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1、21.3 实际问题与一元二次方程1列一元二次方程解决实际问题列一元二次方程解决实际问题的基本步骤是：(1)_，读懂题目，明确已知量和未知量，以及它们之间的数量关系审题设未知数(2)_，用字母表示题目中的一个未知数(3)_，根据题目中的等量关系列出一元二次方程列方程(4)_，求出未知数的值解方程(5)_，即检验所求的解是否符合题意，如线段的长度不能为负数，下降率不能大于 100%等等(6)_作答检验2与面积有关的实际问题根据_的等量关系建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题面积与面积之间3与增长率有关的实际问题增长率问题：设基数为 a，平均增长率为 x，则一次增长后的值为_；两次增长后的
2、值为_；依次类推，n 次增长后的值为_若 A 为 n 次增长(或下降)后的数量，则 A_(或 A_)a(1x)a(1x)2a(1x)na(1x)na(1x)n4与利润有关的实际问题商品利润问题中常见的等量关系是：总利润_或总利润_.5与数字有关的实际问题这类问题主要有以下两种类型：(1)有关连续数的问题；(2)有关各个数位上的数字问题总售价总成本每件商品的利润总销售量知识点 1 列一元二次方程解决实际问题(重点)【例 1】 一个 QQ 群里有若干个好友，每个好友都分别给群里其他好友发送一条消息，这样共有 870 条消息，则这个 QQ群里有多少个好友思路点拨：每个好友都有一次发给 QQ 群其他好
3、友消息的机会，即每两个好友之间要互发一次消息；设有 x 个好友，每人发 x1 条消息，则发消息共有 x(x1)条解：设有 x 个好友，依题意，得x(x1)870，整理，得 x2x8700，即(x30)(x29)0.解得 x130，x229(舍去)答：QQ 群里共有 30 个好友【跟踪训练】1某种电脑病毒传播速度非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有 100 台电脑被感染请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，4 轮感染后，被感染的电脑会不会超过 7000 台？解：设每轮感染中平均一台电脑会感染 x 台电脑，则1xx(1x)100，即(1x)2
4、100.解得 x19，x211(舍去)x9.4 轮感染后，被感染的电脑数为(1x)41047000.答：每轮感染中平均每一台电脑会感染 9 台电脑，4 轮感染后，被感染的电脑会超过 7000 台2在一次聚会中，每两个参加聚会的人都相互握了一次手，一共握了 45 次手，则参加这次聚会的共有多少个人解：设参加这次聚会有 x 人，x2x900.x10 或 x9(舍去)答：参加这次聚会的人有 10 人知识点 2 一元二次方程应用问题中的常见题型1面积问题【例 2】 某小区计划在一个长 40 米，宽 26 米的矩形场地ABCD 上修建三条同样宽的小路，使其中两条与 AB 平行，另一条与 AD 平行，其余
5、部分种草，如图 22-3-1，若使每一块草坪的面积都为 144 平方米，求小路的宽度图 21-3-1思路点拨：列方程解应用题应注意：列等量关系式时方程两边表示的是同类项，单位要统一；解方程后要检验未知数的值是否为方程的解，是否符合实际解：将小路面积和草坪面积用未知数表示，根据总面积可得等量关系，列出方程设小路的宽为 x 米，由题意，得226x40 x2x261444026.整理，得 x246x880.x12，x244(不合题意，舍去)答：小路的宽为 2 米2平均增长(降低)率问题【例 3】 (2012 年广东)据媒体报道，我国 2009 年公民出境旅游总人数约 5000 万人次，2011 年公
6、民出境旅游总人数约7200 万人次，若 2010 年、2011 年公民出境旅游总人数逐年递增，请解答下列问题：(1)求这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率；(2)如果 2012 年仍保持相同的年平均增长率，请你预测 2012年我国公民出境旅游总人数约多少万人次？思路点拨：认真审题，弄清基数，注意增长了、增长到等词语的关系如果设平均每次增长率或下降率为x，则产值a 经过两次增长(或下降)到 b，可列式为 a(1x)2b或 a(1x)2b解：(1)设这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率为 x，依题意，得 5000(1x)27200.解得 x10.220%，x22.2(不合题意，舍去)答
7、：这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率为20%.(2)7200(120%)8640，预测 2012 年我国公民出境旅游总人数约 8640 万人次【跟踪训练】3(利润问题)某商场将每件进价 80 元的某种商品原来按每件 100 元出售，一天可售出 100 件，后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低 1 元，其销售量可增加 10 件(1)求商场经营该商品原来一天可获利润多少元？(2)若商场经营该商品一天要获利润 2160 元，则每件商品应降价多少元？解：(1)100(10080)2000(元)答：原来一天可获利润 2000 元(2)设每件商品应降价 x 元，由题意，得(10080 x)(1
8、0010 x)2160，即 x210 x160.解得 x12，x28.答：商店经营商品一天要获利 2160 元，每件商品应降价 2元或 8 元4(数字问题)两个连续奇数的积是 323，求这两个数解法一：设较小奇数为 x，则另一个为 x2，依题意，得 x(x2)323.整理后，得 x22x3230.解得 x117，x219.由 x17，得 x219.由 x19，得 x217.答：这两个奇数是 17,19 或者19，17.解法二：设较小的奇数为 x1，则较大的奇数为 x1.依题意，得(x1)(x1)323.整理后，得 x2324.解得 x118，x218.当 x18 时，18117,18119；当 x18 时，18119，18117.答：两个奇数分别为 17,19 或者19，17.解法三：设较小的奇数为 2x1，则另一个奇数为 2x1.依题意，得(2x1)(2x1)323.整理后，得 4x2324.解得 2x18，或 2x18.当 2x18 时，2x118117，2x118119；当 2x18 时，2x118119，2x118117.答：两个奇数分别为 17，19 或者19，17.