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1、专题10几何问题例1.从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对.其中所成的角为60。的共有（）A. 24 对B. 30 对C. 48 对D. 60 对【解析】正方体的面对角线共有12条，两条为一对，共有G；=66对，同一面上的对角线不满足题意，对面的面对角线也不满足题意，一组平行平面共有6对不满足题意的直线 对数，不满足题意的共有：3x6 = 18.从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对.其中所成的角为60。 的共有：66-18 = 48.故选：C.例2.四面体的一个顶点为A,从其它顶点与各棱的中点中取3个点，使它们和点A在同一平面上，不同的取法有（）A. 30 种B. 33 种C. 36
2、种D. 39 种【解析】根据题意，如图，分析可得，所取的3点在3个侧面上时，每个侧面有C；种取法，共3以=30种 情况；所取的3点不在侧面上时，含顶点A的三条棱上各有三个点，它们与所对的棱的中点共面，共有3 种取法；综合可得，共30 + 3 = 33种，故选：B.例3.从四面体的顶点及各棱的中点这十个点中，任取3个点确定一个平面，则不同平面个数为（）A. 17B. 23C. 25D. 29【解析】考虑点的选择：（1）三个点都是顶点：一共有4种，就是四面体的四个表面；（2）两个顶点，一 个棱中点：为了不和上面的四个面重合，当两个顶点确定时，只有一个选择（此时的面就是一条棱和它的 对棱的中点确定的
3、面），所以这种情况一共有6种；（3） 一个顶点，两个棱中点：为了不和上面重合，确定 一个顶点后，则只能选取它的对面的三个中点了，有3种情况，共有4x3 = 12种；（4）三个都是棱中点： 可以在正四面体中想，这样的面要么和外表面平行要么和一对对棱平行，所以有4 + 3 = 7种，综上，共有 4 + 6 + 12 + 7 = 29种.故选：D.例4.四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，则不同的取法共有（）A. 150 种B. 147 种C. 144 种D. 141 种【解析】从10个点中任取4个点有盘，种取法，其中4点共面的情况有三类.第一类，取出的4个点位于 四面体的同一
4、个面上，有4C：种；第二类，取任一条棱上的3个点及该棱对棱的中点，这4点共面，有6 种；第三类，由中位线构成的平行四边形（其两组对边分别平行于四面体相对的两条棱），它的4顶点共面，有3种.以上三类情况不合要求应减掉，不同的取法共有品-4C：-6-3 = 141种.故选：D.例5.如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”，在一个长方体中，由两 个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是（）A. 60B. 48C. 36D. 24【解析】由题意知本题是一个分类计数问题，一个长方体的面可以和它相对的面上的4条棱和两条对角线 组成6个，一共有6个面，共
5、有6x6 = 36种结果，长方体的对角面组成两组，共有6个对角面，共有12种 结果，根据分类计数原理知共有36 + 12 = 48种结果，故选：B.例6.正八边形至CDEFG”的8个顶点，以其中3个点为顶点的不同位置的直角三角形共有 个.【解析】正八边形43CDEFG”的8个顶点在同一个圆上，8个等分点可得4条直径，可构成直角三角形有4x6 = 24个，故答案为：24例7.如图所示，在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中，与正八边形有公共边的三角形有多少个.【解析】把与正八边形有公共边的三角形分为两类：第一类，有一条公共边的三角形共有8x4 = 32 （个）；第二类，有两条公共边的三角形共有8
6、 （个）.由分类加法计数原理知，共有32 + 8 = 40 （个）.例8.不共面的四点确定四面体（记得易除共面的情况）以正方体的顶点为顶点，可以确定多少个四面体？（II）以正方体的顶点为顶点，可以确定多少个四棱锥？【解析】（I）正方体的8个顶点可构成C；个四点组，其中共面的四点组有正方体的6个表面及正方体6组相 对棱分别所在的6个平面的四个顶点,故可以确定四面体的个数为C；-12 = 58（11）由（I）知，正方体共面的四 点组有12个，以这每一个四点组构成的四边形为底面，以其余的四个点中任意一点为顶点都可以确定一个四 棱锥,故可以确定四棱锥的个数为12C； =48.例9.考虑4x4的正方形方格表中的25个格点，则通过至少3个格点有不同直线的数目为【解析】水平和竖直的直线共有10条，两条对角线和与两条对角线平行的直线共有10条，在4x4的正方形中 有6个2x4的长方形，每个2x4的长方形有2条对角线，即6x2 = 12条，因此共有32条.A7例10.如图，给定由10个点（任意相邻两点距离为1）组成的正三角形点阵，在其中任意取三个点，以这三个 点为顶点构成的正三角形的个数是【解析】如图:边长为1的正三角形共有1+3+5=9个；边长为2的正三角形共有3个；边长为3的正三角形共有1个；边 长为G的正三角形有2个.综上可知:共有9+3+1+2=15个.