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1、正弦定理ABC3C2C1CBC的长度与角A的大小有关吗?三角形中角A与它的对边BC的长度是否存在定量关系?在RtABC中,各角与其对边的关系:caA sincbB sin1sinC不难得到:CcBbAasinsinsinCBAabccc在非直角三角形ABC中有这样的关系吗?AcbaCB正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等.CcBbAasinsinsin即(1) 若直角三角形,已证得结论成立.bADcADCBsin,sin所以AD=csinB=bsinC, 即,sinsinCcBb同理可得,sinsinCcAaCcBbAasinsinsin即：DAcbCB图1过点A作ADBC于
2、D,此时有证法1:(2)若三角形是锐角三角形, 如图1,由(1)(2)(3)知，结论成立CCbADsinsin ）（且CcBbAasinsinsin仿(2)可得D(3) 若三角形是钝角三角形,且角C是钝角如图2, 此时也有cADB sin交BC延长线于D,过点A作ADBC，CAcbB图2AasinBbsinCcsin（2R为为ABC外接圆直径）外接圆直径）2R思考求证:证明：证明：OC/cbaCBARCcRcCCCCCBA2sin2sinsin,90RCcBbAaRBbRAa2sinsinsin2sin,2sin同理作外接圆O,过B作直径BC/,连AC/,AcbCBDa向量法证法2:利用向量的
3、数量积，产生边的长与内角的三角函数的关系来证明.证明：BacAbcCabSABCsin21sin21sin21BACDabcaABCahS21而CbBcADhasinsinCabBacSABCsin21sin21同理BacAbcCabSABCsin21sin21sin21haAbcSABCsin21证法3:剖析定理、加深理解正弦定理可以解决三角形中哪类问题： 已知两角和一边，求其他角和边. 已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而可求其他的边和角.CcBbAasinsinsin定理的应用例 1在ABC 中，已知c = 10,A = 45。, C = 30。求 a , b (精确到0.01
4、）.解： 且 105C)(A180 BCcBbsinsin b = CBcsinsin19.32=30sin105sin10已知两角和任意边，已知两角和任意边，求其他两边和一角求其他两边和一角CcAasinsina = CAcsinsin14.14=21030sin45sin10BACbc)26(5a在ABC中，已知 A=75，B= 45，c= 求a ， b.23在ABC中，已知 A=30，B=120，b=12 求a ， c.a= ,c= 3434 3233ba练习例 2 已知a=16， b= ， A=30 .求角B，C和边c已知两边和其中一边已知两边和其中一边的对角的对角,求其他边和角求其他
5、边和角解：由正弦定理BbAasinsin得231630sin316sinsinaAbB所以60,或120当 时60C=90.32cC=30.16sinsinACac316当120时B16300ABC16316变式: a=30, b=26, A=30求角B，C和边c300ABC2630解：由正弦定理BbAasinsin得30133030sin26sinsinaAbB所以25.70, 或180025.70=154.30由于154.30 +3001800故B只有一解（如图）C=124.30,57.49sinsinACac变式: a=30, b=26, A=30求角B，C和边c300ABC2630解：
6、由正弦定理BbAasinsin得30133030sin26sinsinaAbB所以25.70,C=124.30,57.49sinsinACaca b A B ,三角形中大边对大角已知两边和其中一边的对角已知两边和其中一边的对角,求其他边和求其他边和角角1.根据下列条件解三角形 (1)b=13，a=26，B=30.B=90，C=60，c= 313(2) b=40，c=20，C=45.练习注：三角形中角的正弦值小于时，角可能有两解无解课堂小结（1）三角形常用公式：（2）正弦定理应用范围： 已知两角和任意边，求其他两边和一角 已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角。(注意解的情况)正弦定理：ABC
7、111sinsinsin222ABCSabCbcAacBsinsinsinabcABC2R已知两边和其中一边的对角已知两边和其中一边的对角,求其求其他边和角时他边和角时,三角形三角形什么情况下有什么情况下有一解一解,二解二解,无解无解?课后思考课后思考ACababsinA无解无解ACaba=bsinA一解一解ACabbsinA a b 两解两解BB1B2BACbaab一解一解aABabCABabCABabCab 一解一解正弦定理的综合应用正弦定理的综合应用221.tantan,.ABCaBbAABC在中，已知试判断的形状1.3,3 3,30 ,.ABCbcBABC在中，已知试判断的形状21.(
8、 cos)cos0,.xbA xaBa bABCABa bABC已知方程的两根 之积等于两根之和，且为的边， ， 为的对角，试判断的形状1., ,sinsinsin.ABCa b cABCaabcb cBCAABC在中，为边长， ， ， 为所对的角，若试判断的形状2222222.0.coscoscoscoscoscosABCabbccaABBCCA在中，求证：2.(sinsin)(sinsin)(sinsin)0.ABCaBCbCAcAB在中，求证： 3.12057,.ABCAABBCABCS在中，若，求的面积3.sin()sinsin.ABCCABPABAPCBPCPCPBPA一条直线上有三
9、点 ， ， ，点 在 ，之间,点 是直线之外一点，设，求证：CBAP3.,3,3.4 3sin()3.4 3sin()336.6sin()3.6sin()336ABCABCABCABBBCBDB中，则的周长为4.ABCADBACABBDACDC在中，是的平分线， 用正弦定理证明：ACBD1.(1)sinsin.(2)sinsin.ABCABAB判断正误：若，则；反之也成立在中，若，则； 反之也成立352.sincos,513sin.ABCABC在中，已知，求.6563)sin(sin.54cos,sinsinsinsin,53sin.1312sin), 0(,135cosBACAABAbaBb
10、AaBAABBB只能为锐角，可知由正弦定理又解：.sin,1312sin,54cosCBAABC求中，已知变：在.65336563sin.6533)sin(sin135cos)2(.6563)sin(sin135cos) 1 (.135cos,sinsin,1312sin53sin), 0(,54cos或时，时，角，可以为锐角也可以为钝又解：CBACBBACBBBBAbaBABAAA3., ,2 cos(60).oABCABCa b cbcaCA在中，设所对的边分别为，若，求.120150302103030.21)30sin(1cossin30sinsinsin)cossin3(cossin3
11、cossinsinsincoscossin)sin(sin)sin60sincos60(cossin2sinsin000000000AAAAAACCCAACACACCACACABCCACB又即略解：由正弦定理得2214.().4ABCSbcABC已知的面积，试确定的形状.20sin10)sin1 (21, 0)(410)sin1 (21)(41sin21)(412222为等腰直角三角形且解：ABCcbAAcbAbccbAbccbAbccbS实际问题实际问题例例1、如图，要测底部不能到达的烟囱的高、如图，要测底部不能到达的烟囱的高AB，从与烟囱底部在，从与烟囱底部在同一水平直线上的同一水平直线上
12、的C、D两处，测得烟囱的仰角分别是两处，测得烟囱的仰角分别是和4560，CD间的距离是间的距离是12m.已知测角仪器高已知测角仪器高1.5m,求烟囱的高。求烟囱的高。图中给出了怎样的一个图中给出了怎样的一个几何图形？已知什么，几何图形？已知什么，求什么？求什么？想一想想一想实例讲解实例讲解AA1BCDC1D1分析：分析：如图，因为AB=AA1+A1B，又已知AA1=1.5m,所以只要求出A1B即可。解：15sin120sin12sinsinsinsin:,154560,111111111111BDDCBCDBCBDCBDCDBC由正弦定理可得中在662184 .2836182211BCBA)(
13、9 .295 . 14 .2811mAABAAB答：烟囱的高为 29.9m.ABCDE6520352.3520100065 ,(1 ).ABDDBCm例 某登山队在山脚 处测得山顶 的仰角为 ，沿倾斜角为的斜坡前进米 后到达 处，又测得 处的仰角为求山的高度精确到ABCDE652035BEDC2.57,1.89,2.01,45 ,120 ,.BCcm CDcmBEcm BC某地出土一块玉佩（如图），其中一角破损，现测得如下数据；为了复原，计算原另两边的长BEDCA 解斜三角形的问题，通常都要根据题意，从实际问题中抽象解斜三角形的问题，通常都要根据题意，从实际问题中抽象出出一个或几个三角形一个或
14、几个三角形，然后通过解这些三角形，得出所要求的量，然后通过解这些三角形，得出所要求的量，从而得到实际问题的解。从而得到实际问题的解。 在这个过程中，贯穿了在这个过程中，贯穿了数学建模数学建模的思想。这种思想即是从实际的思想。这种思想即是从实际问题出发，经过抽象概括，把它转化为具体问题中的数学模型，问题出发，经过抽象概括，把它转化为具体问题中的数学模型，然后通过推理演算，得出数学模型的解，再还原成实际问题的解。然后通过推理演算，得出数学模型的解，再还原成实际问题的解。本节小结本节小结:正弦定理的证明1.结构：正弦定理正弦定理的应用解三角形2.方法、技巧、规律(1)正弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系， 是解三角形的重要工具;(2)两类问题：一类已知两角和一边； 另一类是已知两边和一边的对角；(3)注意正弦定理的变式；(4)180.注意内角和为的应用，以及角之间的转化3.思维误区警示：(1)(2)正弦定理可以解任意三角形；运用该定理解决“已知两边和其中一边 的对角，求另一边的对角，进而求其它 元素”这类问题时，注意对解的判断.