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1、ABACBCO 前面我们已经学习了图形的哪些变换？前面我们已经学习了图形的哪些变换？w平移平移：平移的方向：平移的方向, ,平移的距离平移的距离. .w旋转旋转：旋转中心：旋转中心, ,旋转方向旋转方向, ,旋转角度旋转角度. .w相似相似：相似比：相似比. .w对称对称( (轴对称与轴对称图形轴对称与轴对称图形, ,中心对称与中心中心对称与中心对称图形对称图形) )：对称轴对称轴, ,对称中心对称中心. .注：图形这些不同的变换是我们学习几何必不可少的重要注：图形这些不同的变换是我们学习几何必不可少的重要工具工具, ,它不但装点了我们的生活它不但装点了我们的生活, ,而且是学习后续知识的基而
2、且是学习后续知识的基础础. .w下面请欣赏如下图形的变换下面请欣赏如下图形的变换回顾： 下列图形中，每个图中的四边形下列图形中，每个图中的四边形ABCDABCD和和四边形四边形ABCDABCD都是相似图形都是相似图形. .分别观察这五分别观察这五个图，你发现每个图中的两个四边形各对应点的连个图，你发现每个图中的两个四边形各对应点的连线有什么特征？线有什么特征？1 1位似图形的概念位似图形的概念如果两个图形不仅如果两个图形不仅相似相似，而且每组对应点，而且每组对应点所在的直线都所在的直线都经过同一点经过同一点, ,对应边互相平行对应边互相平行, ,那么这样的两个图形叫做位似图形那么这样的两个图形
3、叫做位似图形, ,这个点这个点叫做位似中心叫做位似中心. .这时的相似比又称为这时的相似比又称为位似比位似比。相似相似对应点的连线相交一点对应点的连线相交一点对应边平行对应边平行1. 1. 判断下列各对图形是不是位似图形判断下列各对图形是不是位似图形. . （1 1）正五边形）正五边形ABCDEABCDE与正五边形与正五边形ABCDEABCDE； （2 2）等边三角形）等边三角形ABCABC与等边三角形与等边三角形ABC.ABC.思考：是否相似图形都是位似图形？思考：是否相似图形都是位似图形？是是是是判断下面的正方形是不是位似图形？判断下面的正方形是不是位似图形？（1）不是不是ACDBFEG显
4、然，位似图形是相似图形的特殊情形显然，位似图形是相似图形的特殊情形. .相似图形不相似图形不一定是位似图形，可位似图形一定是相似图形一定是位似图形，可位似图形一定是相似图形 位似是一种位似是一种具有位置关系具有位置关系的相似。的相似。 位似图形是相似图形的特殊情形。位似图形是相似图形的特殊情形。 位似图形位似图形必定是必定是相似图形，而相似图形相似图形，而相似图形不一定是位似图形。不一定是位似图形。 两个位似图形的两个位似图形的位似中心只有一个位似中心只有一个。 两个位似图形可能位于位似中心的两个位似图形可能位于位似中心的两侧两侧，也可能位于位似中心的也可能位于位似中心的一侧一侧。注意注意思考
5、：位似图形有何性质？思考：位似图形有何性质？2. 2. 位似图形的性质位似图形的性质 对应点与位似中心共线。对应点与位似中心共线。 不经过位似中心的对应边平行。不经过位似中心的对应边平行。 位似图形上任意一对应点到位似中心的位似图形上任意一对应点到位似中心的距离之比等于位似比。距离之比等于位似比。位似图形的性质位似图形的性质 若若ABCABC与与ABCABC的相似比为的相似比为：1:21:2，则则OAOA：O OAA= =（ ）。）。OAABCBC1:2O.ABCACB.1 1如图，已知如图，已知ABCABC和点和点O.O.以以O O为位似中心，求作为位似中心，求作ABCABC的位似图形，并把
6、的位似图形，并把ABCABC的边长扩大到原来的两倍的边长扩大到原来的两倍. . OA:OAOA:OA =OB:OB =OC:OC= 1:2=OB:OB =OC:OC= 1:2思考：还有没其他作法？思考：还有没其他作法？O.ABACBC如果位似中心跑到三角形内部呢？如果位似中心跑到三角形内部呢？ACBOABACBCO以以0 0为中心把为中心把ABCABC缩小为原来的一半。缩小为原来的一半。 位似的作用位似的作用 位似可以将一个图形放大或缩小。位似可以将一个图形放大或缩小。二、位似图形的画法二、位似图形的画法ABACBCO以以0为位似中心把为位似中心把ABC在同侧缩小为原来的一半在同侧缩小为原来的
7、一半1.画出画出ABC2.选取中心点选取中心点3.连结连结OA、OB、OC4.在在OA、OB、OC上分别选取上分别选取A、B、C，使使OA/OA=1/2、OB/OB=1/2、OC/OC=1/2步骤：5.连结连结ABC，所连成的图形就是所求作图形，所连成的图形就是所求作图形二、位似图形的画法二、位似图形的画法ABACBCO以以0为中心把为中心把ABC缩小为原来的一半缩小为原来的一半练习：如图：以练习：如图：以O O为位似中心，为位似中心，将将ABCABC放大为原来的两倍放大为原来的两倍BCAOACBACBBCAO 如果把位似图形放到直角坐标系中，又如如果把位似图形放到直角坐标系中，又如何去探究位
8、似变换与坐标之间的关系呢？何去探究位似变换与坐标之间的关系呢？ 请以坐标原点请以坐标原点O为位似中心，作为位似中心，作 ABCD的位似图形，并把它的边长放大的位似图形，并把它的边长放大3倍。倍。 分析：分析：根据位似图形上任意一对对应点到位似中根据位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比，我们只要连结位似中心心的距离之比等于位似比，我们只要连结位似中心O和和 ABCD的各顶点，并把线段延长（或反向延长）的各顶点，并把线段延长（或反向延长）到原来的到原来的3倍，就得到所求作图形的各个顶点。倍，就得到所求作图形的各个顶点。1. 连结连结OA，OB，OC，OD.2. 分别延长分别延长O
9、A，OB，OC，OD至至G，C，E，F，使，使3OGOCOEOFOAOBOCOD3. 依次连结依次连结GC，CE，EF，FG.四边形四边形GCEF就是所求作的四边形就是所求作的四边形.如果反向延长如果反向延长OA，OB，OC，OD，就得到四边形，就得到四边形GCEF，也是所求作的四边形也是所求作的四边形.作法：作法：使新图形与原图形对应线段的比是使新图形与原图形对应线段的比是2 1.ABGCEDFP在原图上取几个关键点在原图上取几个关键点A,B,C,D,E,F,G;图外任取一点图外任取一点P;作射线作射线AP,BP,CP,DP,EP,FP,GP;在这些射线上依次取点在这些射线上依次取点A,B,
10、C,D,E,F,G,使使PA=2PA,PB=2PB,PC=2PC,PD=2PD,PC=2PC,PE =2PE,PF=2PF,PG=2PG;BACDEFG顺次连接点顺次连接点A, B, C, D, E, F,G,所得到的图形所得到的图形(向下的向下的箭头箭头)就是符合要求的图形。就是符合要求的图形。 如果依次在射线上如果依次在射线上PA,PB,PC,PD,PE,PF,PG上取点上取点A,B,C,D,E,F,G呢呢?结果是一个向上的箭头结果是一个向上的箭头.新图形与原图形是位似图形，位似比是新图形与原图形是位似图形，位似比是2 1ABCDEFGABGCEDFP你还有其它方法吗你还有其它方法吗? 确
11、定确定位似中心位似中心，位似中心的位置可随意，位似中心的位置可随意选择；选择； 确定确定原图形的关键点原图形的关键点，如四边形有四个，如四边形有四个关键点，即它的四个顶点；关键点，即它的四个顶点； 确定确定位似比位似比，根据位似比的取值，可以，根据位似比的取值，可以判断是将一个图形放大还是缩小；判断是将一个图形放大还是缩小； 符合要求的图形不唯一，因为所作的图符合要求的图形不唯一，因为所作的图形与所确定的位似中心的位置有关，并且同一形与所确定的位似中心的位置有关，并且同一个位似中心的两侧各有一个符合要求的图形。个位似中心的两侧各有一个符合要求的图形。 位似变换的步骤位似变换的步骤 如果两个图形
12、如果两个图形不仅相似不仅相似, ,而且而且对应顶点的连线对应顶点的连线相交于一点相交于一点, ,像这样的两个图形像这样的两个图形叫做位似图形叫做位似图形, , 这这个点叫做个点叫做位似中心位似中心, , 这时的这时的相似比又称为位似比相似比又称为位似比. .1.1.什么叫位似图形什么叫位似图形? ?2.2.位似图形的性质位似图形的性质 位似图形上的任意一对对应点到位似中心的位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比距离之比等于位似比3.3.利用位似可以把一个图形放大或缩小利用位似可以把一个图形放大或缩小复习回顾复习回顾DEFAOBC如何把三角形如何把三角形ABCABC放大为原来的
13、放大为原来的2 2倍倍? ?DEFAOBC对应点连线都交于对应点连线都交于_对应线段对应线段_位似中心位似中心平行或在一条直线上平行或在一条直线上复习回顾复习回顾BAxyBAo在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中, ,有两点有两点A(6,3),B(6,0),A(6,3),B(6,0),以原点以原点O O为为位似中心位似中心, ,相似比为相似比为1:3,1:3,把线段把线段ABAB缩小缩小. .A(2,1), B(2,0)观察对应点之间的坐标的变化观察对应点之间的坐标的变化, ,你有什么发现你有什么发现? ?探索探索1:1:BAxyBAo在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中, ,有两点有两点A(
14、6,3),B(6,0),A(6,3),B(6,0),以以原点原点O O为位似中心为位似中心, ,相似比为相似比为1:3,1:3,把线段把线段ABAB缩小缩小. .A(2,1),B(2,0)ABA(-2,-1),B(-2,0)在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中, ,如果位似变换是以原如果位似变换是以原点为位似中心点为位似中心, ,相似比为相似比为k,k,那么位似图形对那么位似图形对应点的坐标的比等于应点的坐标的比等于k k或或-k.-k.观察对应点之间的坐标的变化观察对应点之间的坐标的变化, ,你有什么发现你有什么发现? ?xyo在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中, , ABCABC三个顶点
15、的坐标分别三个顶点的坐标分别为为A(2,3),B(2,1),C(6,2),A(2,3),B(2,1),C(6,2),以原点以原点O O为位似中心为位似中心, ,相相似比为似比为2 2画它的位似图形画它的位似图形. .BACA( 4 ,6 ), B( 4 ,2 ), C( 12 ,4 )放大后对应点的坐标分别是多少放大后对应点的坐标分别是多少? ?BAC探索探索2:2:还有其他办法吗还有其他办法吗? ?2461213624xyo在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中, , ABCABC三个顶点的坐标分三个顶点的坐标分别为别为A(2,3),B(2,1),C(6,2),A(2,3),B(2,1),C(
16、6,2),以原点以原点O O为位似中心为位似中心, ,相似比为相似比为2,2,将将ABCABC放大放大. .A( -4 ,-6 ), B( -4 ,-2 ), C( -12 ,-4 )BAC放大后对应点的坐标分别是多少放大后对应点的坐标分别是多少? ?B”A”xyo例题例题. .在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中, , 四边形四边形ABCDABCD的四个顶点的坐标的四个顶点的坐标分别为分别为A(-6,6),B(-8,2),C(-4,0),D(-2,4),A(-6,6),B(-8,2),C(-4,0),D(-2,4),画出它的一个画出它的一个以原点以原点O O为位似中心为位似中心, ,相似比为
17、相似比为1/21/2的位似图形的位似图形. .A( -3,3 ), B( -4,1 ), C( -2,0 ), D( -1,2 )BACDABCD你还有其他办法吗你还有其他办法吗? ?试试看试试看. .在平面直角坐标系中，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为相似比为k k，那么位似图形对应点的坐标的比等于那么位似图形对应点的坐标的比等于k k或或-k-k例如：点例如：点A(x,yA(x,y) )的对应点为的对应点为AA，则，则AA点的点的坐标可以这样确定坐标可以这样确定归纳：x xA=x=xAk k , , y yA=y=yAk kx x
18、A=x=xA(-k(-k) ) ，y yA=y=yA(-k(-k) )或或即即AA（kx,kykx,ky）即即AA（-kx,-kx,-kyky）例：如果四边形例：如果四边形ABCDABCD的坐标分别为的坐标分别为A A（-6-6，6 6），），B(-8,2),C(-4,0),D(-2,4),B(-8,2),C(-4,0),D(-2,4),写出以原点为位似中心，相似比为写出以原点为位似中心，相似比为(1/2)(1/2)的的一个图形的对应点的坐标一个图形的对应点的坐标练习： A(-3,3)B(-4,1)C(-2,0)D(-1,2)或A(3,-3)B(4,-1)C(2,0) D(1,-2)参考答案：
19、1. 判断下列各对图形哪些是位似图形，哪些不是判断下列各对图形哪些是位似图形，哪些不是. （1）五边形）五边形ABCDE与五边形与五边形ABCDE （2）正方形）正方形ABCD与正方与正方ABCD（3）等边三角形）等边三角形ABC与等边三角形与等边三角形ABC 2. 下面的说法对吗下面的说法对吗?为什么为什么? （1）分别在）分别在ABC的边的边AB,AC上取点上取点D,E,使使DEBC,那么那么ADE是是ABC缩小后的图形。缩小后的图形。 （2）分别在）分别在ABC的边的边AB,AC的延长线上取的延长线上取点点D,E,使使DEBC,那么那么ADE是是ABC放大后的放大后的图形。图形。 （3）
20、分别在）分别在ABC的边的边AB,AC的反向延长线的反向延长线上取点上取点D,E,使使DEBC,那么那么ADE是是ABC缩小缩小后的图形。后的图形。ABCDEADEBCEDCBA 3如图如图P，E，F分别是分别是AC，AB，AD的的中点，四边形中点，四边形AEPF与四边形与四边形ABCD是位似图形是位似图形吗？如果是位似图形，说出位似中心和位似比吗？如果是位似图形，说出位似中心和位似比. 是位似图形。是位似图形。位似中心是点位似中心是点A，位似比是位似比是1:2。 4. 哪些图形是位似图形并指出位似图形的哪些图形是位似图形并指出位似图形的位似中心。位似中心。OP(1)(3)(2)位似中心是点位
21、似中心是点O。位似中心是点位似中心是点P。 5. 作出一个新图形，使新图形与原图形对应作出一个新图形，使新图形与原图形对应线段的比是线段的比是2 1。 6. （1）如果在射线）如果在射线OA,OB,OC上分别取上分别取D,E,F,使使OD=2OA, OE=2OB, OF=2OC,那么那么,结果会怎样结果会怎样?DEFAOBC 结果会得到一个放大了的结果会得到一个放大了的DEF,且且DEF的三边是的三边是ABC三边的三边的2倍倍.即它们即它们的位似比是的位似比是2 1。 （2）如果在射线）如果在射线AO,BO,CO上分别取上分别取点点D,E,F使使DO=OA,EO=OB,FO=OC,那么那么,结
22、果又会怎样结果又会怎样? 结果会得到一个与结果会得到一个与ABC全等的全等的DEF,.即它们的位似比是即它们的位似比是1 1。DEFAOBCOABC 7. 任意画一个三角形任意画一个三角形,将将ABC的三边缩的三边缩小为原来的一半。小为原来的一半。FED1. 位似图形、位似中心、位似比：位似图形、位似中心、位似比： 如果两个图形不仅形状相同如果两个图形不仅形状相同,而且每组而且每组对应顶点所在的直线都经过同一个点对应顶点所在的直线都经过同一个点,那么那么这样的两个图形叫做位似图形。这样的两个图形叫做位似图形。 这个点叫做位似中心。这个点叫做位似中心。 这时的相似比又称为位似比这时的相似比又称为
23、位似比.2. 位似图形的性质：位似图形的性质： 位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比。离之比等于位似比。 以坐标原点为位似中心的位似变换有以下性质：以坐标原点为位似中心的位似变换有以下性质：若原图形上点的坐标为（若原图形上点的坐标为（x，y），与原图形的位），与原图形的位似比为似比为k，则像上的对应点的坐标为（，则像上的对应点的坐标为（kx，ky）或（或（kx，ky）。 画出基本图形。画出基本图形。 选取位似中心。选取位似中心。 根据条件确定对应点，并描出对应点。根据条件确定对应点，并描出对应点。 顺次连结各对应点，所成的图形就是所求的图形。顺次连结各对应点，所成的图形就是所求的图形。3. 位似图形的画法：位似图形的画法： 对称对称 平移平移 旋转旋转 相似相似 4. 图形变换图形变换