数值分析04-矩阵的特征值.ppt

《数值分析04-矩阵的特征值.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数值分析04-矩阵的特征值.ppt（101页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。

1、W Y第四章第四章矩阵的特征值与矩阵的特征值与特征向量的计算特征向量的计算4-1阜师院数科院第四章 矩阵的特征值与特征向量的计算矩阵的特征值与特征向量的计算W Y第九章第九章矩阵的特征值与特征向量的计算1乘幂法与反幂法乘幂法与反幂法2Jacobi方法方法3QR方法方法2阜师院数科院阜师院数科院 第四章第四章 矩阵的特征值与特征向量的计算矩阵的特征值与特征向量的计算W Y第九章第九章矩阵的特征值与特征向量的计算概述矩阵的特征值与特征向量的计算概述线性代数中已接触过这个概念，矩阵的特征值与特征向量能反线性代数中已接触过这个概念，矩阵的特征值与特征向量能反映矩阵的性态，在理论上重要，而工程技术中的许

2、多问题，如桥梁映矩阵的性态，在理论上重要，而工程技术中的许多问题，如桥梁的振动，机械的振动，建筑物的振动及飞机机翼的颤动，这些问题的振动，机械的振动，建筑物的振动及飞机机翼的颤动，这些问题的求解常归结为求矩阵的特征值问题，另外一些稳定性分析问题也的求解常归结为求矩阵的特征值问题，另外一些稳定性分析问题也会转化为求特征值与特征向量的问题。会转化为求特征值与特征向量的问题。先简单提一下有关概念先简单提一下有关概念n阶阶方方阵阵A的的特特征征值值是是这这样样的的：它它使使Ax=x，即即有有(A-I)x=0（其其中中特特征征向向量量x为为非非零零向向量量），将将其其看看作作方方程程组组，则则是是n个个

3、未未知知数数（为为n阶阶向向量量），n个个方方程程的的齐齐次次线线性性方方程程组组，它它有有非非零零解解x的的充充分分必必要要条条件是系数矩阵所成行列式件是系数矩阵所成行列式，称为关于称为关于 的特征方程：的特征方程：3阜师院数科院阜师院数科院 第四章第四章 矩阵的特征值与特征向量的计算矩阵的特征值与特征向量的计算W Y矩阵的特征值与特征向量的计算概述（续矩阵的特征值与特征向量的计算概述（续1 1）将行列式展开，得关于将行列式展开，得关于 的的n次多项式：次多项式：()称称为为A的的特特征征多多项项式式，一一般般()=0的的n个个根根都都是是A的的特特征征值值，对对应应于于n个个特特征征向向量

4、量，且且若若x为为 对对应应的的特特征征向向量量，则则kx也是也是 对应的特征向量（允许相差一常数对应的特征向量（允许相差一常数k）。）。当当n不大时，如不大时，如n 4解特征方程，可求出全部特征值解特征方程，可求出全部特征值（n 3较难）当较难）当n较大（较大（n5），），计算量会增大得惊人，计算量会增大得惊人，且不可能求得准确结果，还可能出现不稳定，所以当且不可能求得准确结果，还可能出现不稳定，所以当n稍稍大一般不直接求解特征方程，而根据实际问题的需要，介大一般不直接求解特征方程，而根据实际问题的需要，介绍相应的一些行之有效的数值解法绍相应的一些行之有效的数值解法4阜师院数科院阜师院数科院

5、 第四章第四章 矩阵的特征值与特征向量的计算矩阵的特征值与特征向量的计算W Y11 乘幂法与反幂法乘幂法与反幂法 像像我我们们在在范范数数，谱谱半半径径中中知知道道的的那那样样，有有时时只只需需求求出出矩阵的按模最大的特征值与相应的特征向量矩阵的按模最大的特征值与相应的特征向量。1.1 乘幂法乘幂法 乘乘幂幂法法是是一一种种迭迭代代法法；先先找找初初始始向向量量x(0)反反复复乘乘以以给给定定的的方方阵阵A，依依次次得得x(1),x(2)，直直到到满满足足精精度度为为止止，可可从从中分离出绝对值最大的特征值。中分离出绝对值最大的特征值。设设n n阶实矩阵阶实矩阵A的特征值的特征值 i (i=1

6、,2,，n)满足满足5阜师院数科院阜师院数科院 第四章第四章 矩阵的特征值与特征向量的计算矩阵的特征值与特征向量的计算W Y构造向量序列构造向量序列 假定 i(i=1,2,，n)对应的特征向量对应的特征向量U1,U2,Un线性线性无关，这组特征向量构成无关，这组特征向量构成Rn中的一个基底，则任一非零向中的一个基底，则任一非零向量可表为量可表为Ui(i=1,2,，n)的线性组合，即存在的线性组合，即存在n个不全为个不全为o的常数的常数 i(i=1,2,，n)使使 可构造向量序列 所以乘幂法实际上是，对于给定的初始向量所以乘幂法实际上是，对于给定的初始向量 （零向量）由迭代法：零向量）由迭代法：

7、6阜师院数科院阜师院数科院 第四章第四章 矩阵的特征值与特征向量的计算矩阵的特征值与特征向量的计算W Y求出最大的特征值求出最大的特征值1产生迭代向量序列 ，可以证明，当k充分大时有 （由x的某一分量的相邻二次结果之比可得出1），而相应的特征向量为 。实际上，由式（4-1）可得：7阜师院数科院阜师院数科院 第四章第四章 矩阵的特征值与特征向量的计算矩阵的特征值与特征向量的计算W Y求出最大的特征值求出最大的特征值 1（续（续1）因此因此可看作为可看作为与对应的特征向量与对应的特征向量的近似，而的近似，而由式由式，取它们的任一分作比值即可得：取它们的任一分作比值即可得：8阜师院数科院阜师院数科院

8、 第四章第四章 矩阵的特征值与特征向量的计算矩阵的特征值与特征向量的计算W Y几几点点注注释释注注2：当：当而而k充分大时，充分大时，会随会随k的增大而无限增大或无限趋于的增大而无限增大或无限趋于0，这样上机计算时会，这样上机计算时会产生溢出（上溢或下溢）的情况，为避免这种情形出现，产生溢出（上溢或下溢）的情况，为避免这种情形出现，实际计算时，每次迭代求得的向量实际计算时，每次迭代求得的向量x(k)要进行要进行归一化（规归一化（规范化范化）处理：取）处理：取x(k)中绝对值最大的一个分量除中绝对值最大的一个分量除x(k)，这样这样将将x(k)的分量全部控制在的分量全部控制在-1,1中，而中，而

9、 1是由相邻二次分量是由相邻二次分量的比值所决定，因此不会受到影响。的比值所决定，因此不会受到影响。注注1：一般有：一般有 1 0，若恰好，若恰好x(0)使使 1为为0，也不影响上述，也不影响上述法，因为实际计算中，由于有舍入误差的影响，迭代法，因为实际计算中，由于有舍入误差的影响，迭代n次次后所得到的向量后所得到的向量x(k)在在u1方向上的分量不会为方向上的分量不会为0，因此，可，因此，可得得x(2)为初始向量。继续下去。为初始向量。继续下去。9阜师院数科院阜师院数科院 第四章第四章 矩阵的特征值与特征向量的计算矩阵的特征值与特征向量的计算W Y几几点点注注释释（续）（续）注注3：因此乘幂

10、法实际使用的公式及算法为：10阜师院数科院阜师院数科院 第四章第四章 矩阵的特征值与特征向量的计算矩阵的特征值与特征向量的计算W Y算法算法4.1 4.计算计算 ，。注注4：初初始始向向量量x(0)的的选选取取对对迭迭代代有有影影响响，若若收收敛敛太太慢慢可可考考虑重新选初值。虑重新选初值。6.若若kN，置，置k+1k,，转转3；否则，；否则，输出失败信息，停机。输出失败信息，停机。11阜师院数科院阜师院数科院 第四章第四章 矩阵的特征值与特征向量的计算矩阵的特征值与特征向量的计算W Y例 题1例例1用乘幂法用乘幂法求按模最大的特征值和特求按模最大的特征值和特征向量，取征向量，取x(0)=(0

11、，0，1)T，要求误差不超过要求误差不超过10-3。解解由式（由式（4-3）12阜师院数科院阜师院数科院 第四章第四章 矩阵的特征值与特征向量的计算矩阵的特征值与特征向量的计算W Y例 题1（续1）如此继续下去，计算结果见表4-1 k0001100110 1220 0.5120.5 22.52.50.2 0.8131.2 2.62.82.80.4285714 0.9285714141.7857142 2.85714282.92857140.6097560 0.9756097152.1951218 2.9513942.97560970.7377048 0.9918619162.4672717 2

12、.98372382.99186190.82466090.9972799172.6466018 2.99455982.99727990.8830012 0.9990924182.7650948 2.99818482.999090240.9219772 0.9996973192.8436517 2.99939462.999697313阜师院数科院阜师院数科院 第四章第四章 矩阵的特征值与特征向量的计算矩阵的特征值与特征向量的计算W Y例 题1（续2）因为其对应的特征向量：可与准确的特值值；1=3，2=2，3=1及1的特征向量 （1,-1,1）T 相比较，再次说明：特征向量允许相差一常数。14阜师院

13、数科院阜师院数科院 第四章第四章 矩阵的特征值与特征向量的计算矩阵的特征值与特征向量的计算W Y两两点点注注释释 注注1：幂法的收敛速度依赖于 ，比值越小，收敛越快，对上例，按准确的 值，比值 不是很小。因此对=103也迭代了9次，不算收敛快。对 按乘幂法计算其最大特征值，取x(0)=(1,1,1)T 。因为 ，所以 对于=103，只需迭代5次。当收敛慢时，还要考虑加快收敛的技术。15阜师院数科院阜师院数科院 第四章第四章 矩阵的特征值与特征向量的计算矩阵的特征值与特征向量的计算W Y两两点点注注释（续释（续1）注注2：前面假定 ，严格大于其他特征值，也有可能，这样的1有多个，如m个，那么上述

14、幂法还行吗？讨论特殊情况如下：（1）1是m重根。即1=2=m，幂幂法法仍仍有有效效，此时有 ，式（4-2）变成：只要 1,2 ,m不全为零，当k充分大时 16阜师院数科院阜师院数科院 第四章第四章 矩阵的特征值与特征向量的计算矩阵的特征值与特征向量的计算W Y两两点点注注释（续释（续2）x(k+1)为 1对应的特征向量收敛到 1u1+mum17阜师院数科院阜师院数科院 第四章第四章 矩阵的特征值与特征向量的计算矩阵的特征值与特征向量的计算W Y两两点点注注释（续释（续3）表明x(2k)是1对应的特征向量的近似。式（4-4），（4-5）为最大的特征值 1,2与对应的特征向量的计算公式。18阜师院

15、数科院阜师院数科院 第四章第四章 矩阵的特征值与特征向量的计算矩阵的特征值与特征向量的计算W Y1.2 幂法的加速：幂法的加速：原点移位法原点移位法 当 比值接近于1，则幂法收敛慢，应配以加速技术。下面介绍两种加速技术：所所谓谓原原点点移移位位法法是是：以以A-0I代代替替A，用用乘乘幂幂法法求求得得A-0I的的最最大大特特征征值值 i，则则A的的最最大大特特征征值值 1=i+0，其其特特征征向向量不变。量不变。而对而对A-0I按乘幂法（按乘幂法（4-1）有）有：适当地选取0满足 且 这样在用幂法求A-0I的最大特征值 1-0时，收敛速度比对A用幂法要快。1.原点移位法原点移位法19阜师院数科

16、院阜师院数科院 第四章第四章 矩阵的特征值与特征向量的计算矩阵的特征值与特征向量的计算W Y 0的估计的估计 原点移位法较简单，然而0如何选取是很因难的，一般情况下，如果对特征值的分布情况有大概的了解，可粗略地估计出0。此不等式表明，原点移位法求1，加快了收敛速度。20阜师院数科院阜师院数科院 第四章第四章 矩阵的特征值与特征向量的计算矩阵的特征值与特征向量的计算W Y例例 题题 2 取0=2.9，用原点移位法求A的最大特征值，要求 误差10-4。按式（4-3）计算，结果见表4-2 21阜师院数科院阜师院数科院 第四章第四章 矩阵的特征值与特征向量的计算矩阵的特征值与特征向量的计算W Y例例

17、题题 2（续（续1）表4-2k0111111117.15.1 1.17.110.7183098 0.154929523.15633722.254929 0.98450713.156337210.7144132 0.311914433.1017852.2155733 0.96880863.10178510.7142897 0.31233943.10005682.214326 0.96876613.100056810.71428560.312499453.09999842.2142846 0.96875013.0999984122阜师院数科院阜师院数科院 第四章第四章 矩阵的特征值与特征向量的计算

18、矩阵的特征值与特征向量的计算W Y例例 题题 2（续（续2）所以，矩阵A的按模最大的特征值为不难求出，A的特征值为 ，若对A直接用幂法，则比值 ，而用原点移位法，则有：因此收敛速度明显加快。23阜师院数科院阜师院数科院 第四章第四章 矩阵的特征值与特征向量的计算矩阵的特征值与特征向量的计算W Y2.幂法的幂法的埃特肯（埃特肯（Aitken）加速加速 1）首先介绍Aitken加加速速法法，并且说明对线性收敛速度的迭代均可用此法加快收敛；2）进一步说明幂法是线性收敛的；3）Aitken加速法加速法用于幂法幂法，加速收敛。下面是详细内容：1）Aitken加速法加速法 设序列ak线性收敛到a,记误差k

19、=aka即有于是当k充分大，且k，k+1同号时有：可解出：24阜师院数科院阜师院数科院 第四章第四章 矩阵的特征值与特征向量的计算矩阵的特征值与特征向量的计算W Y埃特肯（埃特肯（Aitken）加速（续）加速（续）因此所有具线性的收敛速度的序列均可使用Aitken法法加快收敛。上面结果表明：分子超于0的速度比分母超于0的速度快，亦即分子是比分母更高价的无穷小，因此 比ak快。25阜师院数科院阜师院数科院 第四章第四章 矩阵的特征值与特征向量的计算矩阵的特征值与特征向量的计算W Y算算 法法 4.2 2）乘幂法）乘幂法收敛速度是线性的收敛速度是线性的，即即乘幂法乘幂法所得向量序列所得向量序列 x

20、(k+1)收敛到收敛到x1的速度是的速度是线性线性的。的。3）Aitken加速技术加速技术用于用于乘幂法，乘幂法，得如下得如下算法算法4.2 1.输入输入A=(aij)，初始向量初始向量x=(x1,x2,xn)T，误差限误差限，最，最 大迭代次数大迭代次数N；3.4.计 ，置26阜师院数科院阜师院数科院 第四章第四章 矩阵的特征值与特征向量的计算矩阵的特征值与特征向量的计算W Y例例 题题 3例例3用用Aitken加速法加速法求求例例1中矩阵中矩阵的按模最大特征值与对应的的按模最大特征值与对应的特征向量，取特征向量，取x(0)=(0,0,1)T。解解（一）2.7.，转转327阜师院数科院阜师院

21、数科院 第四章第四章 矩阵的特征值与特征向量的计算矩阵的特征值与特征向量的计算W Y例例 题题 3（续（续1）（二）3.（三）3。28阜师院数科院阜师院数科院 第四章第四章 矩阵的特征值与特征向量的计算矩阵的特征值与特征向量的计算W Y例例 题题 3（续（续2）（四）（四）3.计算结果见表4-3：29阜师院数科院阜师院数科院 第四章第四章 矩阵的特征值与特征向量的计算矩阵的特征值与特征向量的计算W Y例例 题题 3（续（续3）k10 12220.5 22.52.531.2 2.62.82.83.2541.7857142 2.85714282.92857142.92857143.02499995

22、2.1951218 2.9513942.97560972.97560973.002747262.467217 2.98372382.99186192.99186193.000441630阜师院数科院阜师院数科院 第四章第四章 矩阵的特征值与特征向量的计算矩阵的特征值与特征向量的计算W Y例例 题题 3（续（续4）计计算算结结果果与与例例1的的计计算算结结果果比比较较，显显然然Aitken加加速速法法的的收收敛敛速速度度比比幂幂法法快快（这这里里加加速后的速后的 收敛快）。收敛快）。也也可可上上述述算算法法4.2是是用用幂幂法法迭迭代代一一次次，加加速速一一次次，修修改改为为用用幂幂法法迭迭代代

23、二二次次或或三三次次，加加速一次。速一次。Aitken加速序列的收敛速度是原序加速序列的收敛速度是原序列收敛速度的两倍。列收敛速度的两倍。31阜师院数科院阜师院数科院 第四章第四章 矩阵的特征值与特征向量的计算矩阵的特征值与特征向量的计算W Y1.3 反幂法反幂法 在乘幂法中，以在乘幂法中，以A-1代替代替A，即为反幂法，用于求即为反幂法，用于求A的最的最小特征值及对应的特征向量小特征值及对应的特征向量。因为以因为以A-1代替代替A，由由此式表明此式表明A-1的特征值是的特征值是A的特征值的倒数，而相应特征向的特征值的倒数，而相应特征向量不变。这样，若对量不变。这样，若对A用乘幂法求最大特征值

24、用乘幂法求最大特征值 1：则对则对A-1用乘幂法求最大特征值应满足：用乘幂法求最大特征值应满足：32阜师院数科院阜师院数科院 第四章第四章 矩阵的特征值与特征向量的计算矩阵的特征值与特征向量的计算W Y反幂法（续反幂法（续1）若若按按乘乘幂幂法法，以以A-1代代替替A，有有x(k+1)=A-1x(k)，为为避避免免求求逆逆阵阵A-1，实实际际运运算算时时，常常化化为为求求解解Ax(k+1)=x(k)，这这样样迭代一次的算法，转化为求解一次方程组。迭代一次的算法，转化为求解一次方程组。由由于于矩矩阵阵A在在迭迭代代过过程程中中不不会会改改变变，因因此此可可先先对对其其进进行行分分解解A=LU，于

25、于是是在在每每次次迭迭代代时时，就就只只需需转转化化为为求求解解两两个个三三角方程组：角方程组：也就是说，对也就是说，对A-1用乘幂法可计算用乘幂法可计算A-1的最大特征值，的最大特征值，而实际上是而实际上是A的最小特征值。的最小特征值。33阜师院数科院阜师院数科院 第四章第四章 矩阵的特征值与特征向量的计算矩阵的特征值与特征向量的计算W Y反幂法（续反幂法（续2）注注2：反反幂幂法法通通常常用用于于：已已知知矩矩阵阵的的某某一一个个近近似似特特征征值值时时，求求其其对对应应的的特特征征向向量量，并并对对此此近近似似特特征征值值加加以以修修正正，且与原点移位法合起来用。且与原点移位法合起来用。

26、注注1：反反幂幂法法的的收收敛敛率率为为比比值值（假假定定求求的的最最大大：，而在而在A中中最小）：最小）：收收 敛敛 速速 度度 与与收敛率有关。收敛率有关。34阜师院数科院阜师院数科院 第四章第四章 矩阵的特征值与特征向量的计算矩阵的特征值与特征向量的计算W Y注注3 带原点移位的反幂法带原点移位的反幂法设已知设已知A的一个特征值的一个特征值 的近似值的近似值，一般，一般很很小，即小，即，这表明，这表明是是矩阵矩阵（原点移位法中（原点移位法中 0=*）的按模最小的特征）的按模最小的特征值可对值可对用反幂法，求最小特征值用反幂法，求最小特征值。由于实际上收敛率由于实际上收敛率较小较小所以所以

27、此时收敛很此时收敛很快。往往只需要二，三步迭代，就可达到很高的精度。快。往往只需要二，三步迭代，就可达到很高的精度。算法算法4.3 1.输入输入A=(aij)，初始向量初始向量x=(x1,x2,xn)T，误差限误差限，最，最大大 迭代次数迭代次数N；35阜师院数科院阜师院数科院 第四章第四章 矩阵的特征值与特征向量的计算矩阵的特征值与特征向量的计算W Y算算法法4.3（续）（续）3.作三角分解作三角分解4.求整数求整数r,使得使得；7.若若，则置，则置，转，转4，否则，否则输出失败信息，停机。输出失败信息，停机。36阜师院数科院阜师院数科院 第四章第四章 矩阵的特征值与特征向量的计算矩阵的特征

28、值与特征向量的计算W Y注注4 注注4 若已知A的全部特征值的近似值，用上述反幂法反幂法可求A的全部特征向量，同时可对这些近似特征值加以修正改正。说明说明：如果*=0，则算法算法4.3求出A的按模最小的特征值与特征向量。例4 用反幂法求矩阵 接近2.93的特征值，并求相应的特征向量，取x(0)=(0,0,1)T。37阜师院数科院阜师院数科院 第四章第四章 矩阵的特征值与特征向量的计算矩阵的特征值与特征向量的计算W Y例例4（续（续 1）解对 A 2.93I 作三角分解得：按算法按算法4.3计算的数值结果见表计算的数值结果见表4-438阜师院数科院阜师院数科院 第四章第四章 矩阵的特征值与特征向

29、量的计算矩阵的特征值与特征向量的计算W Y例例4（续（续 2）表4-4k1 0017.9590595 7.40192546.88379067.95905953.07526882 1 0.931.864912.692313 12.80385112.83758112.8375813.00878783 0.9886841 0.99737252.072443614.278436 14.26762914.26626814.2784363.000095439阜师院数科院阜师院数科院 第四章第四章 矩阵的特征值与特征向量的计算矩阵的特征值与特征向量的计算W Y例例4（续（续 3）迭迭代代3次次，即即得得 3

30、.0000954，与与准准确确值值=3的的误误差小于差小于10-4。相应的特征向量为：。相应的特征向量为：与准确值与准确值u=(1,-1,1)T比较，残量为：比较，残量为：40阜师院数科院阜师院数科院 第四章第四章 矩阵的特征值与特征向量的计算矩阵的特征值与特征向量的计算W Y2 Jacobi方法序方法序 Jacobi法法是是用用于于求求实实对对称称阵阵的的全全部部特特征征值值及及特特征征向向量量的的一一种种迭迭代代法法，其其基基本本思思想想是是：利利用用一一系系列列的的正正交交相相似似变变换换阵阵Q，可可将将n阶阶实实对对称称阵阵A化化为为一一对对角角阵阵，这这些些对对角角元元就就是是A的的

31、特特征征值值，而而利利用用这这些些正正交交变变换换阵阵的的乘乘积积，可可求求出出对对应的特征向量。应的特征向量。先介绍一些预备知识和相关结论：先介绍一些预备知识和相关结论：（1）A为n阶实对称阵，则A有n个实特征值，且有n个对应的正交的线性无关的特征向量。Q为正交阵，则：Q QT=I，即QT=Q 1，正交阵的乘积仍为正交阵。（2）A，B为n阶方阵，方阵R可逆，指R使：AR=RA=I。A，B相似：存在可逆方阵R使，R 1AR=B。相似矩阵的特征值相同，A，B相似，若A为对称阵，则 B也是对称阵。41阜师院数科院阜师院数科院 第四章第四章 矩阵的特征值与特征向量的计算矩阵的特征值与特征向量的计算W

32、 YJacobi方法序方法序（续续1）（3）A为实对称阵，Q为正交阵，则B=QTAQ也是对称阵。（4）对于n阶实对称阵A，一定存在正交阵Q，使：即A，D相似，由（2）知i(i=1,2,n)就是A的特征值，而Q的第 i列 qi(i=1,2,n)就是A的，对应于 i的特征向量,因为：42阜师院数科院阜师院数科院 第四章第四章 矩阵的特征值与特征向量的计算矩阵的特征值与特征向量的计算W YJacobi方法序（续方法序（续2）（5）在正交相似变换下，矩阵元素的平方和不变。Jacobi方法正是建立在上述结论上的方法正是建立在上述结论上的：通过一次正交变换，将A中的两个非零的非对角线元素化为零两个非零的非

33、对角线元素化为零，使得非对角使得非对角元素的平方和减少元素的平方和减少，反复进行上述过程，使变换后的矩反复进行上述过程，使变换后的矩阵的非对角元素的平方和趋于零阵的非对角元素的平方和趋于零，从而使该矩阵近似为对 角矩阵，得到全部特征值和特征向量。综上所述，综上所述，Jacobi法的关键法的关键，在于找到合适的正交阵合适的正交阵Q，为了说明这个问题，我们从最简单的情况开始。则则43阜师院数科院阜师院数科院 第四章第四章 矩阵的特征值与特征向量的计算矩阵的特征值与特征向量的计算W Y 2.1平面旋转变换平面旋转变换 设在平面上有一条二次曲线：可以通过坐标轴的旋转 化为标准形状：如果把（4-7）式写

34、成矩阵形式，即为 44阜师院数科院阜师院数科院 第四章第四章 矩阵的特征值与特征向量的计算矩阵的特征值与特征向量的计算W Y平面旋转变换（续平面旋转变换（续1）其中a12=a21，而（4-8）式即为：把（4-10）式代入（4-9）式，便有：45阜师院数科院阜师院数科院 第四章第四章 矩阵的特征值与特征向量的计算矩阵的特征值与特征向量的计算W Y平面旋转变换（续平面旋转变换（续2）则上式可简写为则上式可简写为两个非两个非对角线对角线元素已元素已化为零化为零46阜师院数科院阜师院数科院 第四章第四章 矩阵的特征值与特征向量的计算矩阵的特征值与特征向量的计算W Y平平面面旋旋转转变变换（例换（例5）

35、容容易易验验证证Q是是一一个个正正交交矩矩阵阵，称称（4-7）式式是是一一个个正正交交变变换换。正正交交变变换换Q把把对对称称矩矩阵阵A变变成成为为对对角角阵阵，而而 1与与 2即即是是矩矩阵阵的的特特征征值值。正正交交矩矩阵阵Q的的两两个个列列向向量量分分别别对对应应于于 1,2的的 两两 个个 单单 位位 特特 征征 向向 量量，即即 1所所 对对 应应 的的 特特 征征 向向 量量 为为，2所对应的特征向量为所对应的特征向量为。为为了了把把上上述述结结果果推推广广到到一一般般情情况况，我我们们再再用用一一个个具具体体例子来说明。例子来说明。例例5椭球椭球与坐标平面与坐标平面Ox1x2的交

36、线是：的交线是：如果把如果把Ox1,Ox2轴旋转轴旋转，则可知此二次曲线是一个椭圆，则可知此二次曲线是一个椭圆47阜师院数科院阜师院数科院 第四章第四章 矩阵的特征值与特征向量的计算矩阵的特征值与特征向量的计算W Y平面旋转变换例平面旋转变换例5（续（续1）为此为此令变令变换：换：（4-11）式经过此变换以后，得新方程为）式经过此变换以后，得新方程为把（把（4-11）和（）和（4-13）式均写成矩阵形式）式均写成矩阵形式可知经过变换以后，使矩阵可知经过变换以后，使矩阵：48阜师院数科院阜师院数科院 第四章第四章 矩阵的特征值与特征向量的计算矩阵的特征值与特征向量的计算W Y平面旋转变换例平面旋

37、转变换例5（续（续2）或完整地写为：或完整地写为：49阜师院数科院阜师院数科院 第四章第四章 矩阵的特征值与特征向量的计算矩阵的特征值与特征向量的计算W Y平面旋转变换例平面旋转变换例5（续（续3）下下面面我我们们来来考考察察经经过过这这个个变变换换以以后后，（4-11）中中矩矩阵阵元元素素的变化情况。的变化情况。1 对角线上元素的平方和由对角线上元素的平方和由19增加到增加到27。2 非非对对角角线线上上元元素素的的平平方方和和由由减减少少到到，而而矩阵所有元素的平方和不变。矩阵所有元素的平方和不变。由于由于（4-13）式中，仍然保留着）式中，仍然保留着y1y3与与y2y3的乘积项，如果的乘

38、积项，如果仿上再作一次变换，例如把仿上再作一次变换，例如把Oy2y3平面与（平面与（4-13）式截口化）式截口化成标准形，可以作如下旋转变换：成标准形，可以作如下旋转变换：50阜师院数科院阜师院数科院 第四章第四章 矩阵的特征值与特征向量的计算矩阵的特征值与特征向量的计算W Y平面旋转变换例平面旋转变换例5（续（续4）这时椭球方程化为：写成矩阵形式，得系数矩阵：这时对角线上元素的平方和达到 ，而非对角线元素的平方和减少成 。51阜师院数科院阜师院数科院 第四章第四章 矩阵的特征值与特征向量的计算矩阵的特征值与特征向量的计算W Y平面旋转变换例平面旋转变换例5（续（续5）综合上述两次变换的结果，

39、我们可以得出如下结论：综合上述两次变换的结果，我们可以得出如下结论：（1）实实对对称称矩矩阵阵A经经过过正正交交变变换换以以后后，对对角角线线上上的的元元素素的的平平方方和和在在不不断断增增加加，非非对对角角线线上上的的元元素素的的平平方方和和在在不不断断减减少少，而而矩矩阵阵所所有有元元素素的的平平方方和和是是不不改变的。改变的。（2）同时也看到经过第二次变换后，上一次变换）同时也看到经过第二次变换后，上一次变换时已经化为零的元素又可能会变成不是零。但不管时已经化为零的元素又可能会变成不是零。但不管怎样，经过这样反复变换，总可达到目的：怎样，经过这样反复变换，总可达到目的：使对角使对角线上元

40、素的平方和不断增大而非对角线上元素平方线上元素的平方和不断增大而非对角线上元素平方和趋向于零。和趋向于零。这个例子的具体作法，就是这个例子的具体作法，就是Jacob法法的基本思想。的基本思想。52阜师院数科院阜师院数科院 第四章第四章 矩阵的特征值与特征向量的计算矩阵的特征值与特征向量的计算W YJacob法法 设阶实对称矩阵A=(aij)。经过正交变换以后，得：又设A中以aij(i j)的绝对值为最大，当然 aij 0（否则非对角线上所有元素全为零），作正交变换：53阜师院数科院阜师院数科院 第四章第四章 矩阵的特征值与特征向量的计算矩阵的特征值与特征向量的计算W YJacob法（续法（续1

41、）矩阵Vij()中，对角线上元素除Vii=Vjj=cos 外，其它皆为1，非对角线上元素除-Vii=Vjj=sin 外，其它皆为0，称Vij()为平面旋转阵。容易直接验证Vij()有如下性质性质：1 .2 如果A是对称阵，则 ，所以 是对称阵，就是说，对称阵经过正交变换以后，仍是对称阵。3 矩阵A经过变换后，A1中第i行，第j行及第i列、第j列元素的变化如下：54阜师院数科院阜师院数科院 第四章第四章 矩阵的特征值与特征向量的计算矩阵的特征值与特征向量的计算W YJacob法（续法（续2）其它元素不变，即：其它元素不变，即：55阜师院数科院阜师院数科院 第四章第四章 矩阵的特征值与特征向量的计

42、算矩阵的特征值与特征向量的计算W YJacob法（续法（续3）同样可以直接验证：1）即经过正交变换后，矩阵所有 素的平方和不变。56阜师院数科院阜师院数科院 第四章第四章 矩阵的特征值与特征向量的计算矩阵的特征值与特征向量的计算W YJacob法（续法（续4）利用条件（4-18）得：对对A(1)重重复复上上述述过过程程，可可得得A(2)，如如此此继继续续下下去去，得得到到一一个个矩矩阵阵序序列列A(k)。可可以以证证明明，虽虽然然这这种种变变换换不不一一定定能能使使矩矩阵阵中中非非对对角角元元中中零零元元素素的的个个数数单单调调增增加加，但但可可以以保保证证非非对角元的平方和递减对角元的平方和

43、递减，我们以，我们以A与与A(1)为例进行讨论。为例进行讨论。由此可知，经过正交变换后矩阵A中对角线元素的平方和比原来增加了 ，而非对角线元素的平方和减少了 。57阜师院数科院阜师院数科院 第四章第四章 矩阵的特征值与特征向量的计算矩阵的特征值与特征向量的计算W YJacob法（续法（续5）可得：（4-19）式：58阜师院数科院阜师院数科院 第四章第四章 矩阵的特征值与特征向量的计算矩阵的特征值与特征向量的计算W YJacob法（续法（续6）式（4-19）表明，在上述旋转变换下，非对角元的平方和严格单调递减，因而由式（4-6）即得，对角元的平方和单调递增。正是利用这一点，导出了Jacobi方法

44、方法。2.2 Jacobi方法方法 通过一系列旋转相似变换将A变成A(k+1)，求得A的全部特征值与特征向量的方法称为Jacobi方法方法。如果在对A作相似变换的过程中，每一步都选绝对值最大的非对角元素 ，以此确定旋转矩阵，这种方法称为古典古典Jacobi方法方法。59阜师院数科院阜师院数科院 第四章第四章 矩阵的特征值与特征向量的计算矩阵的特征值与特征向量的计算W Y古典古典Jacob法法（3）计算旋转矩阵：（2）求整数 i,j,使得：古典古典Jacobi方法方法。其计算过程如下：60阜师院数科院阜师院数科院 第四章第四章 矩阵的特征值与特征向量的计算矩阵的特征值与特征向量的计算W Y古典古

45、典Jacob法（续法（续1）61阜师院数科院阜师院数科院 第四章第四章 矩阵的特征值与特征向量的计算矩阵的特征值与特征向量的计算W Y古典古典Jacob法（续法（续2）一般地，Jacobi法法不能在有限步内将A化成对角阵，但有以下收敛性结果。定定理理4.1 设A为n阶实对称阵，对A用古古典典Jacobi法法得到序列A(k)，其中A(0)=A，则：即古典Jacobi法收敛。证明 由Jacobi法计算过程：另一方面，由计算A(k+1)的公式可以得出：62阜师院数科院阜师院数科院 第四章第四章 矩阵的特征值与特征向量的计算矩阵的特征值与特征向量的计算W Y古典古典Jacob法（续法（续3）定理4.1

46、表明，古典Jacobi法法是收敛的，进一步分析还可以得出Jacobi法法收敛较快。另外，这种方法对舍入误差有较强的稳定性，因而解的精度高，且所求得的特征向量正交性很好。它的不足之处是运算量大，且不能保持矩阵的特殊形状（如稀疏性），因此Jacobi法法是求中小型稠密实对称矩阵的全部特征值与特征向量的较好方法。63阜师院数科院阜师院数科院 第四章第四章 矩阵的特征值与特征向量的计算矩阵的特征值与特征向量的计算W Y两两 点点 说说 明明 在实际计算中还可采用一些措施来提高精度和节省工作量。1 减少舍入误差的影响。从公式中可知，具体计算时只需用到sin ,cos 的值，为了提高精度，舍入误差越小越好

47、。常常利用三角函数之间的关系，写成便于计算的公式 即得 （4-21）64阜师院数科院阜师院数科院 第四章第四章 矩阵的特征值与特征向量的计算矩阵的特征值与特征向量的计算W Y两两 点点 说说 明（续）明（续）2 节省工作时间。在雅雅可可比比法法中，每次变换是把非对角元绝对值最大者化为零，但在n阶矩阵中要去寻找这个最大元素要花较多的机器时间，所以一般不选最大元。改进的一种方法是设某些“关口”，如a1,a2,ak，先按次序用aij(i j,j=1,2,n)与a比较，若 ，则通过不加运算，若 ，就进行一次旋转变换，使之化为0，一遍轮流过以后，再用a2来比较，作同样处理，直至达到所需精度为止，这种方法

48、称为雅可比过关法雅可比过关法。例例6 用Jacobi方法求下列矩阵的特征值。65阜师院数科院阜师院数科院 第四章第四章 矩阵的特征值与特征向量的计算矩阵的特征值与特征向量的计算W Y例例 6 6（续（续1 1）66阜师院数科院阜师院数科院 第四章第四章 矩阵的特征值与特征向量的计算矩阵的特征值与特征向量的计算W Y例例 6 6（续（续2 2）下面应取i=2,j=3，重复上述过程。如此继续下去，可得：67阜师院数科院阜师院数科院 第四章第四章 矩阵的特征值与特征向量的计算矩阵的特征值与特征向量的计算W Y例例 6 6（续（续3 3）所以A的特征值为：与其准确值与其准确值比较，最大误差为比较，最大

49、误差为0.0002036。68阜师院数科院阜师院数科院 第四章第四章 矩阵的特征值与特征向量的计算矩阵的特征值与特征向量的计算W Y古典古典Jacobi法法一种改进一种改进古典古典Jacobi法法在计算每个旋转矩阵在计算每个旋转矩阵V(k)前都需要对前都需要对个非对角元素进行比较，个非对角元素进行比较，从中找出绝对值最从中找出绝对值最大的元素。大的元素。为减少运算量常用的一种为减少运算量常用的一种改进方法改进方法是取定正是取定正 k,k0(k)，以以 k 为限，逐行检查非对角元，若为限，逐行检查非对角元，若 就跳过，否则以就跳过，否则以Vij()消去元消去元 aij和和 aji，反复反复进行上

50、述过程，直到所有非对角元的绝对值均小于进行上述过程，直到所有非对角元的绝对值均小于 k，再再以以 k+1为限，进行第为限，进行第 k+1轮循环消元。当轮循环消元。当 k 充分小时，所得到的矩阵的对角元即为充分小时，所得到的矩阵的对角元即为A的全部特征值。的全部特征值。69阜师院数科院阜师院数科院 第四章第四章 矩阵的特征值与特征向量的计算矩阵的特征值与特征向量的计算W Y3 QR方法方法3.1 基本基本QR方法方法 六十年代出现的QR算法是目前计算一般中小型矩阵的全部特征值与特征向量的最有效的方法。这里仅讨论实矩阵，并假定矩阵非奇异。因为否则，矩阵AI（不是A的特征值）必定是非奇异的，而由AI