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1、第第2讲整式及其运算讲整式及其运算(1)_单项式和多项式_统称为整式(2)单项式：由_数与字母_或_字母与字母_相乘组成的代数式叫做单项式，所有字母指数的和叫做_单项式的次数_，数字因数叫做_单项式的系数_(3)多项式：由几个_单项式相加_组成的代数式叫做多项式，多项式里次数最高的项的次数叫做这个_多项式的次数_，其中不含字母的项叫做_常数项_1整式2整式运算(1)整式加减：同类项：多项式中所含_字母_相同并且_相同字母的指数_也相同的项，叫做同类项；整式加减的实质是合并同类项(2)幂运算法则：同底数幂相乘：_amanamn(m，n都是整数，a0)_；幂的乘方：_(am)namn(m，n都是整
2、数，a0)_；积的乘方：_(ab)nanbn(n是整数，a0，b0)_；同底数幂相除：_amanamn(m，n都是整数，a0)_(4)乘法公式：平方差公式：_(ab)(ab)a2b2_；完全平方公式：_(ab)2a22abb2_(3)整式乘法：单项式与单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘作为积的因式，只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式；单项式乘多项式：m(ab)_mamb_；多项式乘多项式：(ab)(cd)_acadbcbd_(5)单项式与单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因子，对于只在被除式里含有的字母，连同它的指数作为商的一个因式多项式除以单项式，将这个多
3、项式的每一项除以这个单项式，然后把所得的商相加(1)整体思想：在进行整式运算或求代数式值时，若将注意力和着眼点放在问题的整体结构上，把一些紧密联系的代数式作为一个整体来处理借助“整体思想”，可以拓宽解题思路整体思想最典型的是应用于乘法公式中，公式中的字母a和b不仅可以表示单项式，也可以表示多项式，如(x2yz)(x2yz)x(2yz)x(2yz)x2(2yz)2x24y24yzz2.(2)数形结合思想：在列代数式时，常常能遇到另外一种类型的题，给你提供一定的图形，通过对图形的观察探索，搜集图形透露的信息，并根据相关的知识去列出相应的代数式；也能用图形验证整式的乘法和乘法公式(3)观察、比较、归
4、纳、猜想的数学思想：观察才能获取大量信息，成为智慧的源泉，比较才能发现信息的异同；通过归纳使共同点浮出水面，总结归纳的结果获得猜想、有所发现，这就是归纳的思想，也是数学发现的重要方法1(2013宁波)下列计算正确的是Aa2a2a4 B2aa2 C(ab)2a2b2 D(a2)3a5( C )2(2013嘉兴)下列运算正确的是Ax2x3x5 B2x2x21 Cx2x3x6 Dx6x3x3( D )3(2012南通)已知x216xk是完全平方式，则常数k等于A64 B48 C32 D16( A )4(2012温州)某校艺术班同学，每人都会弹钢琴或古筝，其中会弹钢琴的人数比会弹古筝的人数多10人,两
5、种都会的有7人设会弹古筝的有m人,则该班同学共有_人(用含m的代数式表示) _2m3_5化简：(1)(2013台州)(x1)(x1)x2；原式x21x2 1.(2)(2013温州)(1a)(1a)a(a3)原式1a2a23a 13a.【问题】(1)计算：(a3)(a3)a(3a2)(2a1)2；(2)完成(1)计算后回答：此计算过程中，用到了哪些乘法公式和法则；此计算过程中，要注意哪些问题【解析】(1)2a10；(2)完全平方公式、平方差公式，去括号、合并同类项等；去括号时，要注意变号等【归纳】复习实数相关概念、运算法则，以及要注意的问题类型一幂的运算类型一幂的运算例1下列运算正确的是()Aa
6、3a32a6 Ba6a3a3Ca3a32a3 D(2a2)38a6【思路分析】利用整式运算的基本法则，分析每一项，判断选项正误：a3a32a3，a6a3a6(3)a9，a3a3a6，(2a2)3(2)3(a2)38a6，A、B、C选项错，D选项正确 【答案】D【解后感悟】(1)幂的运算法则是进行整式乘除法的基础，要熟练掌握，解题时要明确运算的类型，正确运用法则；(2)在运算的过程中，一定要注意指数、系数和符号的处理1若39m27m321，则m的值是A3 B4 C5 D6( B )( A ) 类型二整式的加减运算类型二整式的加减运算【思路分析】去括号，合并同类项，原式x21215x14x10.【
7、答案】D【解后感悟】整式的加减，实质上就是，有括号的，先去括号只要算式中没有同类项，就是最后的结果3若4xayx2yb3x2y，则ab _3_类型三整式的混合运算类型三整式的混合运算例3化简：2(m1)mm(m1)(m1)mm(m1)若m是任意整数，请观察化简后的结果，你发现原式表示一个什么数？【思路分析】根据单项式乘以多项式法则先计算括号里的乘法，再去括号合并同类项，即可算出结果【答案】2(m1)mm(m1)(m1)mm(m1) 2(m2mm2m)(m2mm2m)8m3. 原式(2m)3，表示3个2m相乘的数【解后感悟】(1)对于整式的加、减、乘、除、乘方运算，要充分理解其运算法则，注意运算
8、顺序，正确应用乘法公式以及整体和分类等数学思想(2)在应用乘法公式时，要充分理解乘法公式的结构特点，分析是否符合乘法公式的条件4(2011南通)先化简，再求值：(4ab38a2b2)4ab(2ab)(2ab)，其中a2，b1.【答案】原式2a(2ab)，将a2，b1代入得12.类型四乘法公式类型四乘法公式【思路分析】根据整式的乘法法则，用其中一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加；单项式乘多项式，可以按照乘法分配律进行；最后再根据合并同类项法则进行整式加减运算【解后感悟】对于整式乘法运算，能用乘法公式要充分运用公式；在应用时，要充分理解乘法公式的结构特点，分析是否符合乘法公
9、式的条件5(1)(2013绍兴)化简：(a1)22(a1)；【答案】原式a22a12a2 a23.(2)(2013台州)化简：(x1)(x1)x2.【答案】原式x21x2 1.类型五整式运算的应用类型五整式运算的应用例5(2012宁波)用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放：(1)第5个图形有多少颗黑色棋子？(2)第几个图形有2013颗黑色棋子？请说明理由【思路分析】(1)根据图中所给的黑色棋子的颗数，找出其中的规律，即可得出答案；(2)根据(1)所找出的规律，列出式子，即可求出答案【答案】(1)第一个图需棋子6颗，第二个图需棋子9颗，第三个图需棋子12颗，第四个图需棋子15颗，第五个图需棋
10、子18颗，第n个图需棋子3(n1)颗答：第5个图形有18颗黑色棋子(2)3(n1)2013，n670.【解后感悟】解决整式的规律性问题应充分发挥数形结合的作用，从分析图形的结构入手，分析图形结构的形成过程，从简单到复杂，进行归纳猜想，从而获得隐含的数学规律，并用代数式进行描述 6小敏将一张直角边为1的等腰直角三角形纸片(如图1)，沿它的对称轴折叠1次后得到一个等腰直角三角形(如图2)，再将图2的等腰直角三角形沿它的对称轴折叠后得到一个等腰直角三角形(如图3)，则图3中的等腰直角三角形的一条腰长为_ _；同上操作，若小敏连续将图1的等腰直角三角形折叠n次后所得到的等腰直角三角形(如图n1)的一条
11、腰长为_ _.【感悟】本题需要先通过阅读掌握新定义方法，再利用类似方法解决问题关键是观察问题，分析问题，解决问题的能力幂的运算的常见错误【试题】计算(1)x3x5;(2)x4x4;(3)(am1)2;(4)(2a2b)2;(5)(mn)6(nm)3.【分析】学生错误(1)x3x5x35x15；(2)x4x42x4；(3)(am1)2a2m1；(4)(2a2b)222a4b2；(5)(mn)6(nm)3(mn)63(mn)3.每种幂的运算法则不同，应分清问题所对应的基本形式，以便合理应用法则；还有符号的处理，应当特别引起重视【正解】(1)x3x5x35x8；(2)x4x4x44x8；(3)(am1)2a(m1)2a2m2；(4)(2a2b)2(2)2a4b24a4b2；(5)(mn)6(nm)3(nm)6(nm)3(nm)3.