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1、1.3 克莱姆法则克莱姆法则 我们已经知道我们已经知道,在一定条件下在一定条件下,二元二元(或或三元三元) 线性方程组的解可以用二阶线性方程组的解可以用二阶(或三或三阶阶)行列式表示出来行列式表示出来.那么那么,对于对于n元线性方元线性方程组能否用程组能否用n阶行列式来表示阶行列式来表示? 1.克莱姆法则克莱姆法则2.齐次线性方程组有非零解的充要条件齐次线性方程组有非零解的充要条件 nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111 定理二定理二(克莱姆法则克莱姆法则) 设线性方程组设线性方程组的系数行列式的系数行列式021222211121
2、1 nnnnnnaaaaaaaaaD一、克莱姆法则克莱姆法则则该线性方程组有且仅有唯一解则该线性方程组有且仅有唯一解:DDxDDxDDxnn ,2211其中其中Dj (j=1,2,.,n)是把系数行列式是把系数行列式D中第中第j列的元素用常数项列的元素用常数项b1,b2, ,bn代替后得到的代替后得到的n阶行列式阶行列式. 即即nnjnnjnnnjjnjjjaabaaaabaaaabaaD1,1,121,221,22111, 111, 111 定理中包含定理中包含三个结论三个结论:(1)方程组有解方程组有解(2)解是唯一的解是唯一的(3)解由公式解由公式 ( j=1,2,.,n)给出给出DDx
3、jj 注注: 用克用克莱姆莱姆法则解线性方程组必须有两法则解线性方程组必须有两个前提条件个前提条件:(1)未知数个数等于方程个数未知数个数等于方程个数(2)系数行列式系数行列式D 0例例1 解线性方程组解线性方程组 067452296385243214324214321xxxxxxxxxxxxxx解解:方程组的系数行列式方程组的系数行列式6741212060311512 D=27 0由克由克莱姆莱姆法则知法则知,方程组有唯一解方程组有唯一解67402125603915181 D=81= 10867012150609115822 DDDx11 2781 =3DDx22 27108 = 46041
4、2520693118123 D= 2707415120903185124 D=27DDx33 2727 = 1DDx44 2727 =1 因为因为x1=0, x2=0, , xn=0就是一个解就是一个解,它称为零解它称为零解. 二、齐次线性方程组有非零解的充要条件二、齐次线性方程组有非零解的充要条件齐次线性方程组齐次线性方程组: 0 00221122221211212111nnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa 显然显然,齐次线性方程组总是有解的齐次线性方程组总是有解的. 齐次线性方程组除了零解以外还有没齐次线性方程组除了零解以外还有没有其它解有其它解,即非零解即非零解?定理三
5、定理三 如果齐次线性方程组有非零解如果齐次线性方程组有非零解,则则齐次线性方程组的系数行列式齐次线性方程组的系数行列式D=0.证证 由克莱姆法则知齐次线性方程组只有由克莱姆法则知齐次线性方程组只有唯一的零解唯一的零解.与已知矛盾与已知矛盾若若D 0D=0 由定理三可知由定理三可知,齐次线性方程组的系齐次线性方程组的系数行列式数行列式D=0是齐次线性方程组有非零解是齐次线性方程组有非零解的必要条件的必要条件. 综合上述综合上述,得到得到: 齐次线性方程组有非齐次线性方程组有非零解的充要条件是系数行列式零解的充要条件是系数行列式D=0.注注: 在第四章将会看到在第四章将会看到,D=0也是齐次线性也是齐次线性方程组有非零解的充分条件方程组有非零解的充分条件.例例2 取何值时取何值时,下述齐次下述齐次线性方程组有非线性方程组有非零解零解? 0)1(0)1(0)1(321321321xxxxxxxxx 解解:111111111 D=( +3) 2齐次齐次线性方程组有非零解线性方程组有非零解D=0 = 3或或0