《专题05 导数与函数的最值（练习）（教师版）.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《专题05 导数与函数的最值（练习）（教师版）.docx（20页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、专题5 导数与函数的最值A组 基础巩固1（2021黑龙江哈尔滨三中高二月考（文）已知在区间上有最小值，则实数的取值范围是（ ）ABCD【答案】D【分析】由于函数在开区间有最小值,则函数的极小值点在内, 且在内的单调性是先减再增.【详解】因为，当时, ，当,所以得极小值为.所以,得到，故选：D.【点睛】易错点睛：本题考查用导数求函数的最值，属于难题. 根据题意，求出函数的导数，利用导数求出函数的极小值来，由所给已知条件的分析，极小值点. 本题中的两个条件都容易漏掉，所以做题时一定要认真分析，充分挖掘题中的隐含条件，才能得到正确的答案.2（2021全国高三月考（理）已知函数，若，使得在恒成立，则的
2、最大值为（ ）A2B3C4D5【答案】C【分析】首先参变分离得，再设函数，求导数，再设，再求导数，通过函数恒正，判断函数的单调性，并判断的极值点所在的区间，求得函数的最小值，同时求得的最大值.【详解】依题意，令，则令，时，即单调递增，设并记其零点为，故且，所以当时，即，单调递减；当时，即，单调递增，所以，因此，由于且，即，所以，故选:C【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数研究函数的性质，考查考生逻辑推理、数学运算的核心素养，本题的关键是构造函数，并求两次导数，通过导数，逐级判断函数的单调性和最值.3（2021四川遂宁市高三二模（文）若，则的最大值为（ ）ABCD【答案】C【分析】首先对进行变形
3、，即，由于同构，可构造函数，知在上单调递增，原不等式转化为，根据单调性的性质可得，再进行参变分离，求出函数最值， 即可得解.【详解】原不等式化为，即，令，知在上单调递增，原不等式转化为，所以，即，设，则，当时，单调递减；当时，单调递增，故当时取得最小值，所以的最大值为.故选：C.【点睛】本题考查了利用函数单调性解不等式相关问题，考查了转化思想，有一定的计算量，属于中档题.本题关键有：（1）找到所给不等式的同构特征，同构特征是解题的关键；（2）构造函数，并求所构造函数的单调性；（3）参变分离，转为恒成立问题.4（2021全国高二月考（理）函数在上的最大值与最小值之和为（ ）A-46B-35C6D
4、5【答案】B【分析】由，求导，先求得的极大值，再由端点值，得到最值求解.【详解】由得，由可得，当时，当时，所以的极大值为，又，所以的最大值为11，最小值为-46，所以最大值与最小值之和为-35.故选：B【点睛】方法点睛：(1)求解函数的最值时，要先求函数yf(x)在a，b内所有使f(x)0的点，再计算函数yf(x)在区间内所有使f(x)0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得(2)已知函数的最值求参数，一般先用参数表示最值，列方程求解参数5（2021四川遂宁市高三二模（理）若，则的最大值为（ ）ABCD【答案】C【分析】将原不等式化为，构造函数，由单调性的性质可知，即，构造函数，利用导数得出的
5、最小值，即可得出的最大值.【详解】原不等式化为，即，令，知在上单调递增，原不等式转化为，所以，即，设，则，当时，单调递减；当时，单调递增，故当时取得最小值，所以的最大值为.故选：C【点睛】关键点睛：解决本题的关键在于利用函数单调性的定义以及导数证明不等式，从而得出的最大值.6（2020全国高三其他模拟）已知函数为偶函数，则_，函数的零点个数为_.【答案】1 2 【分析】（1）由偶函数的定义，即可得出结果.（2）对函数求导，求出函数的最小值为，再由和，即可得出零点个数.【详解】（1）为偶函数，所以，所以，即，（2）所以，则，易知在上单调递减，在上单调递增，所以的最小值为.又，所以在上有唯一零点；
6、又，所以在上有唯一零点.综上所述，有且仅有2个零点.故答案为：1；2【点睛】方法点睛：确定函数零点的个数有两种基本方法：（1）利用函数图象研究其与轴的交点个数或转化成两个函数图象的交点个数进行判断；（2）利用零点存在定理判断，但还需结合函数的图象和单调性.7（2021浙江高二课时练习）已知函数.（1）函数的最大值等于_；（2）若对任意，都有成立，则实数a的最小值是_.【答案】 1 【分析】（1）求出导函数，由导函数确定单调性，极值，得最大值；（2）若对任意，都有成立，等价于当时，而由（1）在上，因此只要当时，即可得，由此可得的取值范围，从而得的最小值【详解】（1）函数定义域是，时，递增，时，递
7、减，时，取得极大值也是最大值；（2）若对任意，都有成立，等价于当时，由（1）当时，且，满足题意；当，在上递增，在递减，只要即可，综上，的最小值是1.故答案为：；1【点睛】本题考查用导数求函数最值，研究不等式恒成立问题，恒成立问题的解题关键转化为函数的最小值，由单调性易得结论8（2021浙江高二课时练习）函数在区间内最小值是_，最大值是_.【答案】 0 【分析】对函数求导，由导数确定单调区间，由单调性确定极值，再比较极值与函数端点值，即可确定函数最值.【详解】，令，或2，当时，单调递增；当时，单调递减，而，函数的最小值是，最大值为0.故答案为：；0.【点睛】本题考查了利用导数求函数的最值，考查了
8、计算能力，属于基础题目.9（2017浙江高三其他模拟）已知函数在处的切线的斜率为1，则实数_；此时函数在上的最小值为_.【答案】 【分析】求导得到，根据得到，得到函数在上单调递增，在上单调递减，得到函数最值.【详解】由题意得，则有，解得，所以，则，当时，由得；由得，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以函数在处取得极小值，即为最小值，所以最小值为.故答案为：；【点睛】本题考查了根据切线斜率求参数，函数的最值，意在考查学生的计算能力和应用能力.B组 能力提升10（2021全国高三专题练习）（多选题）已知函数，其中正确的结论是（ ）A当时，函数有最大值B对于任意的，函数一定存在最小值C对于任意的
9、，函数在上单调递增D对于任意的，都有函数【答案】BC【分析】利用导数分析函数的单调性，可判断ABC的正确，利用特殊值法可判断D选项的正误.【详解】对于A选项，当时，函数为增函数，所以，函数无最大值，A选项错误；对于B选项，对任意的，则，所以，函数为上的增函数，作出函数与的图象如下图所示：由图象可知，函数与在上有且只有一个交点，且交点横坐标为，当时，此时函数单调递减；当时，此时函数单调递增.所以，对于任意的，函数一定存在最小值，B选项正确；对于C选项，对于任意的且，此时函数在上单调递增，C选项正确；对于D选项，取，则，则，D选项错误.故选：BC.【点睛】思路点睛：利用导数求函数极值的步骤如下：（
10、1）求函数的定义域；（2）求导；（3）解方程，当；（4）列表，分析函数的单调性，求极值：如果在附近的左侧，右侧，那么是极小值；如果在附近的左侧，右侧，那么是极大值.11（2021全国高三专题练习）（多选题）关于函数，下列判断正确的是（ ）A是的极大值点B函数有且只有1个零点C存在正实数，使得成立D对任意两个正实数，且，若，则.【答案】BD【分析】A选项借助导数研究函数的极值情况；BC选项，构造新函数研究函数的零点问题以及参数取值范围；D选项根据新函数单调性比较函数值的大小，从而得到双变量的关系.【详解】对于A，函数的定义域为（0，+），在（0，2）上，f（x）0，函数单调递减，（2，+）上，f
11、（x）0，函数单调递增，x2是f（x）的极小值点，即A错误；对于B，x，y10，函数在（0，+）上单调递减，且，函数有且只有1个零点，即B正确；对于C，若f（x）kx，可得k，令g（x），则g（x），令，则，在x（0，1）上，函数h（x）单调递增，x（1，+）上函数h（x）单调递减，h（x） h（1）0，g（x）0，在（0，+）上函数单调递减，函数无最小值，不存在正实数k，使得f（x）kx恒成立，即C不正确；对于D，令t（0，2），则2t（0，2），2+t2，令 ln， 则，g（t）在（0，2）上单调递减，则g（t）g（0）0，令x12t，由f（x1）f（x2），得x22+t，则x1+x22t
12、+2+t4，当x24时，x1+x24显然成立，对任意两个正实数x1，x2，且x2x1，若f（x1）f（x2），则x1+x24，故D正确.故选：BD【点睛】思路点睛：借助导数研究函数的极值情况，构造新函数研究函数的零点问题以及参数取值范围；可以将自变量的大小比较通过构造新函数，通过单调性转化为函数值的大小比较，从而得到自变量间的关系.12（2021全国高三其他模拟）（多选题）关于函数，下列结论正确的是（ ）A的图象关于直线对称B的图象关于点对称C在上单调递减D有最小值【答案】AB【分析】根据函数解析式，判断函数对称性，求导研究函数单调性及最值情况.【详解】由诱导公式，所以，即的图象关于直线对称，
13、的图象关于点对称，所以A选项、B选项正确；，则在上单调递增，C选项错误；当趋近时，趋于负无穷大，所以没有最小值，则D选项错误.故选：AB.【点睛】方法点睛：通过函数解析式及导数，研究函数的基本性质.13（2021全国高三专题练习）（多选题）已知，当且仅当时取等号，则（ ）A的最小值为1B的最小值为1C的最小值为1D的最小值1【答案】AC【分析】分别求导，判断函数单调性并求最值，判断正误.【详解】A：，函数在上单调递减，在上单调递增，故函数的最小值为，A选项正确；B：，函数在上单调递减，在上单调递增，故函数的最小值为，B选项错误；C：，函数在上单调递减，在上单调递增，故函数的最小值为，C选项正确
14、；D：，函数在上单调递减，在上单调递增，故函数的最小值为，D选项错误；故选：AC.【点睛】在解决类似的问题时，首先要注意区分函数最值与极值的区别求解函数的最值时，要先求函数yf(x)在a，b内所有使f(x)0的点，再计算函数yf(x)在区间内所有使f(x)0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得14（2020湖南衡阳市一中高三期中）（多选题）设，的最大值为M，则（ ）A当时，B当时，C当时，D当时，【答案】AB【分析】代入的值，求出函数的导数，根据函数的单调性求出函数的最大值，从而求出答案即可【详解】解：对于A：当时，故在递增，故，故A正确；对于B：时，令，则，在递减，而，故，在递减，故，故B
15、正确；对于C：时，则，令，则，故在递减，而，在递减，而，即，在递减，故，故C错误；对于D：时，则，令，则，故在递减，而，在递减，而，即，在递减，故，故D错误；故选：AB.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，求出函数的最值，解答的关键是对导函数求导说明导函数的单调性，从而得到导函数值的正负，即可得到原函数的单调性.15（2021浙江高二期末）已知函数（1）若在上是增函数，求实数a的取值范围；（2）若是的极值点，求在上的最大值和最小值【答案】（1）a5（2）最小值是f(3)9，最大值是f(5)15.【分析】（1）转化为在恒成立，即在恒成立，利用单调性求出在上的最小值即可得解；（2）根据是的极
16、值点求出，分析单调性即可求出最值.【详解】（1）因为在上是增函数，令f(x)3x22ax30在上恒成立，min在上为增函数，当时，a5.（2）f(3)0，即276a30，a5，f(x)x35x23x，f(x)3x210x3.令f(x)0，得x13，x2(舍去).当1x3时，f(x)0，当3x5时，f(x)0，即当x3时，f(x)的极小值f(3)9.又f(1)1，f(5)15，f(x)在1,5上的最小值是f(3)9，最大值是f(5)15.【点睛】关键点点睛：第（1）问转化为在恒成立是解题关键，第（2）问根据是的极值点求出是解题关键.16（2021湖南高三月考）已知函数，.（1）证明：；（2）若时
17、，恒成立，求实数a的取值范围；（3）求的最小值.【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）1.【分析】（1）由条件转化为证明，即证明，构造函数，利用导数证明恒成立；（2）不等式转化为，根据（1）可知时，不等式成立，当时，不成立，即不等式不恒成立，即可得结论；（3）先求，再设函数，利用导数，判断函数的单调性，求函数的最小值.【详解】（1），证明即证明即证明.设， 时，单调递增；时，单调递减.， 即成立. （2）时，即，由（1）知，当时，成立， 当时，显然时不成立，综上，. （3）.设，在上单调递增， ，存在使，且时即，递减；时即，递增， ， 在是单调递增， .【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数证
18、明不等式，以及求函数的最小值，本题的关键是第三问再求得函数的最小值是，利用求得.17（2021甘肃高三二模（文）已知函数，是的导函数（1）若，求函数的最小值；（2）若函数在上单调递增，求的取值范围【答案】（1）；（2）【分析】（1）当时求出，设，利用的单调性可得答案；（2）设，利用的单调性求得最小值，由已知只需可得答案【详解】（1）当时，的定义域为，故，设，则，当时，单调递减，当时，单调递增，所以当时，有最小值，所以（2）因，设，则，由（1）可知的最小值是，要使在上单调递增，只需，所以，故的取值范围为【点睛】本题考查了求函数的最小值及求参数的取值范围的问题，解题的关键点是利用导数判断函数的单调性求最值，考查了学生分析问题、解决问题的能力.