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1、可化为一元一次方程的可化为一元一次方程的分式方程分式方程本课内容本节内容1.5动脑筋动脑筋 某校八年级学生乘车前往某景点秋游，现有某校八年级学生乘车前往某景点秋游，现有两条线路可供选择：线路一全程两条线路可供选择：线路一全程25km，线路二全，线路二全程程30km；若走线路二平均车速是走线路一的；若走线路二平均车速是走线路一的1.5倍，所花时间比走线路一少用倍，所花时间比走线路一少用10min，则走线路，则走线路一、二的平均车速分别为多少一、二的平均车速分别为多少？ 设走线路一的平均车速为设走线路一的平均车速为x km/h，则走线路二，则走线路二的平均车速为的平均车速为1.5x km/h.又走
2、线路二比走线路一少用又走线路二比走线路一少用10 min，即即因此，根据这一等量关系，我们可以得到如下方程：因此，根据这一等量关系，我们可以得到如下方程：25301 = .1.56xx- -走线路一的时间走线路一的时间 - - 走线路二的时间走线路二的时间 = = h.16像这样，分母中含有未知数的方程叫作像这样，分母中含有未知数的方程叫作分式方程分式方程.25301 = .1.56xx- -议一议议一议 分式方程分式方程 的分母中含有的分母中含有未知数，我们该如何来求解呢？未知数，我们该如何来求解呢？25301 = 1.56xx- -25301 = 1.56xx- - 联想到我们在七年级已经
3、学过一元一次方程的联想到我们在七年级已经学过一元一次方程的解法，因此我们应通过解法，因此我们应通过“去分母去分母”，将分式方程转，将分式方程转化为一元一次方程来求解化为一元一次方程来求解.方程两边同乘方程两边同乘6x，得，得解得解得 x = 30.256- -304 = x .经检验，经检验，x=30 是所列方程的解是所列方程的解. 由此可知，走线路一的平均车速为由此可知，走线路一的平均车速为30km/h，走线路二的平均车速为走线路二的平均车速为45km/h. 从上面可以看出，解分式方程的关键是把含从上面可以看出，解分式方程的关键是把含未知数的分母去掉，这可以通过在方程的两边同未知数的分母去掉
4、，这可以通过在方程的两边同乘各个分式的最简公分母而达到乘各个分式的最简公分母而达到.例例1 解方程解方程 ：举举例例53=02xx - - -解解 方程两边方程两边同同乘最简公分母乘最简公分母x( (x- -2) )，得得 5x - -3( (x- -2) )= 0 . 解得解得 x = - -3.检验：把检验：把x=- -3代入原方程，得代入原方程，得因此因此x=- -3是原方程的解是原方程的解.左边左边 = = 右边右边53=03 23- - - -分式方程的解也叫作分式方程的分式方程的解也叫作分式方程的根根.例例2 解方程解方程 ：举举例例 214=.24xx- - -解解 方程两边方程
5、两边同同乘最简公分母乘最简公分母( (x+2)()(x- -2) )，得得 x+2=4. 解得解得 x=2.检验：检验：把把x=2代入原方程，方程两边的分式的代入原方程，方程两边的分式的 分母都为分母都为0，这样的分式没有意义，这样的分式没有意义. 因此，因此，x=2不是原分式方程的根，从而原不是原分式方程的根，从而原分式方程无解分式方程无解. 从从例例2看到，方程左边的分式的分母看到，方程左边的分式的分母x- -2是最是最简公分母简公分母( (x+2)()(x- -2) )的一个因式的一个因式. 这启发我们，在检验时只要把所求出的这启发我们，在检验时只要把所求出的未知未知数数的值代入最简公分
6、母中，如果它使最简公分母的值代入最简公分母中，如果它使最简公分母的值不等于的值不等于0，那么它是原分式方程的一个根；，那么它是原分式方程的一个根； 如果它使最简公分母的值为如果它使最简公分母的值为0，那么它不是，那么它不是原分式方程的根，称它是原方程的原分式方程的根，称它是原方程的增根增根. 例例2 解方程：解方程： 214=.24xx- - - 解分式方程有可能产生增根解分式方程有可能产生增根，因此解因此解分式方程必须检验分式方程必须检验.说一说说一说解可化为一元一次方程的分式方程的基解可化为一元一次方程的分式方程的基本步骤有哪些本步骤有哪些？可化为一元一次方程的分式方程可化为一元一次方程的
7、分式方程一元一次方程一元一次方程一元一次方程的解一元一次方程的解 把一元一次方程的解代入最简公分母中把一元一次方程的解代入最简公分母中，若它的值不等于若它的值不等于0，则这个解是原分式方程的，则这个解是原分式方程的根；若它的值等于根；若它的值等于0，则原分式方程无解，则原分式方程无解.方程两边同乘各个分式的最简公分母方程两边同乘各个分式的最简公分母求解求解检验检验练习练习1. 解下列方程：解下列方程： 511=023( ) ( ) ；xx- - -1= 5x 答答案案： 22+=3211 2( ) ( ) ；xxx- 13+=111( ) ( ) ；xxx-答案：答案：x = 532x = 答
8、答案案：- - 22314=1( ) .( ) .xxx-答案：无解答案：无解2. 解下列方程：解下列方程：2 241=024( ) ( ) ；xx- - - - 1212=3 2163( ) .( ) .xx- -答案：答案：x=0答案：答案：x=4动脑筋动脑筋A，B两种型号机器人搬运原料两种型号机器人搬运原料. 已知已知A型机器型机器人比人比B型机器人每小时多搬运型机器人每小时多搬运20kg，且，且A型机器人型机器人搬运搬运1000kg所用时间与所用时间与B型机器人搬运型机器人搬运800kg所用所用时间相等，求这两种机器人每小时分别搬运多少时间相等，求这两种机器人每小时分别搬运多少原料原料
9、. 设设B型机器人每小时搬运型机器人每小时搬运xkg，则，则A型机器人型机器人每小时搬运每小时搬运（x+20）kg. 由由“A型机器人搬运型机器人搬运1000kg所用时间所用时间 = B型型机器人搬运机器人搬运800kg所用时间所用时间” 1000800 = +20. .xx由这一等量关系可列出如下方程：由这一等量关系可列出如下方程：方程两边同乘最简公分母方程两边同乘最简公分母x( (x+20) )，得，得1000 x = 800( (x+20) ).解得解得 x = 80.检验：把检验：把x=80代入代入x( (x+20) )中，它的值不等于中，它的值不等于0， 因此因此x=80是原方程的根
10、，且符合题意是原方程的根，且符合题意.由此可知，由此可知，B型机器人每小时搬运原料型机器人每小时搬运原料80kg， A型机器人每小时搬运原料型机器人每小时搬运原料100kg.例例3 国家实施高效节能电器的财政补贴政策，某款国家实施高效节能电器的财政补贴政策，某款 空调在政策实施后，客户每购买一台可获得补空调在政策实施后，客户每购买一台可获得补 贴贴200元，若同样用元，若同样用11万元购买此款空调，补贴万元购买此款空调，补贴 后可购买的台数比补贴前多后可购买的台数比补贴前多10%，则该款空调，则该款空调 补贴前的售价为多少元补贴前的售价为多少元？举举例例分析分析 本题涉及的等量关系是：本题涉及
11、的等量关系是： 补贴前补贴前11万元购买的台数万元购买的台数( (1+10%) )= 补贴后补贴后11万元购买的台数万元购买的台数.解解 设该款空调补贴前的售价为每台设该款空调补贴前的售价为每台x元，元，由上述等量关系可得如下方程：由上述等量关系可得如下方程：110000110000 1+10=200 xx(%) (%) - -即即1.11 = 200 xx- -方程两边同乘最简公分母方程两边同乘最简公分母x( (x- -200) )，解得解得 x = 2200.得得 1.1( (x- -200) )= x.检验：把检验：把x=2200代入代入x( (x- -200) )中，它的值不等于中，它
12、的值不等于0， 因此因此x=2200是原方程的根，且符合题意是原方程的根，且符合题意.答：该款空调补贴前的售价为每台答：该款空调补贴前的售价为每台2200元元.练习练习1. 某单位盖一座楼房，如果由建筑一队施工，某单位盖一座楼房，如果由建筑一队施工， 那么那么180天就可盖成；如果由建筑一队、二队天就可盖成；如果由建筑一队、二队 同时施工，那么同时施工，那么30天能完成工程总量的天能完成工程总量的 . 现现 若由二队单独施工，则需要多少天才能盖成？若由二队单独施工，则需要多少天才能盖成？310解解 设由二队单独施工需设由二队单独施工需x天完成任务，天完成任务， 则则 答：由二队单独施工，则需答
13、：由二队单独施工，则需225天才能盖成天才能盖成. 11330 +=18010111 += 180100= 225. , , ,xx x2. 一艘轮船在两个码头之间航行，顺水航行一艘轮船在两个码头之间航行，顺水航行60km 所需时间与逆水航行所需时间与逆水航行48km所需时间相同所需时间相同. 已知已知 水流的速度是水流的速度是2km/h，求轮船在静水中航行的，求轮船在静水中航行的 速度速度.解解 设设轮船在静水中航行的速度为轮船在静水中航行的速度为x km/h， 则则 答：答：轮船在静水中航行的速度为轮船在静水中航行的速度为18km/h. 6048 =+22= 18.xx x- -, ,中考
14、中考 试题试题例例1分式方程分式方程 的解是的解是 （ ） A.- -3 B.2 C.3 D.- -2 53=2- -xxA解析解析 将各选项的值代入检验或者直将各选项的值代入检验或者直接解出方程接解出方程. .只有只有A项正确，故选项正确，故选A. .中考中考 试题试题例例2 解分式方程解分式方程 ，可知，可知方程的解为（方程的解为（ ） A. x=2 B. x=4 C. x=3 D. 无解无解 11+2=22xxx- -解析解析在方程两边同乘以在方程两边同乘以( (x- -2) )，约去分母，约去分母，得得 1- -x+2( (x- -2) )=- -1，1- -x+2x- -4=- -1
15、，x=2. .检验，当检验，当x=2时，时，x- -2=2- -2=0，所以所以x=2是增根是增根. .原方程无解原方程无解. .D中考中考 试题试题例例3 轮船顺水航行轮船顺水航行40千米所需的时间和逆千米所需的时间和逆水航行水航行30千米所需的时间相同千米所需的时间相同. .已知水流速已知水流速度为度为3千米千米/ /时，设轮船在静水中的速度为时，设轮船在静水中的速度为x千米千米/ /时，可列方程为时，可列方程为 .4030=+33- -xx解析解析V顺顺=( (x+3) )千米千米/时，时，V逆逆=( (x- -3) )千米千米/时，时，故故4030=.+33- -xx中考中考 试题试题
16、例例4 在达成铁路复线工程中，某路段需要铺轨在达成铁路复线工程中，某路段需要铺轨. 先由甲工程队独做先由甲工程队独做2天后，再由乙工程队独做天后，再由乙工程队独做3天天刚好完成这项任务刚好完成这项任务. 已知乙工程队单独完成这项已知乙工程队单独完成这项任务比甲工程队单独完成这项任务多用任务比甲工程队单独完成这项任务多用2天，求天，求甲、乙工程队单独完成这项任务各需多少天？甲、乙工程队单独完成这项任务各需多少天？解：解：设甲工程队单独完成任务需设甲工程队单独完成任务需x天，则乙工程队单天，则乙工程队单 独完成任务需独完成任务需( (x+2) )天，天， 依题意得依题意得 化简得化简得 x2- -
17、3x- -4=0， 解得解得 x=- -1或或x=4. 检验：当检验：当x=4和和x=- -1时，时，x( (x+2) )0， x=4和和x=- -1都是原分式方程的解都是原分式方程的解. 但但x=- -1不符合实际意义，故不符合实际意义，故x=- -1舍去舍去. 乙单独完成任务需要乙单独完成任务需要x+2=6( (天天).). 答：甲、乙工程队单独完成任务分别需要答：甲、乙工程队单独完成任务分别需要4天、天、 6天天.23+= 1.+2xx小结与复习小结与复习1. 举例说明分式的基本性质、运算法则举例说明分式的基本性质、运算法则.2. 举例说明如何利用分式的基本性质进行约分和通分举例说明如何
18、利用分式的基本性质进行约分和通分.3. 整数指数幂有哪些运算法则整数指数幂有哪些运算法则？4. 解可化为一元一次方程的分式方程的基本思路是解可化为一元一次方程的分式方程的基本思路是 什么什么？解分式方程时为什么要检验解分式方程时为什么要检验？本章知识结构本章知识结构分分式式基本性质基本性质运运 算算可化为一元一次方程的分式方程可化为一元一次方程的分式方程乘、除运算乘、除运算整数指数幂的运算整数指数幂的运算加、减运算加、减运算注意注意1. 分式与分数有许多相似之处，在学习分式的性分式与分数有许多相似之处，在学习分式的性 质与运算时，可类比分数质与运算时，可类比分数.2. 解分式方程的关键在于去分母，这时可能产生解分式方程的关键在于去分母，这时可能产生 增根，因此必须检验增根，因此必须检验. 除了要看求出的未知数的值是否使最简公分除了要看求出的未知数的值是否使最简公分母的值为母的值为0外，在实际问题中还需检查求出的根是外，在实际问题中还需检查求出的根是否符合实际问题的要求否符合实际问题的要求.结结 束束