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1、1,线性代数与空间解析几何,1.4 克莱姆法则,第一章 n 阶行列式,2,1.4 克莱姆（Cramer)法则,(Cramer法则)如果n元线性方程组,的系数行列式不等于零，,(1),定理5,下面给出利用n阶行列式求解方程个数与未知量个数都是n而且系数行列式不为零的线性方程组的求解公式.,3,即,则方程组(1)只有唯一解,且其解为,4,其中,5,推论1,如果n元齐次线性方程组的系数行列式不等于零,即,则此方程组只有唯一零解,即,6,推论2,如果n元齐次线性方程组,有非零解,则系数行列式等于零,即,7,例1,求解线性方程组,线性方程组的系数行列式,解,所以方程组有唯一解.,8,所以方程组的唯一解为
2、,9,第一章的知识网络图,10,1.,练 习,11,4.,不计算行列式值，利用性质证明,证 令,12,13,因此有,注 的系数为1.,14,5,计算行列式,15,解,16,6.,计算行列式,17,解,18,19,7.,计算行列式:,20,解,用加边法,21,22,23,8.,已知,计算（1）,（2）,24,解,9. 设有四阶行列式,25,分析: a 相当于第2行的元素乘上的第4 行的代数余子式,根据行列式的性 质,应该为0,答案为(C).,设a=4A41+8A42+5A43+6A44, 则a的值为: (A) -2; (B) -1; (C) 0; (D) 2.,26,10.,多项式,如果存在 n
3、 个互不相同的数,使,证明:,证 设,由已知,27,这是关于,的n元一次,线性方程组,其系数行列式,得,28,所以方程组只有唯一零解,即,故,线性代数与空间解析几何,第二章 矩阵,30,本章的主要内容,矩阵的概念及运算可逆矩阵*矩阵的初等变换与初等阵*矩阵的秩分块矩阵,1 矩阵的定义,由 mn 个数排成的m行、n列的矩形数表,称为,矩阵.,2.1.1.矩阵的概念,2.1 矩阵的概念,简记为,当 m=n 时称为n 阶方阵.,矩阵同形它们行数和列数相同.,矩阵相等它们同形且对应元素相等.,2.特殊矩阵,零矩阵:,对角矩阵:,单位矩阵:,E ,I 或,数(标)量矩阵:,34,上三角矩阵:,下三角矩阵
4、:,行矩阵:,列矩阵:,2.2 矩阵运算,矩阵的线性运算,矩阵的乘法运算,方阵的幂及 行列式的乘法公式,矩阵的转置,加 法:,负矩阵:,减 法:,2.2.2 数乘,其中,则,2.2.3 矩阵乘法,可乘原则: 前列数=后行数. 乘积元素: cij 是 A 的第 i 行的元素与B 的第 j 列对应元素乘积之和. 乘积阶数：AB 阶数为前行数后列数.,总结如下:,运算性质:,学习矩阵运算,尤其要注意其不具备什 么熟知的运算规律.特别是乘法运算.,(A是mn的矩阵),设,求 AB .,解,注意: 在这个例子中 BA 无意义.,例1,则,注意: 在这个例子中,虽然 AB 与 BA 均有意义,但是AB 是
5、 22 矩阵,而BA是 11 矩阵.,例2,设,则,注意: (1) AB与BA是同阶方阵，但AB不等于BA. (2) 虽然A, B都是非零矩阵,但是 AB = 0.,例3,设,求 AB 及 AC.,解,注意: 虽然A不是零矩阵, 而且AB=AC, 但是B不等于C.这说明消去律不成立!,例4, 总结一下矩阵乘法的一些反常性质:,未必满足交换律:,未必满足消去律:,可能有零因子:, 如果 AB=BA, 则称 A 与 B 可交换., 学习矩阵理论,尤其要注意反常性质!,46,预 习2.2- 2.3,47,!,预 习 2.2-2.3,矩阵理论引言,历史, 矩阵思想源于求解线性方程组, 矩阵思想产生于中国 (朱世杰等), Matrix概念产生于英国 (Sylvester),应用, 数学(计算数学)各分支, 信息处理系统控制工程技术等,