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1、常系数非齐次高阶线性微分方程常系数非齐次高阶线性微分方程(以二次方程为例以二次方程为例)1、2、1一、二阶常系数线性非齐次微分方程:根据解的结构定理,其通解为非齐次方程特解齐次方程通解求特解的方法根据 f(x)的特殊形式,的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数.待定系数法待定系数法21、为实数,设特解为其中 为待定多项式,代入原方程,得(1)若 不是特征方程的根,则取从而得到特解形式为为 m 次多项式.Q(x)为 m 次待定系数多项式3(2)若 是特征方程的单根,为m 次多项式,故特解形式为(3)若 是特征方程的重根,是 m 次多项式,故特解形式为小结小结 对方程,此结论可推广到高
2、阶常系数线性微分方程.即即当 是特征方程的 k 重根 时,可设特解4综上讨论综上讨论注：注：上述结论可推广到上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性阶常系数非齐次线性微分方程（微分方程（k是重根次数）是重根次数）.5例例1.的一个特解.解解:本题而特征方程为不是特征方程的根.设所求特解为代入方程:比较系数,得于是所求特解为6例例2.的通解.解解:本题特征方程为其根为对应齐次方程的通解为设非齐次方程特解为比较系数,得因此特解为代入方程得所求通解为7例例3.求解定解问题解解:本题特征方程为其根为设非齐次方程特解为代入方程得故故对应齐次方程通解为原方程通解为由初始条件得所求解为8解解例例4.则由牛顿第二
3、定律得则由牛顿第二定律得解得解得代入上式得代入上式得92、第二步第二步 求出如下两个方程的特解分析思路:第一步第一步 将 f(x)转化为第三步第三步 利用叠加原理求出原方程的特解第四步第四步 分析原方程特解的特点10第一步第一步利用欧拉公式将 f(x)变形11 第二步第二步 求如下两方程的特解 是特征方程的 k 重根(k =0,1),故等式两边取共轭:为方程 的特解.设则 有特解:12第三步第三步 求原方程的特解 利用第二步的结果,根据叠加原理,原方程有特解:原方程 均为 m 次多项式.13第四步第四步 分析因均为 m 次实多项式.本质上为实函数,14小小 结结:对非齐次方程则可设特解:其中
4、为特征方程的 k 重根(k =0,1),上述结论也可推广到高阶方程的情形.15例例5.的一个特解.解解:本题 特征方程故设特解为不是特征方程的根,代入方程得比较系数,得于是求得一个特解16例例6.的通解.解解:特征方程为其根为对应齐次方程的通解为比较系数,得因此特解为代入方程:所求通解为为特征方程的单根,因此设非齐次方程特解为17例例7.解解:(1)特征方程有二重根所以设非齐次方程特解为(2)特征方程有根利用叠加原理,可设非齐次方程特解为设下列高阶常系数线性非齐次方程的特解形式:18当重力与弹性力抵消时,物体处于 平衡状态,上节例上节例1.质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上,力作用下作往
5、复运动,解解:阻力的大小与运动速度下拉物体使它离开平衡位置后放开,若用手向物体在弹性力与阻取平衡时物体的位置为坐标原点,建立坐标系如图.设时刻 t 物位移为 x(t).(1)自由振动方程：成正比,方向相反.建立位移满足的微分方程.(2)强迫振动方程：19例例8.求物体的运动规律.解解:问题归结为求解无阻尼强迫振动方程 当p k 时,齐次通解:非齐次特解形式:因此原方程之解为上节例1 中若设物体只受弹性恢复力 f和铅直干扰力代入可得:20当干扰力的角频率 p 固有频率 k 时,自由振动强迫振动 当 p=k 时,非齐次特解形式:代入可得:方程的解为 21若要利用共振现象,应使 p 与 k 尽量靠近
6、,或使 随着 t 的增大,强迫振动的振幅这时产生共振现象.可无限增大,若要避免共振现象,应使 p 远离固有频率 k;p=k.自由振动强迫振动对机械来说,共振可能引起破坏作用,如桥梁被破坏,电机机座被破坏等,但对电磁振荡来说,共振可能起有利作用,如收音机的调频放大即是利用共振原理.22内容小结内容小结 为特征方程的 k(0,1,2)重根,则设特解为为特征方程的 k(0,1)重根,则设特解为3.上述结论也可推广到高阶方程的情形.23思考与练习思考与练习时可设特解为 时可设特解为 提示提示:1.(填空)设242.求微分方程的通解 (其中为实数).解解:特征方程特征根:对应齐次方程通解:时,代入原方程
7、得故原方程通解为时,代入原方程得故原方程通解为253.已知二阶常微分方程有特解求微分方程的通解.解解:将特解代入方程得恒等式比较系数得故原方程为对应齐次方程通解:原方程通解为26二、欧拉方程二、欧拉方程欧拉方程欧拉方程 常系数线性微分方程27欧拉方程的算子解法欧拉方程的算子解法:则计算繁!28则由上述计算可知:用归纳法可证 于是欧拉方程 转化为常系数线性方程:29例例1.解解:则原方程化为亦即其根则对应的齐次方程的通解为特征方程 30 的通解为换回原变量,得原方程通解为设特解:代入确定系数,得31例例2.解解:将方程化为(欧拉方程欧拉方程)则方程化为即特征根:设特解:代入 解得 A=1,所求通解为 32例例3.解解:由题设得定解问题则化为特征根:设特解:代入得 A1 33得通解为利用初始条件得故所求特解为34思考思考:如何解下述微分方程提示提示:原方程直接令 35