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1、24.1.2垂直于弦的直径垂直于弦的直径课件制作：大埔中学课件制作：大埔中学 邓青云邓青云问题： 1.前面我们已经探讨过轴对称图形，哪位同学能叙述一下轴对称图形定义？ 2.轴对称图形具有什么性质？ 赵州桥赵州桥-是是1300多年前我国隋代建造多年前我国隋代建造的石拱桥的石拱桥,是世界上跨径最大、建造最早的单是世界上跨径最大、建造最早的单孔敞肩型石拱桥，是我国古代人民勤劳与智孔敞肩型石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶，是世界桥梁史上的一个奇慧的结晶，是世界桥梁史上的一个奇迹迹 1991年年9月，赵州桥被美国土木工程师月，赵州桥被美国土木工程师学会选定为第十二个学会选定为第十二个“国际土木工程
2、里程国际土木工程里程碑碑”。 赵州桥的主桥是圆弧形赵州桥的主桥是圆弧形,它的跨度它的跨度(弧所对的弧所对的弦的长弦的长) 为为37.4m,拱高拱高(弧的中点到弦的距离弧的中点到弦的距离)为为7.2m.想一想：你能求出想一想：你能求出 赵州桥主桥拱的半径吗？赵州桥主桥拱的半径吗？24.1.224.1.2垂直于弦的直径垂直于弦的直径 把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复做几次。把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复做几次。 想一想：圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴想一想：圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？是什么？ 你能找到多少条对称轴？你能找到多少条对称轴？ 由此你能得到什么结论？
3、由此你能得到什么结论？归纳：归纳：1.圆是轴对称图形圆是轴对称图形.2. 任何一条任何一条直径所在的直线直径所在的直线都是它的对称都是它的对称轴轴3.圆有无数条对称轴圆有无数条对称轴.判断：任意一条直径都是圆的对称轴。（判断：任意一条直径都是圆的对称轴。（ ）改为：任意一条改为：任意一条直径所在的直线直径所在的直线都是圆的对称轴都是圆的对称轴。O 如图，如图，在圆形在圆形纸片上标出圆心，任意画一条弦纸片上标出圆心，任意画一条弦ABAB，作作直径直径CDCD，使，使CDCDABAB，垂足为，垂足为E E（1 1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？）这个图形是轴对称图形吗？如果是，
4、它的对称轴是什么？（2 2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？说说你的理由。）你能发现图中有那些相等的线段和弧？说说你的理由。OABCDE活活 动动 二二（1）是轴对称图形，直径是轴对称图形，直径CD所在的所在的直线是它的对称轴直线是它的对称轴.（2） 相等的线段相等的线段： AE=BE相等的弧：，相等的弧：，DABCEO证明证明：连接OA、OBDABCEO在RtAOE和RtBOE中OA=OB，OE=OE RtAOE RtBOE（HL）AE=BE OEAB， AOE和BOE为直角三角形DABCEO证明证明：连接OA、OBDABCEO又 OEAB AE=BEOA=OB AOB为等腰三角形由圆的轴
5、对称性质可得AD=BD，AC=BCOABCDE垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。且平分弦所对的两条弧。 CDAB,AD=BDAC=BC 由由 CD是直径是直径 CDAB, AE=BE可推得可推得AD=BD CDAB,几何语言叙述：几何语言叙述：CD是直径是直径CDABAE=BE AD=BD AC=BCABCoEDABCDOEB BC CE ED DA AO O辨一辨：辨一辨： 在下图中，是否有在下图中，是否有AE=BEAE=BE，AC=BCAC=BC，AD=BDAD=BD，为什么？，为什么？CD ：过圆心；垂直于弦；两个条件缺一不可。AD=BD？A
6、C=BC n由由 CD是直径是直径 AE=BE CDAB,OABCDE推论：推论：平分弦（平分弦（不是直径不是直径）的直径垂直于弦，并且）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。平分弦所对的两条弧。思考：能去掉思考：能去掉“不是直径不是直径”这几个字吗？为什么？这几个字吗？为什么？OABCDE过圆心过圆心垂直于弦垂直于弦平分弦平分弦平分弦所对的优弧平分弦所对的优弧平分弦所对的劣弧平分弦所对的劣弧根据已知条件进行推导根据已知条件进行推导判断下列说法是否正确：判断下列说法是否正确：平分弦的直径必垂直于弦。（平分弦的直径必垂直于弦。（ ）垂直于弦的直径必平分弦。（垂直于弦的直径必平分弦。（ ）1如图
7、，在如图，在 O中，弦中，弦AB的长为的长为8cm，圆心，圆心O到到AB的距离为的距离为3cm，求，求 O的半径的半径OABE练习练习解：解：222AOOEAE2222= 3 +4 =5cmAOOEAE答：答： O的半径为的半径为5cm.活活 动动 三三118422AEAB 在在Rt AOE 中中 OEAB连接连接OA，作，作OEAB，垂足为，垂足为E变式变式1. 在在 O中，弦中，弦AB的长为的长为8cm，直径为直径为10cm，求圆心，求圆心O到到AB的距离。的距离。变式变式2. 在在 O中，直径为中，直径为10cm，圆心，圆心O到到AB的距的距离为离为3cm，求弦，求弦AB的长。的长。OA
8、BE变式变式3 在在 O中，若圆心到弦的距离为中，若圆心到弦的距离为d，半径用，半径用R表示，弦长用表示，弦长用a表示，这三者之间有怎样的关系式？表示，这三者之间有怎样的关系式？ OABEdRa变式变式3 在在 O中，若圆心到弦的距离为中，若圆心到弦的距离为d，半径用，半径用R表示，弦长用表示，弦长用a表示，这三者之间有怎样的关系式？表示，这三者之间有怎样的关系式？ OABEdRaa2( )2a( )2a( )2a( )22a( )2a( )2a( )2a( )22a2+d2=R2小结：小结： 解决有关弦的问题，常常是过圆心作圆的垂解决有关弦的问题，常常是过圆心作圆的垂线，或作垂直于圆的直径，
9、连结半径等辅助线，线，或作垂直于圆的直径，连结半径等辅助线，为利用垂径定理创造条件。为利用垂径定理创造条件。. . . 同学们：同学们： 说说你这节课的收获，说说你这节课的收获，让大家与你一起分享！让大家与你一起分享！ 赵州桥的主桥是圆弧形赵州桥的主桥是圆弧形, ,它的跨度它的跨度( (弧所对弧所对的弦的长的弦的长) )为为37.4m, 37.4m, 拱高拱高( (弧的中点到弦的距弧的中点到弦的距离离) )为为7.2m7.2m。你能求出你能求出 赵州桥主桥拱的半径赵州桥主桥拱的半径吗？吗？1. 1.圆是轴对称图形；圆是轴对称图形；2.2.垂径定理：垂径定理： 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所
10、对的垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。两条弧。3.3.垂径定理的推论：垂径定理的推论： 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。平分弦所对的两条弧。1 1、教材第、教材第8787-88-88页习题页习题24.124.1第第1 1、7 7题；题；2 2、教材第、教材第120120页复习题页复习题2424第第1 1题（题（1 1）。）。作业：作业：谢谢观赏备选：如图，在备选：如图，在 O中，中，AB、AC为互相垂直且相等为互相垂直且相等的两条弦，的两条弦，ODAB于于D，OEAC于于E，求证四边，求证四边形形ADOE是正方形是正方形DOABCE证明：证明： OEAC ODAB ABAC90 90 90OEAEADODA四边形四边形ADOE为矩形，为矩形，又又AC=AB11 22AEACADAB， AE=AD 四边形四边形ADOE为正方形为正方形.