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1、2022年复变函数与积分变换习题及答案（含答案）第三章 复变函数的积分一、 判断题（1） 微积分中的求导公式、洛必达法则、积分中值定理等均可推广到复变函数。（ ）（2） 有界整函数必为常数。（ ）（3） 积分的值与半径的大小无关。（ ）（4） 若在区域内有，则在内存在且解析。（ ）（5） 若在内解析，且沿任何圆周的积分等于零，则在处解析。（ ）（6） 设在区域内均为的共轭调和函数，则必有。（ ）（7） 解析函数的实部是虚部的共轭调和函数。（ ）（8） 以调和函数为实部与虚部的函数是解析函数。（ ）二、选择题：1设C为从原点沿至的有向线段，则( )（A） （B） （C） （D）2设C为不经过点与
2、的正向简单闭曲线，则为( )（A） （B） （C） （D）以上都不对3设C为从沿至的直线段，则( )（A） （B） （C） （D）4设C为正向圆周，则 ( )（A） （B） （C） （D）5设为正向圆周，则 ( )（A） （B） （C） （D）6设，其中，则( )（A） （B） （C） （D）7设为正向圆周，则 ( )（A） （B） （C） （D）8设为椭圆，则积分= （ ）（A） （B） （C） （D）9设为任意实常数，那么由调和函数确定的解析函数是 ( )(A) （B） （C） （D）10设在区域内为的共轭调和函数，则下列函数中为内解析函数的是( )（A） （B） （C） （D）三、填空题
3、1设为负向圆周，则 2设为正向圆周，则 3设其中曲线C为椭圆正向，则 4设为正向圆周，则 5解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的 6设C是从到的直线段，则积分 7设C为过点的正向简单闭曲线，则当从曲线C内部趋向时， ，当从曲线C外部趋向时， 。8调和函数的共轭调和函数为 9若函数为某一解析函数的虚部，则常数 10设的共轭调和函数为，那么的共轭调和函数为 四、计算积分12., 其中且。 3，其中为不经过的简单正向闭曲线.五、设在平面上解析，且恒大于正常数M, 试证为常值函数.六、证明：若在圆周上及其内部解析，则七、设在复平面上处处解析且有界，对于任意给定的两个复数，试求极限并由此推证（刘维尔Liouville定理）.八、设在内解析，且，试计算积分并由此得出之值.答案：一、， ，二、1C 2. D 3. D 4. B 5. B 6. A 7. A 8A 9. D 10. B三、1 2 3. , , 4. 5. 平均值6。 7。，0 8. 9. 10. 四、1. 设 则 所以2当时，； 当时，； 当时，3分情况讨论：（1）为不包含的简单正向闭曲线=0（2）为包含，不包含的简单正向闭曲线（3）为包含，不包含的简单正向闭曲线（4）为即包含，也包含的简单正向闭曲线=0五、提示：对运用刘维尔定理.七、提示：估值不等式证明极限. 再用柯西积分公式计算，可验证。八、.6