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1、导数与函数的极值、最值1 极值的概念若在点x=a附近的左侧f(x)0 , 则a称为函数y=f(x)的极小值点，f(a)称为函数y=f(x)的极小值；若在点x=b附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，则b称为函数y=f(x)的极大值点，f(b)称为函数y=f(x)的极大值极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值PS： 把函数图象看成一座“山脉”，极大值就是“山峰”，极小值就是“山谷”， 如下图； 极值是“函数值y”，极值点是“自变量x值”，如下图有极大值f1和f(1)，极小值f2和f(2)，极大值点1和1，极小值点2和2. 对于极值还有特别强调一下Eg 设x0是函数y=fx的极值
2、点，则下列说法准确的是( )A. 必有fx0=0 B. fx0不存在 C. fx0=0或fx0不存在 D. fx0存在但可能不为0解析：函数fx=x3，fx=3x2， f0=0，但x0； x0时，fx0；故根据极值的定义，0不是函数fx=x3的极值点，这个从函数图象也很容易知道.又如函数gx=|x|，当x0时，gx=10时，gx=10；所以gx在x=0处取到极值，但在导数不存在；故选C.总结 若fx可导，且x0是y=fx的极值，则x0是fx=0的解； 若x0是fx=0的解，x0不一定是y=fx的极值点. 定义很重要.2 求函数的极值的方法 解方程f(x)=0 ，当 f(x0)=0时：(1) 如
3、果在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是极大值；(2) 如果在x0 附近的左侧f(x)0，那么 f(x0)是极小值3 函数y=f(x)在a,b上的最大值与最小值的步骤 (1)求函数y=f(x)在(a , b)内的极值； (2)将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值 f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值【题型一】极值的概念【典题1】 【多选题】设函数f(x)的定义域为R，x0(x00)是f(x)的极大值点，以下结论错误的是( )AxR , f(x)f(x0) Bx0是f(x)的极小值点Cx0是f(x)的极小值点 Dx0是f(x)的极小值点【
4、解析】对于A，极大值并不一定是最大值，故错误；对于B，f(x)是f(x)关于y轴对称的图象，x0应是f(x)的极大值点，故错误；对于C，f(x)是f(x)关于x轴对称的图象，x0应是f(x)的极小值点，而x00，故错误；对于D， f(x)相当于f(x)关于原点对称的图象，x0是f(x)的极小值点故正确故选：ABC【点拨】 熟悉函数图象的变换：f(x)相当于f(x)关于y轴的对称图象，f(x)相当于f(x)关于x轴的对称图象，f(x)相当于f(x)关于原点对称的对称图象； 数形结合是个好方法.【典题2】 如图，已知直线y=kx+m与曲线y=f(x)相切于两点，则Fx=fxkx有( )A1个极大值
5、点，2个极小值点 B2个零点C0个零点 D2个极小值点，无极大值点【解析】由原图可知，k0，设原图中的两切点横坐标为a , b再在同一坐标系中做出y=f(x)与y=kx的图象如图：由图可知，y=f(x)与y=kx没有公共点，故函数F(x)没有零点直线x=n与y=f(x)、y=kx分别交于点A、B，则F(x)的函数值可以理解为线段AB长度；由图可知：当x( , a)时，F(x)单调递减；当x(a , c)，F(x)单调递增；当x(c , b)时，F(x)单调递减；当x(b , +)时，F(x)单调递增故a , b是函数F(x)的极小值点，c是F(x)的极大值点故选：AC【点拨】 分析函数极值可先
6、分析函数单调性. F(x)的函数值可以理解为线段AB长度这样更好由图象得到函数单调性.【典题3】 若函数f(x)=12x2x+alnx有两个不同的极值点，则实数a的取值范围是 .【解析】因为f(x)=12x2x+alnx有两个不同的极值点，所以f(x)=x1+ax=x2x+ax在(0 , +)有2个不同的零点，所以y=x2x+a在(0 , +)有2个不同的零点， （二次函数零点分布问题，数形结合）所以=14a0a0，解得0a0”的考量.巩固练习1() 已知函数f(x)的导函数为f(x)，函数gx=x1f(x)的图象如图所示，则下列结论正确的是()Af(x)在( , 2) , (1 , 2)上为
7、减函数 Bf(x)在(2 , 1) , (2 , +)上为增函数Cf(x)的极小值为f(2)，极大值为f(2) Df(x)的极大值为f(2)，极小值为f(2)【答案】D【解析】当x(,2)时,x10,由图象可得g(x)=(x1)f(x)0,f(x)为增函数；当x(2,1)时,x10,则f(x)0,由图象可得g(x)=(x1)f(x)0,则f(x)0,由图象可得g(x)=(x1)f(x)0,则f(x)0,f(x)为增函数,所以f(x)的极大值为f(2),极小值为f(2),结合选项可知,只有选项D正确故选：D2()已知函数f(x)=lnxex的极值点为x=x0，则x0所在的区间为()A(0 , 1
8、2)B(12 , 1)C(1 , 2)D(2 , e)【答案】C【解析】f(x)=1xlnxex,令g(x)=1xlnx,则g(x)单调递减且g(1)=10,g(2)=12ln20,且a2【解析】因为f(x)=x2(a+2)x+alnx既有极大值又有极小值,且f(x)=2xa2+ax=2x2(a+2)x+ax=(2xa)(x1)x(x0),所以f(x)=0有两个不相等的正实数解,所以a20,且a21,解得a0,且a24() 若函数f(x)=x3(a2+3)x2+2ax+3在x=2处取得极小值，则实数a的取值范围是 . 【答案】a6,【解析】f(x)=x3(a2+3)x2+2ax+3,则f(x)
9、=3x2(a+6)x+2a,由题意得：f(2)=0,即122a12+2a=0,f(2)恒为0,f(2)是极小值,x2时,函数单调递增,结合二次函数的性质f(x)的对称轴在x=2的左侧,即a+662,故a0,故a0)存在两个极值点x1 , x2，则f(x1)+f(x2)的取值范围是 .【答案】(,16)【解析】因为函数f(x)=x33ax2+12x(a0)存在两个极值点x1,x2,所以f(x)=3x26ax+12=3(x22ax+4)=0的两个根为x1,x2,则=4a2160且a0,解得a2, x1+x2=2a, x1x2=4,所以f(x1)+f(x2)=x13+x233a(x12+x22)+1
10、2(x1+x2)=(x1+x2)x1+x223x1x23ax1+x222x1x2+12(x1+x2)=2a(4a212)3a(4a28)+24a=4a3+24a(a2),令(a)=4a3+24a(a2),则(a)=12a2+240,即(a)在(2,+)上单调递减,所以(a)(2)=16,所以f(x1)+f(x2)的取值范围是(,16) 【题型二】求函数极值 【典题1】 已知函数fx=xlnx+x2,x0是函数f(x)的极值点，以下几个结论中正确的是()A0x01eCf(x0)+2x00【解析】f(x)=lnx+1+2x在(0 , +)时单调递增，f(x)=lnx+1+2x至多有一个零点，又f(
11、1e)=2e0，f1e2=2e210，根据零点判定定理可知f(x)=lnx+1+2x在(1e2 , 1e)上存在零点，x0是函数fx的极值点， lnx0+1+2x0=0，且1e2x0g1e20， f(x0)+2x00，故选：D【点拨】 x0是y=lnx+1+2x的零点，可用零点判定定理判断x0的大致范围，这属于“隐零点问题”； x0是可导函数f(x)的极值点，则满足fx0=0lnx0=12x0，可化简gx0=fx0+2x0再求它最值.【典题2】 讨论f(x) =x2+(m2)xmlnx的极值点的个数.【解析】函数的定义域为(0 , +)，fx=2x+m2mx=2x2+(m2)xmx=(2x+m
12、)(x1)x，令f(x)=0，得x=m2或x=1， 当m21，即m0，在(1 , m2)上，f(x)0，当x=1时，f(x)取得极大值，当x=m2时，f(x)取得极小值，故f(x)有两个极值点；当m2=1，即m=2时，f(x)=(2x+m)(x1)x=2(x1)2x0，f(x)在(0 , +)上单调递增，无极值点；当0m21，即2m0，在(m2 , 1)上，f(x)0，当x=m2时，f(x)取得极大值；当x=1时，f(x)取得极小值，故f(x)有两个极值点；当m20，即m0时，在(0 , 1)上，f(x)0，故x=1时，函数求得极小值，无极大值，f(x)只有一个极值点综上，当m=2时，f(x)
13、极值点的个数为0；当m0时，f(x)的极值点的个数为1；当m2或2m0，gx单调递增，即f(x)单调递增；当x(1 , +)时，gx1时，f1=a10，f1ea+1=ln1ea+11ea+1+a=a11ea+1+a=11ea+11时，ex2x，所以a1，fea=2aea0，故存在x1 , x2满足01ea+1x11x21时，f(x)有2个极值点【点拨】 求出导函数fx=lnxx+a，它的图象很难确定，不知道是否存在零点(这与原函数单调性有关)，则考虑二次求导进行分析； 当a1时，导函数fx=lnxx+a存在零点x1、x2是怎么确定的？误区1：y=fx最大值在x轴上方且是“先增后减”，想当然说它
14、有两个零点是不严谨的.因为y=f(x)的图象可能如下左图，则只有一个零点；如右图，甚至没有零点； 误区2：当x0时，显然fx，当x+时，显然fx，那可知y=fx存在两个零点，也不够严谨；而因f1ea+10， f(ea)=2aea1，x取常数是不行的；因有lnx，想到含a的e指数幂，多尝试就可以！ 【典题4】 若f(x)=ln(x+1)+a(x2+x)+2(a0)有两个极值点(1)求a的取值范围； (2)证明f(x)的极小值小于2ln2+12【解析】(1)f(x)的定义域为(1 , +)，f(x)=1x+1+a(2x+1)=2ax2+3ax+a+1x+1，令g(x)=2ax2+3ax+a+1，
15、(y=gx的正负性与y=fx的正负性一致)g(x)的对称轴x=34，开口向上，=a28a， 当0时，即00时，即a8，g(1)=g(12)=10，g(34)=1a80， (灵活取点)函数g(x)在区间(1 , 12)有两个零点x1 , x2，不妨设x1x2，其中x1(1 , 34)，x2(34 , 12)当1x0，f(x)0，f(x)在(1 , x1)上单调递增；当x1xx2时，g(x)0，f(x)x2时，g(x)0，f(x)0，f(x)在(x2 , +)上单调递增当f(x)有两个极值点时，a的取值范围为(8 , +)(2)由可知，函数f(x)有唯一的极小值点为x2，且34x212又g(x2)
16、=0， 2ax22+3ax2+a+1a=12x22+3x2+1fx2=lnx2+1+ax22+x2+2 （y=f(x2)解析式中含a、x2，故想到消去a）=lnx2+1+12x22+3x2+1x22+x2+2 =ln(x2+1)x22x2+1+2令gx=lnx+1x2x+1+2 (34x12)， (构造函数求最值)g(x)=1x+12x+12x(2x+1)2=x(4x+3)(x+1)(2x+1)20在34x12上恒成立，g(x)在(34 , 12)单调递减g(x)g(34)=2ln2+12，即f(x)的极小值小于2ln2+12【点拨】 函数极值问题都可先分析函数的单调性得到原函数的趋势图； 第
17、二问是“隐零点问题”，x2的值求不出，用零点判定定理确定范围34x212；由于它是导函数零点，不能忘了gx2=02ax22+3ax2+a+1=0.巩固练习1() 函数f(x)=x2(ex+11)(e为自然对数的底数)，则下列说法正确的是()Af(x)在R上只有一个极值点Bf(x)在R上没有极值点Cf(x)在x=0处取得极值点Df(x)在x=1处取得极值点【答案】C【解析】f(x)=2x(ex+11)+x2ex+1=x(2ex+1+xex+12),令g(x)=2ex+1+xex+12,g(x)=2ex+1+ex+1+xex+1=(x+3) ex+1,所以当x(,3)时,g(x)0,g(x)单调递
18、增,所以gxmin=g(3)=2e2+(3)e22=e220,所以g(0)g(3)0,解得x1或x2,令f(x)0,解得2x0恒成立,g(x)在(0,+)时单调递增,g(x)的最小值为g(0)=1,g(x)=0无解,k0时,g(x)=0有解,为：x=lnk,0xlnk时,g(x)0,g(x)单调递减,lnk0,g(x)单调递增,g(x)的最小值为g(lnk)=kklnk,kklnk0,ke,画出函数y=ex和y=ex的图象,如图示：由y=ex和y=ex图象,它们切于(1,e),综上所述ke,故答案为：(,e5 () 讨论f(x) =x12+a(lnxx+1)(a2)的极值点的个数.【答案】当a
19、0时，f(x)在x=1处取得极小值，极值点只有1个，当0a2时，f(x)有两个极值点【解析】函数的定义域为(0，+)，函数的导数f(x)=2(x1)+a(1x1)=(x1)(2ax)=(x1)(2xa)x=2(x1)(xa2)xa2，a20得x1或xa2(舍)，此时函数为增函数，由f(x)0得a2x1，此时0x0，即0a0得x1或0xa2，此时函数为增函数，由f(x)0得a2x1，此时函数为减函数，即当x=1时，函数f(x)取得极小值，当x=a2时，函数f(x)取得极大值，即极值点有2个，综上当a0时，f(x)在x=1处取得极小值，极值点只有1个，当0a0时，设f(x)有两个不同的极值点x1
20、, x2，且x10恒成立，求实数的取值范围【答案】(1) a1 (2) 12【解析】()由题可知f(x)=ex(x2a)+ex2x,令f(x)=0,其有两个不相等的实数根,即x2+2xa=0有两个不相等的实数根,则=22+4a0,解得a1()设x1,x2是方程x2+2xa=0的两个根,且x1x2,则x1x20,所以x1+x2=2,x1x2=a0,x10恒成立,即ex2+(2x2)0恒成立,即ex2(2+x2)恒成立,又2+x20,所以0时,g(x2)0,所以函数g(x2)在(0,+)上单调递增,又g(0)=12,所以12【题型三】求函数最值【典题1】 下列不等式中恒成立的有()Alnx+1xx
21、+1，x1Blnxx1，x0Cexx+1Dcosx112x2【解析】以下运用“构造函数求最值”的方法判断选项A，设f(x)=ln(x+1)xx+1(x1)，则f(x)=1x+11(x+1)2=x(x+1)2，当1x0时，f(x)0时，f(x)0，f(x)单调递增fxmin=f(0)=0，即f(x)0在(1 , +)上恒成立，ln(x+1)xx+1(x1)恒成立，即A正确；选项B，设gx=lnxx+1(x0)，令gx=1x1=0x=1，g(x)在0 , 1上递增，在(1 , +)上递减，gxg1=0，即lnxx1，即B错误；选项C，设x=exx1，则x=ex1，令(x)=0，解得x=0，当x0时
22、，(x)0时，(x)0，(x)单调递增xmin=(0)=0，即(x)0在R上恒成立，exx+1恒成立，即C正确；选项D，设tx=cosx1+12x2，则tx=sinx+x，令mx=tx=sinx+x，则mx=cosx+10恒成立，即m(x)在R上单调递增，又m(0)=0，当x0时，m(x)0，t(x)0时，m(x)0，t(x)0，t(x)单调递增txmin=t(0)=0 , 即t(x)0在R上恒成立，cosx112x2恒成立，即D正确故选：ACD【点拨】 通过构造函数证明不等式，选项D中运用了二次求导； 研究函数的最值，其实最终还是回归到函数单调性的分析，注意结合导函数的“穿线图”与原函数的“
23、趋势图”进行分析函数最值； 熟记exx+1，lnxx1，以后你们会经常见到它们.比如lnxx1令x=1xlnx11x令x=x+1lnx+1xx+1(x1)，这就容易得知A正确. 【典题2】 若函数fx=23x3ax2(a0)在(2a , a+1)上有最大值，则a的取值范围为 .【解析】函数fx=23x3ax2(a0)，可得fx=2x22ax=2x(xa)，令f(x)=0，解得x=0或x=a(a0)，x(a , 0)时，f(x)0或x0，f(x)递增，所以函数在x=a时取得极大值且极大值为f(a)=a33函数fx=23x3ax2(a0)在(2a , a+1)上有最大值，其中2aa0时，求函数f(
24、x)在区间1 , e上的最小值(2)在条件(1)下，当最小值为2时，求a的取值范围【解析】(1)函数fx=ax2(a+2)x+lnx的定义域是(0 , +)，当a0时，fx=2ax(a+2)+1x=2ax2(a+2)x+1x=(2x1)(ax1)x，(因为x1 , e，所以y=f(x)中的x0 , 2x10，则导函数y=f(x)的正负性等价于y=ax1在1 , e上的正负性，比较1a与1、e的大小进行分类讨论)当00，f(x)在1 , e上单调递增，所以f(x)在1 , e上的最小值是f1=2；当11ae时，即1ea1时，f(x)在1 , 1a)递减，在(1a , e递增，f(x)在1 , e
25、上的最小值是f1a=lna1a1；当1ae时，即0a1e时，f(x)在1 , e上单调递减，f(x)在1 , e上的最小值是fe=ae2a+2e+1；综上所述，当a1时，最大值为2；当1ea1时，最大值为lna1a1；当0a1e时，最大值为ae2a+2e+1.(3)由(2)a1时，f(x)在1 , e上的最小值是f1=2，符合题意；1ea1时，f(x)在1 , e上的最小值是f1af1=2，不合题意；0a1e时，f(x)在1 , e上的最小值是fef1=2，不合题意综上可知，a的取值范围为1 , +)【点拨】 求含参函数的最值，也需要先分析讨论函数的单调性，得到导函数的“穿线图”和原函数的“趋
26、势图”就很容易确定最值；本题是属于“一次函数”型的导函数分析，注意零点x=1a与定义域端点1、e的大小比较； 在第三问中不要令f1a=2，fe=2求a的值，注意到f1=2这恒成立式子就剩下不少脑细胞了！有时候对含参函数要注意它会不会过某些定点，一般都是令x=0 , 1 , 1 , e之类的特殊值.巩固练习1() 【多选题】已知函数fx=13x3+x22在区间(a2 , a+3)上存在最小值，则整数a可以取()A2B1C0D1【答案】BCD【解析】由f(x)=13x3+x22,得f(x)=x2+2x=x(x+2),故f(x)在(,2),(0,+)上是增函数,在(2,0)上是减函数,作出其大致图象
27、如图所示,令13x3+x22=2,得x=0或x=3,则结合图象可知,3a20,解得：a1,2),又aZ,a可以取1,0,1故选：BCD2 ()【多选题】设f(x)=sinxxa，x6,3的最大值为M，则()A当a=1时，M32B当a=1时，M1C当a=2时，M3D当a=3时，M0,x6,3,故f(x)在6,3递增,故M=f(3)=3sin3=3632,故A正确；对于 B：a=1时,f(x)=sinxx,f(x)=xcosxsinxx2,令h(x)=xcosxsinx,x6,3,则h(x)=cosxxsinxcosx=xsinx0,h(x)在x6,3递减,而h(6)=632120,故f(x)0,
28、f(x)在x6,3递减,故M=f(6)=126=31,故B正确；对于C：a=2时,f(x)=sinxx2,则f(x)=xcosx2sinxx3,令h(x)=xcosx2sinx,x6,3,则h(x)=cosxxsinx2cosx=cosxxsinx0,故h(x)在x6,3递减,而h(6)0,h(x)在x6,3递减,而h(6)0,即f(x)3,故C错误；对于D：a=3时,f(x)=sinxx3,则f(x)=xcosx3sinxx4,令h(x)=xcosx3sinx,x6,3,则h(x)=cosxxsinx3cosx=2cosxxsinx0,故h(x)在x6,3递减,而h(6)0,h(x)在x6,
29、3递减,而h(6)0,即f(x)3,故D错误；故选：AB3() 已知函数f(x)=1+ln(1+x)x(x0)，若f(x)kx+1恒成立，则整数k的最大值为()A2B3C4D5【答案】B【解析】f(x)=1+ln(x+1)x(x0),f(x)kx+1可化为1+ln(x+1)xkx+1,即1+ln(x+1)x(x+1)k,令g(x)=1+ln(x+1)x(x+1),则g(x)=x1ln(x+1)x2令h(x)=x1ln(x+1),则(x)=11x+1,当x(0,+)时,h(x)0,g(x)在(0,+)单调递增又g(2)=1ln340,x0(2,3)使g(x0)=0,则ln(x0+1)=x01当x
30、(0,x0)时,g(x)0,g(x)单调递增,g(x)g(x0)=1+ln(x0+1)x0(x0+1)=(x0+1),x0(2,3),x0+1(3,4),正整数k的最大值为3故选：B 4() 已知函数f(x)=x3+bx2+c(b , cR)(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)是否存在b , c，使得f(x)在区间1 , 0上的最小值为1且最大值为1？若存在，求出b，c的所有值；若不存在，请说明理由【答案】(1) 当b=0时,f(x)=x3+c在R上单调递增,当b0时,令f(x)0,得x0或x2b3,令f(x)0,得2b3x0,故函数在(2b3,0)上单调递减,在(0,+),(,2b3)上单调递增,当b=0时,f(x)=x3+c在R上单调递增,当b0时,同理得,函数在(0,2b3)上单调递减,在(2b3,+),(,0)上单调递增,(2)假设存在满足条件的b,c,当0b32(舍),当b32时,由(1)知,f(x)在1,0上单调递减,故当x=1时函数取得最大值f(1)=b+c1=1,当x=0时,函数取得最小值f(0)=c=1,所以b=3,c=1,当b0时,由(1)知,f(x)在1,0上单调递增,故当x=1时函数取得最小值f(1)=b+c1=1,当x=0时,函数取得最小值f(0)=c=1,所以b=1,c=1,综上,b=1,c=1或b=3,c=1