱桥，此货船能否顺利通过这座拱桥？CNMAEHFBDO船能过拱桥吗船能过拱桥吗解解: :如图如图, ,用用 表示桥拱表示桥拱, , 所在圆的圆心为所在圆的圆心为O,O,半径为半径为RmRm
13、, ,经过圆心经过圆心O O作弦作弦ABAB的垂线的垂线OD,DOD,D为垂足为垂足, ,与与 相交于点相交于点C.C.根根据垂径定理据垂径定理,D,D是是ABAB的中点的中点,C,C是是 的中点的中点,CD,CD就是拱高就是拱高. .由题设得由题设得ABABABAB. 5 . 121, 4 . 2, 2 . 7MNHNCDABABAD21, 6 . 32 . 721DCOCOD. 4 . 2 R在在RtOAD中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得,222ODADOA.)4 . 2(6 . 3222RR即解得解得 R3.9（m）. 在在RtONH中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得,22HNONOH. 6 . 35 . 19 . 322OH即. 21 . 25 . 16 . 3DH此货船能顺利通过这座拱桥此货船能顺利通过这座拱桥.结束寄语结束寄语不学自知不学自知, ,不问自晓不问自晓, ,古今古今行事行事, ,未之有也未之有也. .