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1、第第5 5讲讲 二次函数性质的再研究二次函数性质的再研究【考纲下载】【考纲下载】掌握一次函数和二次函数的性质，学会用配方法研究二次函数的性质，能运掌握一次函数和二次函数的性质，学会用配方法研究二次函数的性质，能运用二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的联系去解决有关问题用二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的联系去解决有关问题. 1二次函数二次函数 函数函数 叫做二次函数，它的定义域是叫做二次函数，它的定义域是R.2yax2(a0)的性质和图象特征的性质和图象特征 (1)定义域是定义域是 . (2)顶点坐标为顶点坐标为 (3)偶函数，图象关于偶函数，图象关于y轴对称，其对称轴方程为
2、轴对称，其对称轴方程为 .3二次函数的三种表示形式二次函数的三种表示形式 一般式：一般式： 顶点式：顶点式： ，其中，其中 为抛物线的顶点坐标为抛物线的顶点坐标 两根式：两根式： ，其中，其中 是抛物线与是抛物线与x轴交点的横坐标轴交点的横坐标yax2bxc(a0)R(0,0)x0yax2bxc(a0)ya(xh)2k(a0)(h，k)ya(xx1)(xx2)x1，x24 4二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三者之间的关系二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三者之间的关系b24ac000)的图象的图象方程方程ax2bxc0(a0)的解的解无解无解ax2bxc0(a0)的解集的解集Rax2
3、bxc0)的解集的解集x|x1xx2xx1 xx2x1x2x0 x|xx2x|xx0 提示提示：分析二次函数的图象时，注意抓住几个关键环节：开口方向、对称轴、分析二次函数的图象时，注意抓住几个关键环节：开口方向、对称轴、顶点、与坐标轴的交点的坐标顶点、与坐标轴的交点的坐标1二次函数二次函数yf(x)满足满足f(3x)f(3x)(xR)且且f(x)0有两个实根有两个实根x1、x2，则，则 x1x2等于等于() A0 B3 C6 D不能确定不能确定 解析解析：由由f(3x)f(3x)知函数知函数y yf(x)的图象关于直线的图象关于直线x3对称对称，应有应有 3x1x26. 答案答案：C12xx2
4、2方程方程x2(m2)x5m0两根都大于两根都大于2，则，则m的范围是的范围是() A(5，4 B(，4 C(，2 D(，5)(5，4 解析解析：令令f(x)x2(m2)x5m，则则f(2)0，即即m5. 又又(m2)24(5m)0且且 2 m4或或m4. 5 Bk 且且k0 Ck Dk 且且k0 答案答案：B4函数函数f(x)2x26x1在区间在区间1,1上的最小值是上的最小值是_，最大值是，最大值是 _ 解析解析：f(x)2 . 当当x1时时，f(x)min3； 当当x1时时，f(x)max9. 答案答案：3974747474237x22二次函数解析式的确定，应视具体问题，灵活地选用其形式
5、，再根据题设条件列二次函数解析式的确定，应视具体问题，灵活地选用其形式，再根据题设条件列方程组，即运用待定系数法来求解在具体问题中，常常会与图象的平移、对称，方程组，即运用待定系数法来求解在具体问题中，常常会与图象的平移、对称，函数的周期性、奇偶性等知识有机地结合在一起函数的周期性、奇偶性等知识有机地结合在一起【例【例1 1】 已知函数已知函数f(x)x2mxn的图象过点的图象过点(1,3)，且，且f(1x)f(1x)对任对任 意实数都成立，函数意实数都成立，函数yg(x)与与yf(x)的图象关于原点对称求的图象关于原点对称求f(x)与与g(x)的的 解析式解析式 思维点拨思维点拨：由由f(1
6、)3，且函数，且函数f(x)的图象关于直线的图象关于直线x1对称先求对称先求f(x)，再由，再由 对称性求对称性求g(x) 解：由题意知：解：由题意知： 解得解得 f(x)x22x. 设函数设函数yf(x)图象上的任意一点图象上的任意一点Q(x0，y0)关于原点的对称点为关于原点的对称点为P(x，y)， 则则x0 x，y0y. 点点Q(x0，y0)在在yf(x)的图象上，的图象上， yx22x，yx22x， g(x)x22x.变式变式1：已知二次函数：已知二次函数f(x)满足满足f(2)1，f(1)1，且，且f(x)的最大值是的最大值是8，试确，试确 定此二次函数的解析式定此二次函数的解析式
7、解：解法一解：解法一：利用二次函数一般式：利用二次函数一般式 设设f(x)ax2bxc(a0)， 由题意得由题意得 解之得解之得 所求二次函数为所求二次函数为y4x24x7. 解法二解法二：利用二次函数顶点式：利用二次函数顶点式 设设f(x)a(xm)2n， f(2)f(1)， 抛物线对称轴方程为抛物线对称轴方程为x . m，又根据题意函数有最大值为，又根据题意函数有最大值为n8. 2( 1)122 解法三解法三：利用两根式：利用两根式由已知，由已知，f(x)10的两根为的两根为x12，x21，故可设故可设f(x)1a(x2)(x1)，即，即f(x)ax2ax2a1.又函数有最大值又函数有最大
8、值ymax8，即，即 8，解之得解之得a4或或a0(舍舍)，所求函数解析式为所求函数解析式为f(x)4x24x7.函数值域的求法，没有固定的模式，常用的方法有观察法、数形结合法、函数值域的求法，没有固定的模式，常用的方法有观察法、数形结合法、配方法、判别式法、单调性法、不等式法、换元法、反函数法等求二次配方法、判别式法、单调性法、不等式法、换元法、反函数法等求二次函数在给定区间上的值域或最值，一般方法是根据对称轴与区间的位置关函数在给定区间上的值域或最值，一般方法是根据对称轴与区间的位置关系，含字母时，常需分类讨论系，含字母时，常需分类讨论【例【例2 2】 已知二次函数已知二次函数f(x)ax
9、2bx(a、b为常数且为常数且a0)满足条件：满足条件： f(x5)f(x3)，且方程，且方程f(x)x有等根有等根 (1)求求f(x)的解析式；的解析式； (2)设设g(x)f(x)tx(tR)，试求，试求g(x)在区间在区间1,1上的最小值；上的最小值； (3)是否存在实数是否存在实数m、n(mn)，使，使f(x)的定义域和值域分别是的定义域和值域分别是m，n和和 3m,3n？如果存在，求出？如果存在，求出m、n的值，若不存在，请说明理由的值，若不存在，请说明理由(2)g(x) x2(t1)x，其对称轴方程为，其对称轴方程为xt1，函数图象是开口，函数图象是开口向下的抛物线，故求最小值只需
10、讨论区间两个端点向下的抛物线，故求最小值只需讨论区间两个端点1与与1离对称轴的离对称轴的距离距离当当t10，即，即t1时，时，g(1) t为最小值；为最小值；当当t10，即，即t1时，时，g(1) t为最小值为最小值123212(3)假设存在这样的假设存在这样的m、n满足条件，由于满足条件，由于 3n ，即，即n 1，故二次函数，故二次函数f(x)在区间在区间m，n上是增函数，从而有上是增函数，从而有 1216mn，m4，n0.变式变式2 2：函数：函数f(x)x22ax1a在区间在区间0,1上有最大值上有最大值2，求实数，求实数a的值的值 解：对称轴解：对称轴xa，当，当a1，0,1是是f(
11、x)的递增区间，的递增区间， f(x)maxf(1)a2a2；所以所以a1或或2.二次函数的实根分布问题是高考的一个热点问题，判断二次函数二次函数的实根分布问题是高考的一个热点问题，判断二次函数的零点分布的关键在于作出二次函数的图象的草图，根据草图通的零点分布的关键在于作出二次函数的图象的草图，根据草图通常从判别式、对称轴的位置、特殊点的函数值这三个角度列出不常从判别式、对称轴的位置、特殊点的函数值这三个角度列出不等式组求解等式组求解【例【例3 3】 (1)方程方程x22ax40的两根均大于的两根均大于1，则实数，则实数a的取值范围是的取值范围是_ (2)方程方程x22ax40的一根大于的一根
12、大于1，一根小于，一根小于1，则实数，则实数a的取值范围是的取值范围是 _ (3)方程方程x22ax40的一根在的一根在(0,1)内，另一个根在内，另一个根在(6,8)内，则实数内，则实数a的取值范的取值范 围是围是_ 思维点拨思维点拨：利用根与系数的关系及判别式或利用二次函数图象特征解决利用根与系数的关系及判别式或利用二次函数图象特征解决 解析解析：(1)方法一方法一：利用根与系数的关系，设方程：利用根与系数的关系，设方程x22ax40的两根为的两根为 x1、x2，解之得解之得2a .52方法二方法二：利用二次函数图象的特征，设：利用二次函数图象的特征，设f(x)x22ax4，(2)方法一方
13、法一：利用根与系数的关系，设方程：利用根与系数的关系，设方程x22ax40的两根为的两根为x1、x2，方法二方法二：利用二次函数图象的特征，设：利用二次函数图象的特征，设f(x)x22ax4则则f(1) .52(3)利用二次函数图象的特征，设利用二次函数图象的特征，设f(x)x22ax4，答案答案：变式变式3 3：设二次函数：设二次函数f(x)x2axa，方程，方程f(x)x0的两根的两根x1和和x2满足满足 0 x1x20时，时，h(a)单调递增，单调递增，当当0a32 时，时，0h(a)h(32 ) 22解法二解法二：(1)同方法一同方法一(2)f(0)f(1)f(0)f(0)g(1)2a
14、2，则由则由(1)知知0a0,求求m的取值范围的取值范围1232不能正确利用二次函数的性质来解题，而出现下面的错解：由不能正确利用二次函数的性质来解题，而出现下面的错解：由 故要有故要有f(x)0，只需，只需 m 0即可，解得即可，解得m3. 1232本题的实质是求二次函数的最值问题，关于含参数的二次函数在闭本题的实质是求二次函数的最值问题，关于含参数的二次函数在闭区间上的最值问题，一般是根据对称轴与闭区间的位置关系来进行区间上的最值问题，一般是根据对称轴与闭区间的位置关系来进行分类讨论，如轴在区间左边，轴在区间上，轴在区间右边等，最后分类讨论，如轴在区间左边，轴在区间上，轴在区间右边等，最后再综合归纳得出所需结论再综合归纳得出所需结论. 点击此处进入点击此处进入 作业手册作业手册