《【高中数学】2023年新高考数学二轮专题突破精练第14讲 端点恒成立与端点不成立问题（解析版）.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【高中数学】2023年新高考数学二轮专题突破精练第14讲 端点恒成立与端点不成立问题（解析版）.pdf（32页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、第 14讲 端 点 恒 成 立 与 端 点 不 成 立 问 题 参 考 答 案 与 试 题 解 析 一.解 答 题(共 30小 题)1.(2021天 津 二 模)已 知 函 数/(x)=(尔+x+a)e-*(a e 7?).(I)当 a=0时，求/(x)在 点(0,/(0)处 的 切 线 方 程；(H)若,求 函 数/(x)的 单 调 区 间；(III)若 对 任 意 的 狼 0，f(x)&R(x+l)在 xe0,+8)上 恒 成 立，求 实 数 b 的 取 值 范 围.【解 答】解：(I)当。=0 时,fx=xex,f(x)-ex-x*ex=e-x(l-x).(I 分)./，(0)=l,/(
2、0)=0,函 数/(x)在 点(0,7(0)处 的 切 线 方 程 为 y=x.(2分)(II)由 题 意，f(x)=(2ax+)ex-(ax2+x+a)ex=-exax2+(l-2iz)x+a-l=-e-j:(x-l)(i7x+l-a).(3分)(i)当 a=0 时，/,(x)=-e-I(x-l),令 八 x)0,得 x l；fx)l,所 以 在(-8,1)单 调 递 增，(1,+8)单 调 递 减；(4分)(ii)当 a 0 时，l-i0,得 fx)l,(5 分)a a所 以/(X)在(1-L1)单 调 递 增，在(1,+8)单 调 递 减，.(6分)a a(III)令 g(a)=ex(x
3、2+l)a+xex,tz e(-oo,0,当 x0,+oo)时，ex(x2+1)0,g(a)单 调 递 增,则 g(a)s=g()=xb,.(7 分)则 g(a)Q 加(x+1)对 Vaw(-8,0恒 成 立 等 价 于 b/(x+l)g(a),wav=g(0),即 犯”历(x+1),对 笔 w0,+oo)恒 成 立.(8分)(i)当 区 0 时,Vx G(0,+oo),hln(x+V)0 jHsB;t xex bln(x+1),不 合 题 意，舍 去.(9分)1(ii)当 6 0 时,h(x)=bln(x+1)-xex,X G O,+oo),则 h(x)=-U-廿)=(io 分)x+1(x+
4、)ex其 I1(x+l)ev 0,Vx e 0,+oo),令 p(x)=b e*+x 2-i,x e 0,+8),则 M)在 区 间。，物)上 单 调 递 增.(11分)当 除 1时.，p(x)加(0)=6-珍 0,所 以 对 V x e 0,+oo),h(x)0,则 僦 外 在 0,+)上 单 调 递 增，故 对 任 意 X G 0,+00),h(x)h(0)=0,即 不 等 式 6/w(x+l)xeT在 0,+8)上 恒 成 立，满 足 题 意.(12 分)与 0 6 1时，由 p(0)=%-l 0及 p(x)在 区 间 0,+8)上 单 调 递 增，所 以 存 在 唯 的 x e(0,l
5、)使 得 p(%)=0,且 x e(0,x 0)时，p(x)0.B P h(x)0,所 以(x)在 区 间(0,%)上 单 调 递 减,则 与(0,%)时,A(x)A(0)=0,即 b/(x+1)0,则/(x)在 尺 上 单 调 递 增;当。0时，令/(x)=0,解 得 x=/a,当 x/a 时，/(x)加 a 时,f(x)0,则/单 调 递 增.综 上 所 述，当 aWO时，/(x)在 R 上 单 调 递 增：当 aOR寸，/(x)在(-8,/a)上 单 调 递 减，在(0 a,*)上 单 调 递 增；(2)由(1)可 知，当 时，/(x)0,则/(x)在 0,+0。)单 调 递 增，所 以
6、/(x)*=/(O)=e=l,因 为 x 0,g(x)=/(x+l),则 g(x)O在 0,-KO)上 恒 成 立，所 以 当 aWO时，/(*)+8()1在 0,+8)上 恒 成 立，2令 h(x)-/(x)+g(x)-=ex-ax+ln(x+1)-l(x O),则 l(x)=e*-a+,，x+1故(x)=e、L y 0,(X+l)2所 以”(x)在 0,+8)上 单 调 递 增，又(0)=2-a,当 0 2 时，l(x).=/(0)=2-0,+lna故 存 在 飞 0,4-00),使 得“(%0)=0,且。(/)(0)=6-0+济 1-1=0,BP h(x)0,所 以/(x)+g(x)0,
7、得 x l；f(x)l,所 以/(x)在(-oo,l)单 调 递 增(l,+oo)单 调 递 减.所 以/(x)的 极 大 值 为/=!二，不 合 题 意.e e3 当 a 0 时，1-0,得 令 r(x)0,得 x 1；a a所 以 x)在(1-L l)单 调 递 增，(1,+00)单 调 递 减.a a所 以/(X)的 极 大 值 为 1)=如 1=得 a=2.e e综 上 所 述 a=2.(2)令 g(a)=ex(x2+)a+xex,当 x 2 0时，于、(/+工)2 0,故 g(a)于(-oo,0 上 递 增，,g(a)g(O)=xex,(x20).原 问 题 u*xe%bln(x+1
8、)T-x e 0,+oo)上 恒 成 立.当 区 0 时，Vx 0，bln(x+1)0,此 时 xex bln(x+1),不 合 题 意.当 6 0 时，令 h(x)=bln(x+1)-xex,x20,则 l(x)=-(ex-xex)=其 中(x+l)/0,x 0,x+l(x+l)ex p(x)=bex+x2-lf x 0,则 p(x)在 区 间 0,+8)上 单 调 递 增，(i)嫄 1 时，p(x)p(0)=6-l2 0,所 以 对 X/x20,h x)0,从 而(x)在 0,+8)上 单 调 递 增，所 以 对 任 意 x 2 0,(x)(0)=0,即 不 等 式 bln(x+l)xex
9、,xexhln(x+1)于 x 0,+8)匕 恒 成 立.(ii)0 b l时，由 p(0)=b l 0及 p(x)在 区 间 0,+功 上 单 调 递 增,所 以 存 在 唯 一 的 与 w 0,1 使 得 0()=0,且 w(O,Xo)时，夕(/)子 0 从 而 X(O,X。)时，/f(x)0,所 以 力(x)在 区 间(0,%)上 单 调 递 减，则 xw(O,Xo)时，h(x)h(0)=0 即 劭 7(x+l)d,不 符 合 题 意.综 上 所 述，44.(2021秋 河 南 月 考)已 知 函 数/a)=x+ox+2(aeR).(I)讨 论/(x)的 单 调 性：(II)若 g(x)
10、=e*-X?,且 当 xe(0,+8)时/(x)Wg(x)恒 成 立，求 a 的 最 大 值.【解 答】解：(I)由 题 意 可 知，/，(x)=1+a=t 丝，X X当 时，八 x)0,/(x)在(0,+oo)上 单 调 递 增，当 4 0,/(%)单 调 递 增，a当 X(-+8)时，fx)Q,/(X)单 调 递 减，a综 上 所 述，当 心 0 时，”X)在(0,+00)上 单 调 递 增，当 a 0 时，/(x)在(0,-3上 单 调 递 增，在(-L+)时，/(x)Wg(x)恒 成 立，所 以 当 x(0,+oo)时，Inx+tzx+2ex-x2 恒 成 立，所 以 当 x G(0,
11、zo)时，aw幺 一 竺 二 恒 成 立，XA,.ex-Inx-x2-2 ex(x-1)+Inx-x2+(x-)ex-(x+1)+Inx令 h(x)=-，x 0,hx)=-3-=-,x x x令(x)=e*-x-1,u(x)=ex-,因 为 x 0,所 以 i/(x)0,所 以(x)在(0,+8)上 单 调 递 增，所 以“(X)“(0)=0,即 e、x+l,因 为 e*-(x+1)0,当 xe(0,l)时，x-l0,Inx 0 0,lnx0,所 以 在(0,1)上，h(x)0,力(x)单 调 递 增,所 以，在(0,+QO)上,h(x)h(1)=e-l,所 以 ge-3,所 以。的 最 大
12、值 为 e-3.5.(2021秋 许 昌 月 考)已 知 函 数/(乃=日 2+加-(2+4).(1)讨 论 x)的 单 调 性：(2)若/(x)-ax在 区 间(1,2)上 恒 成 立，求 实 数 a 的 取 值 范 围.【解 答】解：(1)因 为/，(1=2a-(2+a)x+l,%0 X5令 S(x)=2ar2-(2+a)x+1,当。=0,y，(x)=L-，由 r a)o,解 得 x(o,；)由 f(x)0,解 得 xe(g,+a),当。0,g(x)=lax1-(2+a)x+1=(2x-l)(ax-1),令 g(x)=0，得 士=,，x2=，2 a当 a 0,解 得 xe(0,；)；/(x
13、)，即 0a0,解 得 xe(0)U(L+8)，由/(x)0,xe(i,l).a 2 2 a 2 a由 工=_1时，即 a=2时，/(x)20恒 成 立；a 2当 _L2 时，由 广(x)0,解 得 xe(O-)J(,+)；由/(x)0,解 得 x e p).综 上 所 述，当 aWO时，函 数 x)在(0,；)上 单 调 递 增，在(；,+oo)上 单 调 递 减；当 0 a 2时，函 数“X)在(0)，d,+8)上 单 调 递 增，在(12)上 单 调 递 减;a 2 a 2(2)因 为/(工)=尔+伍 Y-(2+a)x,在 区 间(1,2)上 恒 成 立,即 ax2+Inx-2x0在 区
14、 间(1,2)上 恒 成 立，即 磅 在 二 处 在 区 间(1,2)上 恒 成 立，X、几.、2x-Inx,、2lnx-2x-1设 g(x)=，g(x)=p，2 _ 2 r令 h(x)=2lnx-2x,hx-.x因 为 xw(l,2),所 以、(x)vO,所 以(x)在(1,2)上 单 调 递 减，所 以 心),(1)=-3,所 以 g，(x)0,所 以 g(x)在(1,2)上 单 调 递 减,所 以 g(x)g(1)=2,所 以 码 2，所 以 a 的 取 值 范 围 为 2,+00).6.(2021 秋 玉 溪 月 考)已 知 函 数/(x)=x2-a(x-1)-Inx-1.6(1)若=
15、1,求 函 数/(x)的 最 小 值；(2)若 x0 时，/(x)2 0 恒 成 立，求 实 数。的 取 值 范 围.【解 答】解：(1)当 a=1时，/(x)-x-Inx,/(x)=2x-1-_L=2x 飞 二 L=(2x+D(x-n.,X X X令/(x)=0=工=1,当 OVxVl时，/(x)l 时，/(x)0,则/(x)在(1,+8)单 调 递 增，所 以/G)min=f(I)=0.(4 分)(2)f(x)=/-a(x-1)-Mx-1(x0),f(x)=2 x-=2 x 2-a x-l.x x设 r(x)=2x2-ax-1.因 为=+80,故 存 在 3 0,有 r(xo)=2 2-6
16、0-1=0.(8 分)x0且,(x)在(0,xo)时/(x)0,则/(x)在(0,xo)单 调 递 减,在(xo.+8)单 调 递 增,所 以 函 数/(X)在 x=xo处 取 到 最 小 值.(1()分)又 因 为/(I)=0,要 使 得/(x)2 0 恒 成 立，只 有 xo=l才 能 满 足.故 代 入 2 x 2-G O-1=0得。=1,X0故 所 求 4=1.(12分)7.(2021 秋 巴 中 月 考)已 知/(x)=x-ae*,a&R.(1)讨 论 函 数/(x)的 单 调 性；(2)当 a0时，若 对 任 意 x0,/(x)+/及 x-x-/aW。恒 成 立，求。的 取 值 范
17、 围.【解 答】解：()因 为 f(x)=x-ae,则 f(x)=1-ae”,当 我 0 时，/(x)0恒 成 立，所 以 函 数/(x)在 R 匕 单 调 递 增；当 a 0 时，令 f(x)0,解 得 x-Ina,令 f(x)Ina,所 以/(x)在(-00,-/a)上 单 调 递 增，在(-“,*)上 单 调 递 减.7综 上 所 述，当 QWO时，函 数/(x)在 R 上 单 调 递 增；当 0 时，“X)在(-8,-或)上 单 调 递 增，在(-氏+8)上 单 调 递 减；(2)当 0 旦 x0 时，/(%)+Inx-X-InaO 恒 成 立，即 aex-Inx+InaO对 于 x
18、0 恒 成 立，等 价 于 aex 4-ln(aex)历 x+x 对 于 x 0 恒 成 立，令 g(x)=+x，则 问 题 转 化 为 g(，)g(x)对 于 X 0 恒 成 立，因 为 g(x)=+l 0 对 于 x 0 恒 成 立，X所 以 g(x)在(0,+oo)上 单 调 递 增，则 g(a)g(x)对 于 x 0 恒 成 立，等 价 于 aexx对 于 x 0 恒 成 立，故 d 对 于 x 0 恒 成 立，exY令(%)=-7a 0),e则(x)=W，e当 0 x 0,则(x)单 调 递 增，当 x l 时，(x)0,则(x)单 调 递 减，所 以 当 x=l时，(x)取 得 最
19、 大 值 4(1)=-,e则 碎 1,e所 以。的 取 值 范 围 为+8).e8.(2021秋 河 南 月 考)已 知 函 数/(x)=+c o s x-2.(1)设 广 是 x)的 导 函 数，求/口)在 0,+oo)上 的 最 小 值；(2)今 8(工)=/(工)-0(4火)，若 xg(x)o对 于 任 意 的 XW-、,+8)恒 成 立，求 实 数。的 取 值 范 围.【解 答】解：(1)由/(%)=+cosx-2,得/(x)=e*-sinx,令(x)=e“-sinx,所 以/z(x)=e*-cosxO对 X E 0,+oo)恒 成 立，所 以%(x)=，一 sinx在 0,+8)上
20、为 增 函 数，所 以/Z(R)(O)=e-sin 0=1,8所 以 广(X)在 0,+8)上 的 最 小 值 为 1,(2)当 X0,+8)时，由 xg(x)0 得 g(x)20,取/(x)对 X W 0,+8)恒 成 立，所 以/(X)4X对 X0,+00)恒 成 立，即 函 数 y=f(x)的 图 象 在 y=的 上 方，当 工 号，0)时，由 xg(x)0 得 g(x)W0，取/(R)-QXWO对，0)恒 成 立，所 以 对 xc0,+8)恒 成 立，即 函 数 y=f(x)的 图 象 在 y=的 下 方，/(x)=产+COSX-2 在(0,0)的 切 线 斜 率 为 k=尸(0)=1
21、,当 4=1 时，+COSX-22X 对 X w0,+8)恒 成 立，令 尸(x)=+cosx-2-X,r(x)=ex-sinx-l,由(1)知 力(工)的 最 小 值 是 1,所 以 F(x)的 最 小 值 是 0,所 以 F(x)是 增 函 数，最 小 值 在 x=0 时 取 得，且 尸(0)=0,所 以 a=1时 ex+cosx-22x对 x w0,+oo)恒 成 立，同 理 可 证 a=l时，/+COSX-对-,0)恒 成 立，根 据 函 数 图 象 知.(2)设 g(x)=+#(x),若 g(x)O 恒 成 立,求 的 取 值 范 围.【解 答】解：(1)/Xx)=-a=-,X X9
22、当 时，fx)0,/(x)单 调 递 增,当。0 时，在(0)上，fx)0,f(x)单 调 递 增，a在 d，物)上，fx)0 时，f(x)在(0)上 单 调 递 增，在(，+8)上 单 调 递 减,a a(2)g(x)=e*x+x(lnx-ax)=ex+xlnx-ax2,令 u(x)=-xlnx+(x 2)e*T+x，ux)=-(1+历 x)+ex+(x-2)ex+1=(x-l)ex-1-Inx,u(x)=eT+(x _ l)e，T-1=xeT-,X X令 q(x)=xeT-LXq(x)=eT+xe，T+二=(x+l)eJ-1+与 0,x x所 以 q(x)在(0,+8)匕 单 调 递 增，
23、又 g(1)=0,fix+oo 时，q(x)-H,所 以 在(0,1)上，g(x)0,“(x)0,u(x)0,/(x)单 调 递 增，所 以/(x)/(1)=0,所 以 M(x)在(0,+8)上 单 调 递 增，又“(1)=0 所 以 在(0,1)上,u(x)0,hx)0,hx)0,桁)单 调 递 增，所 以/7(X)M M=6(1)=1,若 g(x)。恒 成 立，则 ex+xlnx-a/?。恒 成 立,所 以%/一 1+xl空 nx.恒 成 立,X令 h(x)=eT+xlnxx2hf(x)=(exl 4-1+lnx)x2-2x(exl+xlnx)_-xlnx+(x-2)ex+x10所 以，所
24、 以 a 的 取 值 范 围 为(7,1.10.(2021秋 广 东 月 考)已 知 函 数/(x)=(a 0 且 aw l).(1)若 函 数/(&2-办-0)在 区 间(-8,-；)上 单 调 递 增,求。的 取 值 范 围：(2)若/(2sin2x)+/(cos2x)22恒 成 立，求 a 的 取 值 范 围.【解 答】解：(1)由 于 二 次 函 数 y=f-+a 的 开 口 向 上，且 在(-8,3 单 调 递 减，y=&的 定 义 域 为 0,+00),且 在 定 义 域 上 单 调 递 增，于 是 由 复 合 函 数 的 单 调 性 可 知，实 数。应 满 足(-；-(-；)a-
25、a 2 0,解 得 0 代；，0 a 1实 数。的 取 值 范 围 为(0,J；(2)f(2sin2x)+/(cos2x)=a2si2x+ami2x la2si2m2x=2,当 且 仅 当 a2m=产 2*时 等 号 成 立,.2而 2,解 得 核 1,实 数 a 的 取 值 范 围 为 1,+oo).11.(2021秋 吴 中 区 校 级 月 考)设 函 数/(x)=-m r-l.(1)若 命 题“V x e R,/(x)0”是 真 命 题，求 实 数，”的 取 值 范 围；(2)若 对 于 xe(0,4),灯 氢?+1)/+3恒 成 立，求 实 数 加 的 取 值 范 围.【解 答】解：(
26、1)当 加=0 时，-1 0恒 成 立；当 阳 0时，/(X)=nvc1-m x-为 开 口 向 上 的 抛 物 线，原 不 等 式 不 恒 成 立；当?0 时、只 需(),即 加 2+4加 0,解 得 一 4 相 0.综 上 可 得，的 取 值 范 围 是(-4,0；(2)对 于 X E(0,4),/(x)W(m+l)/+3,4即 为 f+mx+4 0 即-mx+，x4令 g(x)=X+,X(0,4),x11即 有-wWg(x)”而，因 为 x+X1=4,当 且 仅 当 x=2 时 取 得 等 号,所 以-mW4.即 m?-4,所 以 用 的 取 值 范 围 是-4,+00).12.(202
27、1秋 重 庆 月 考)已 知 函 数/()=5-(?+1口+欣+”?，/(X)为 函 数/(x)的 导 函 数.(1)讨 论/(x)的 单 调 区 间；(2)若 V(x)-/(x)X)恒 成 立，求 7的 取 值 范 围.【解 答】解：(1)/(初 的 定 义 域 是(0,+oo),J(x)=x-(/n+l)+=-,X X.当 ffiWO时，在(0,1)上 单 调 递 减，在 单 调 递 增；当 0 m 1时，/(X)在(0,1),(机,+8)上 单 调 递 增，在(1,?)上 单 调 递 减；综 上 所 述，当 加 WOR寸，/(X)的 单 调 递 减 区 间 为(0,1)，递 增 区 间
28、为(1,+8)；当 0 机 1时，f(x)的 递 增 区 间 为(0,1),(m,+00),递 减 区 间 为(1,峭.(/、)令 人 h,(,x、)=-/-(-x-)=x(,加+1)+-m-i-n-x-F m z(%0.),x 2 x xxff(x)-f(x)0 恒 成 立，.(x)=矿(x)；/(x)=J._ 粤 却 恒 成 立，x 2 x即 Vx0,/-2加/x20恒 成 立，Y2 V2 当 0 c x 当 X 1 时，lnx0,有 2加 w L，Inx12 g(x)=1)，由 g(x)=o 得 X=，(加 0，工(0,胸)时，gx)0,g(x)单 调 递 增，.当 x=e；时，g(x)
29、取 得 极 小 值，也 是 最 小 值 2e,ni e；综 上 所 述，0Wm We.即 m 的 取 值 范 围 为 0,e.13.(2021 秋 江 西 月 考)已 知 函 数/(x)=/x+2x2-ox+l,g(x)=2x3-x2.(1)若。0,讨 论 函 数 在 定 义 域 内 的 极 值 点 个 数；(2)若。=1,函 数(x)=二 一 名*在(1,+8)上 恒 成 立,求 整 数 2 的 最 大 值.x-1I 4 z/y-1【解 答】解：(1)/(x)的 定 义 域 为(0,+oo),S.f(x)=-+4x-a=巴 2,X X方 程 4-ox+1=0,=a2-16 当=/-1 6,即
30、 0 0,即 a4 时，当 a 4 时，/(x)在(0,伫 正 二 匹),(a+.T 6 收)上 单 调 递 增,8 8在(&1 6,+&-16)上 单 调 递 减,故 极 值 点 个 数 为 2,8 8综 上 可 知，当 0 4 时，/(x)极 值 点 个 数 为 2；(2)当 a=l,/I(x)=w)w=,似 X)=(加 X+2)(x-1):a+X/X)=1),x 1 x(x 1)(x 1)1 Y 1令(x)=x-/x-2(xl),贝 U，(x)=l-=0,X X所 以 H(x)在(l,+a)上 单 调 递 增，而 H(3)=1-/30，所 以 存 在 e(3,4),使 得，(%)=0,即
31、/-/%-2=0,故=/-2,且 x e(1,%)时，h(x)x e(x0,+a),h(x)0 即 方(x)在(l,x0)上 单 调 递 减，在(x0,+00)上 单 调 递 增，13所 以/?(x)的 最 小 值 为 A(x0)=士+%醍。=为+史=2)=%,%T%-1所 以,因 为/e(3,4),2 e Z,即 彳 的 最 大 值 为 3.所 以，力 的 最 大 值 为 3.14.(2021秋 浙 江 月 考)已 知 函 数/a)=l+“J 7-J l+ax(a声 0).(I)若/(x)的 图 象 在 x=l 处 的 切 线/的 斜 率 为 色，求 直 线/的 方 程;(H)若 对 于 任
32、 意 的 xw0,2,/(x)W 0恒 成 立，求 实 数 a 的 取 值 范 围.【解 答】解:解 得 a=3,2；./(1)=2,切 点 为(1,2),斜 率 为 士，4.切 线/的 方 程 为 y=x+：；(II)法 1。工,对 于 任 意 的 xw0,2,/(x)(0 恒 成 立,畿,解 得。.又 当 1-0,对 于 任 意 的 x e 0,2,/(x)W 0恒 成 立，等 价 于 在 x e 0,2 白 亘 成 立,令 g(x)=.，xe0,2,则 只 需 g(x)x l 即 可.g(x)在(0,1)上 单 调 递 减，在(1,2)上 单 调 递 增,g Mma x=maxg(0),
33、g(2),由 g(0)Wl，g(2)a，解 得 a e l-0,0).14法 2。二 对 于 任 意 的 X E O,2,/(x)WO恒 成 立,隽:,解 得.由 f x)=(-j=,)0=Jl+=(1)x 2=X 2-，2-Jx J l+ax 1-a1-足”0,1 W 八；-1)l-a 2;./(x)在(0,一)上 单 调 递 减，在(一，2)上 单 调 递 增,-a l-a/()加 公=机 办/()，f，要 使/a)恒 成 立,只 需 x)g W o即 可，即/(0)/(2)W0.1 一 足 Q 0,B P ael-V 2,0).法 30：.xw 0,2,/(x)(0 恒 成 立，./()
34、且/(2)解 得 1足。0./(x)0,所 以 两 边 平 方 得：(/-)X+2 4 W。，即(-1)4+2疣 对 任 意 的 X E 0,2恒 成 立，Q-1 0,.当 x=2 时，伍 一 1)4+2加“=耳+2-应，贝 I 缶+2-岳 0=1-足。/2,0).15.(2 0 2 1秋 龙 岩 月 考)已 知 函 数 x)=e、-H M a e R 且 为 常 数).(I)讨 论 函 数 x)的 极 值 点 个 数;(II)若/(x)(l-x)e*-伍-1)阮 r+6x+l 对 任 意 的 xe(0,+oo)恒 成 立，求 实 数 6 的 取 值 范 围.【解 答】解：(I)由 题 设 知
35、：/(x)的 定 义 域 为(0,+8),f(x)=ex-=-(xex-a),X X令 h(x)=xex,/(xex/=ex+xex 0 14(0,+co)上 恒 成 立，二.函 数(x)=x/在(0,口)上 单 调 递 增，且 值 域 为(0,+8),当 aWO时,叱-。0在(0,y0)上 恒 成 立,即:。)0,故“X)在(0,+oo)上 单 调 递 增,无 极 值 点;15 当 a 0时，方 程 xe-=0有 唯 一 解 为 x0(x0 0),当 0cx/时，fx)0,函 数/(x)单 调 递 增，./是 函 数/(x)的 极 小 值 点，没 有 极 大 值 点.综 上，当 时，/(%)
36、无 极 值 点，当。0 时，函 数 只 有 1个 极 值 点；(II)不 等 式 f(x)(l-x)ex-(a-l)/x+bx+l 对 任 意 的 x(0,+oo)恒 成 立，即 xex-Inx-Xbx对 任 意 的 x(0,+co)恒 成 立，/.b(e-1对 任 意 的 x e(0,+8)恒 成 立 x、I*lnx+m(l c，/、x(Inx x2ex 4-Inx记 F(x)=e-,贝(J F(x)=e+-y=-，X X X记 hx)=x2ex+Inx，贝 i j hx)=2xex+x2ex+易 知(x)0 在(0,+oo)上 恒 成 立，x1 1 1 1 j在(0,+oo)上 单 调 递
37、 增，且(一)=(-)2e，-l=e-l0,e e.存 在 使 得(x0)=0,且 当 X(O,X。)时(x)0,即 尸(x)0,EP Fx)0,故/(x)在(%,+8)上 单 调 递 增,二 产。)加=产(与)，即 尸(X)加=*-9，X。又 力(%)=0，故 x；e与=一/40，即 为。=一 如 即 4 0 1=勿 6,X。X。由(1)知 函 数 s(x)=xe在(0,+oo)上 单 调 递 增,.%=/,1一,、*lnx、+1 xneXf)-lnxa-1 1+xn-1.F(x)niin=ex-=1，%)/%/.综 上，实 数 b 的 取 值 范 围 是(-8,1.16.(2021秋 湘
38、潭 月 考)已 知 e为 自 然 对 数 的 底 数，函 数/(%)=，g(x)=mx+n(m,九 wR).(1)若?+=0,且/(x)的 图 象 与 g(x)的 图 象 相 切，求 用 的 值；(2)若/(x)g(x)对 任 意 的 x w R 恒 成 立，求 加+的 最 大 值.16【解 答】(1)因 为/(x)的 图 象 与 g(x)的 图 象 相 切，设 切 点 为(修,%),tn=ex又 所 以,队=/解 得 工 0=2，m=e2.y0=mx0-/n所 以 加=/；(2)因 为/(x)g(x)等 价 于 ex-mx-nO,令(p(x)=ex-mx-n,当 加-oo,所 以?0 时，因
39、 为 9(%)=靖 一 加，由 8(%)=0，W x=Inm,又 当 时，(px)=CX-77 7 0,当 x/加 时，夕(工)=，一 根 0),则 H(m)=1-Inm,所 以 当 0/%e 时，(?)为 减 函 数，所 以/(加)加 如=/(e)=e,故 加+W e,所 以 加+的 最 大 值 为 c：综 上 所 述，m+n 的 最 大 值 为 e.17.(2021秋 丹 徒 区 校 级 月 考)已 知/(x)=-f+2x+x.(1)x w R 不 等 式/(、)0,都 有 加 2-2/(%)-2 M+4H2-2曲 2 0 恒 成 立,求 实 数 的 取 值 范 围.【解 答】解：(1)依
40、 题 意，对 任 意 工 火，x)0恒 成 立，则=4+4 X 0,解 得 4 0 即 为 17n2x2-2n2x+m2-2amn+4/72-2an2 0,由 于 歹=与 2 _ 2n2x+m2-2amn+4n2 一 2a 2为 开 口 向 上，对 称 轴 为 x=l 的 二 次 函 数,而 对 任 意 x e O，2,m n 0,都 有 n2X2-2n2x+m2-2amn+4/72-2an2 0 恒 成 立，于 是 只 需 2 一 2n2+m2-2a(mn+/)+4/?2 0 即 可，即+/)1-sin x O，所 以 叭 x)=g x)g(0)=0,所 以 g(x)的 单 调 递 增 区
41、间 为(0,+8),当 x(-oo,0),g(x)=e*-2+cos x cos x-1 0，所 以 g(x)的 单 调 递 减 区 间 为(-oo,0).(2)F(x)=g(x)-f(x)=ex-2x+sin x-ax2-1,且 尸(0)=0,F x)=ex+cosx-2ax-2,令 G(x)=F x),18G(x)=ex-sin x-2Q,令 H(x)=Gx),Hx)=ex-cosxl-cosx20,所 以 Gx)在(0,+oo)上 单 调 递 增，若 aW；，G，(x)2G-,Gz(0)=l-2a 0,所 以 存 在 与(0,历(2Q+2),使 G(%)=0,且 x e(0,ln(2a+
42、1)G(x)0恒 成 立，求 正 整 数 a 的 最 小 值.【解 答】解：(1)当。=0 时，f(x)=xlnx+x,导 数 为/，(x)=2+/x,所 以 切 线 的 斜 率 为/(1)=2,又/(1)=1，所 以 切 线 的 方 程 为 y-l=2(x-l),即 为 2x-y-l=0；(2)当 0 x 0,整 理 可 得+x,x-令 g(x)=9 竺 产，g(x)=Xl nX2,x-(x-1)h(x)=x-lnx-2,则=由(x)=0,可 得 x=l,x当 0 c x 1 时，hx)0,(x)递 减，因 为(1)=1 0,e e e e所 以 h(x)在(0,1)存 在 一 个 零 点
43、x0,此 时 A(x0)=x0-lnxQ-2=0,BP lnx()=x0-2,19所 以 当 0 x 0,BP g(x)0,g(x)递 增;当 天%1 时、h(x)0 即 g，(x)0,g(x)递 减，所 以 g(x)有 最 大 值 g(x0)=M+x。=x(x X。，%-1 x。-1因 为 不(0,1),所 以 正 整 数 a 的 最 小 值 为 1.20.(2021 秋 资 中 县 校 级 月 考)已 知 函 数/(x)=2x/nr+ax2,g(x)=4lnx+1.(1)若 函 数 y=/(x)在(0,+8)上 单 调 递 减，求 a 的 取 值 范 围；(2)若 x)g(x)恒 成 立，
44、求 实 数。的 取 值 范 围.【解 答】解：(1)由 函 数 y=/(x)在(0,+8)上 单 调 递 减，所 以 1(x)=2加:+2+2 a x 在(0,+8)上 恒 成 立;等 价 于 aW-在(0,)上 恒 成 立，设/!(*)=-也-1，即 力(x)在(0,+oo)的 最 小 值，X X X X贝=-上 坐+=-丝，hx)0,得 0 xi,单 调 递 增；g)的 最 小 值 为。(1)=-1,所 以 心 一 小 所 以 a 的 取 值 范 围(Y O,-1：(2)令 F(x)=/(x)-g(x),由 F(x)0,得,当 Q21 时,F(x)=2(x-2)lnx 4-x2-1,令 m
45、(x)=2(x-2)lnx+x2-1,r-2 2则 m(x)=2(1 nx+-)+2x=2(lnx+x-1)，X X令 Z(x)=tnx),tx)=2(+1+W)0，x所 以“(X)在(0,+8)上 单 调 递 增，因 为“(1)=0,所 以 xl时,mx)1 时,mx)0，m(x)单 调 递 增，故 相(x)加(1)=0,满 足 条 件；综 上 可 知，4 的 取 值 范 围 1,+00).21,(2021 上 城 区 校 级 开 学)已 知/(x)=-%一 1,g(x)=ax2(aeR).(1)求/(工)的 最 小 值.(H)设 b(x)=/(x)-g(x)+2,若 当 Q(f,+oo)时
46、，/(X)有 三 个 不 同 的 零 点，求，的 最 小 值.(III)当 XE(0,+oo)时，(x)+x 加(x+l)g(x)恒 成 立,求 a 的 取 值 范 围.20【解 答】解：（I）令/X）=e，-l=O 得，x=0,易 知，当 x(-oo,0)时，fx)0,/(x)单 调 递 增，.,./(X)的 最 小 值 为 八 0)=0;(II)依 题 意，F(x)=-x-1-ax2+2=ex-x-ax1+1,x-x 1令 F(x)=0,则。=-3，x令 3)=1,则 3/I)”芈+D,.当 x 0+X-KO 4f 由 图 象 可 知，要 使 双 X)=Q 有 三 个 不 同 的 实 数
47、根，则 4-4.的 最 小 值 为；4(III)/(x)+xln(x+l)g(x)等 价 于(e*-1)历(+1)取 2,即 a.；+)(元 0),xex-ex-1 0(x 0)，x x(p(x)在(0,+oo)上 单 调 递 增,一 一 1又 考 虑 到/+1)令，则(p(x)(pQn(x+1),从 而 历 二)-,e 1ln(x+1).实 数 a 的 取 值 范 围 为(-8，1.21o22.（2021秋 渝 中 区 校 级 月 考）已 知 函 数/（刈=-+蛆 2优.（1）若 函 数/（x）在 x=-g 处 取 得 极 值，求 实 数 加 的 值；（2）当 加=1时，不 等 式/（工）-
48、22%（工+队）+1对 于 工（）,+00）恒 成 立，求 实 数 的 值.【解 答】解：（1）因 为/（%）=（旭/+X）,所 以/（工）=（如？+X+2/HX+1）,.函 数 灯 在 丫=-处 取 得 极 值，f（-|）=o,|-3加+1）=0,：.m=2,3?1检 验：当?=一 时，/r（x）=-ev（2x+3）（x-l）,X/3、(-8,-5)_321)1(1,+00)f W-0+0-/（X）单 调 递 减 极 小 值 单 调 递 增 极 大 值 单 调 递 减./(X)在 x=-|处 取 极 值，符 合 题 意.(2)当 机=1 时，Jx)=ex2+x),由 题 意 知 x 0 时，
49、ex(x2+x)erx2+kx+klnx+,.当 x 0 时，ex+lmk(x+加)+1,令 E=x+,因 为(x)=x+/x 为(0,+oo)上 的 增 函 数，R.h(x)的 值 域 为 R,;.l sR,故 问 题 转 化 为“VfcH,-孔-珍 0恒 成 立”，不 妨 设 P=k 1,所 以 F)=d 左，22 当 左 w o 时，F(t)=e-k0,所 以 尸”)在 R 上 单 调 递 增，且 尸(0)=e-l=0,所 以 当 fw(-8,0)时，F(/)0 时，令 尸。)=0,解 得 x=当/(-8,/成)时，尸(/)0,尸 单 调 递 减，所 以 F(t)min=FQnk)=ek
50、-kink-=k-kink-10,所 以 1-加 所 以 加 t+,一 区 0，k ki己 叭 k)=Ink+：1,d(k)=r，当 女(0,1)时，(pk)0,火%)单 调 递 增，所 以 火 幻 而=。(1)=0,又 因 为 加 左+工-区 0，即 8(k)W0，所 以 k=l.k23.(2021秋 青 铜 峡 市 校 级 月 考)已 知 函 数/6)=加+巴(为 常 数).X(1)讨 论 函 数/(X)的 单 调 性；(2)不 等 式 在 X(O,2 上 恒 成 立，求 实 数 a 的 取 值 范 围.【解 答】解：(1)函 数 定 义 域 是(o,eo),r(x)=-4=-X X Xg