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1、专题10 端点问题一考情分析导数在数学各类问题以及各个学科和许多领域中有着非常广泛的应用. 导数已成为研究函数性质的一种重要工具,例如求函数的单调区间、求最大（小）值、求函数的值域等等.在新课程背景下,一般情况都需要转化为函数,利用函数的性质,通过求导,利用单调性求出极值、最值,因此,很多时侯可以利用导数作为工具研究函数性质,从而解决问题.讨论函数的端点就是其中一个考点，下面具体讨论导数在端点时有关的问题时的作用.二经验分享1.研究含参数的函数的单调性,要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论划分函数的单调区间时,要在函数定义域内讨论,还要确定导数为0的点和函数的间断点2.根据函数单调性求参数
2、的一般思路(1)利用集合间的包含关系处理：yf(x)在(a,b)上单调,则区间(a,b)是相应单调区间的子集(2)f(x)为增函数的充要条件是对任意的x(a,b)都有f(x)0且在(a,b)内的任一非空子区间上f(x)不恒为零,应注意此时式子中的等号不能省略,否则漏解(3)函数在某个区间存在单调区间可转化为不等式有解问题3.利用导数研究含参数函数的单调性问题,常化为不等式恒成立问题,注意分类讨论与数形结合思想的应用；函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理三、题型分析例1.已知函数.（导数的几何意义，函数的单调性.）（I）当时，求曲线在处的切线方程；(II)若当时，求的取
3、值范围.【分析】：（）先求定义域，再求，由直线方程得点斜式可求曲线在处的切线方程为（）构造新函数，对实数分类讨论，用导数法求解.【解析】：（I）的定义域为.当时，曲线在处的切线方程为（II）当时，等价于令，则，（i）当，时，故在上单调递增，因此；（ii）当时，令得，由和得，故当时，在单调递减，因此.综上，的取值范围是例2.已知R，函数f (x)exex(xlnxx1)的导函数为g(x)（1）求曲线yf (x)在x1处的切线方程；（2）若函数g (x)存在极值，求的取值范围；（3）若x1时，f (x)0恒成立，求的最大值【解析】（1）因为f(x)exelnx，所以曲线yf (x)在x1处的切线的
4、斜率为f(1)0，又切点为(1，f (1)，即(1，0)， 所以切线方程为y0 （2）g (x)exelnx，g(x)ex当0时，g(x)0恒成立，从而g (x)在(0，)上单调递增，故此时g (x)无极值 当0时，设h(x)ex，则h(x)ex0恒成立，所以h(x)在(0，)上单调递增 当0e时，h(1)e0，h()ee0，且h(x)是(0，)上的连续函数，因此存在唯一的x0(，1)，使得h(x0)0当e时，h(1)e0，h()e10，且h(x)是(0，)上的连续函数，因此存在唯一的x01，)，使得h(x0)0故当0时，存在唯一的x00，使得h(x0)0 且当0xx0时，h(x)0，即g(x
5、)0，当xx0时，h(x)0，即g(x)0， 所以g (x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，)上单调递增， 因此g (x)在xx0处有极小值所以当函数g (x)存在极值时，的取值范围是(0，)（3）g (x)f(x)exelnx，g(x)ex若g(x)0恒成立，则有xex恒成立设(x)xex(x1)，则(x)(x1) ex0恒成立， 所以(x)单调递增，从而(x)(1)e，即e于是当e时，g (x)在1，)上单调递增，此时g (x)g (1)0，即f(x)0，从而f (x)在1，)上单调递增所以f (x)f (1)0恒成立 当e时，由（2）知，存在x0(1，)，使得g (x)在(0，x0)
6、上单调递减，即f(x)在(0，x0)上单调递减所以当1xx0时，f(x)f(1)0，于是f (x)在1，x0)上单调递减，所以f (x0)f (1)0这与x1时，f (x)0恒成立矛盾因此e，即的最大值为e 例3.已知函数（为正实数，且为常数）.（1）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围；（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围.【解析】：（1），. 因在上单调递增，则，恒成立. 令，则， x减极小值增因此，即（2）当时，由（1）知，当时，单调递增. 又，当，；当时，. 故不等式恒成立若，设，令，则. 当时，单调递减，则，则，所以当时，单调递减， 则当时，此时，矛盾. 因此，.例4.设函数.
7、（）求函数的单调递增区间；（）设函数在上是增函数，且对于内的任意实数,当为偶数时，恒有成立，求实数的取值范围；()当是偶数时，函数，求证：.【解析】：由已知，得函数f(x)的定义域为（）当k为偶数时，则,又，即，得x，所以此时函数的单调递增区间为.当k为奇数时，则在定义域内恒成立，所以此时函数的单调增区间为. （）函数在上是增函数在上恒成立，即在上恒成立，即，. 由（）可知当k为偶数时，得0x,即在为减函数，.又对于内的任意实数x1，x2，当k为偶数时，恒有成立,即,所以, 由得. ()由（）可知，即证，由二项式定理= . 即证. 设Sn=,则Sn=.两式相加得2Sn=,即Sn，所以原不等式得
8、证. 四、 迁移应用1.已知对任意的恒有成立.（）求正数与的关系；（）若对恒成立，求函数的解析式；（）证明：.【解析】：（1）设，易知，由已知恒成立，所以函数在处取得最大值。，又在处取得极大值，符合题意，即关系式为（2），恒成立，令，有，即对恒成立，须函数（3）由（2）知：即2.已知函数（）若函数在定义域内单调递增，求的取值范围；（）若且关于x的方程在上恰有两个不相等的实数根，求实数的取值范围；（）设各项为正的数列满足：求证：.【解析】：（1）依题意在时恒成立，即在恒成立.则在恒成立，即 当时，取最小值，的取值范围是 （2）设则列表：极大值极小值极小值，极大值，又 方程在1，4上恰有两个不相等
9、的实数根.则， 得 （3）设，则在为减函数，且故当时有.假设则，故从而即， 3【山东省烟台市2019届高三3月诊断性测试（一模）数学】已知函数，.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）设函数，其中是自然对数的底数，讨论的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值【答案】（1）；（2）当时，在上单调递增，无极值；当时，在和单调递增，在单调递减，极大值为，极小值为.【解析】（1）由题意，所以当时，因此曲线在点处的切线方程是，即.（2）因为，所以，令，则，令得，当时，单调递减，当时，单调递增，所以当时，也就说，对于恒有.当时，在上单调递增，无极值；当时，令，可得当或时，单调递增，当时，单调递减，因此
10、，当时，取得极大值；当时，取得极小值.综上所述：当时，在上单调递增，无极值；当时，在和上单调递增，在上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值为，极小值为.【名师点睛】本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题4.已知函数（1）证明：有唯一的零点：（2）当时，函数有零点，记的最大值为证明.【答案】：（1）证明参考解析；（2）证明参考解析【解析】证明：（1）由题意得，易知单调递减，且，所以在上单调递减,，所以在上有唯一的零点.（2），由（1）可知在上有唯一的零点.且在上单调递增，在上单调递减，由. 下面来证，一方面， 另一方面，欲证，又，所以只需
11、要证明，记，由前面可知在上单调递减，所以，证毕. 【点评】（1）零点存在定理的考察（易）（2） 分参思想的运用，将转化为函数转化为函数最值问题（难） 5.已知函数，其中.（1）当时，求的单调区间；（2）若时，恒成立，求实数的取值范围.（附）【答案】：（1） ，（2） 【解析】：（1）由题意得：，（） 当时，当，单调递减；当，单调递增.的单调减区间为，的单调增区间为.（2）令，则，由，则，单调递增，.当时，则单调递增，满足，无解；当时，则单调递减，满足，成立；当时，由时，单调递增，所以存在，则在上单减，在上单增，要恒成立，只要，即.综上所述，实数的取值范围为 6.已知函数，曲线在点处的切线方程为
12、.（1） 求的值和的单调区间；（2） 若对任意的恒成立，求整数的最大值.【答案】：（1）减区间，增区间为.证明参考解析；（2）3【解析】（1）由题，故又，点在上，代入解得，此时令得，当单调递减；当单调递增故减区间，增区间为（3） 解法一：（分类讨论）：由（1）可知，对恒成立，即恒成立。令，只需，则.当时恒成立（当且仅当时取等），此时在单调递增，满足.当时，令，当单调递减；当单调递增，故，易知为减函数，当时；当时，故当时满足条件.综上，整数的最大值值为3.解法二：（参变分离+隐零点虚设根）：由题当时满足条件。当时，只需，则，令，当时，故在递增，又，故使，即，当时即递减；当时即递增，故，又，故，因此，取解法三：（必要性探路）：对恒成立，令即。当时，构造，只需证明即可，此时是最大符合要求的整数。，令在.解法四：（参变分离+不等式放缩），等号不能同时取到，后面步骤同法3.