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1、10-5 高阶常系数线性微分方程高阶常系数线性微分方程1一阶方程一阶方程可降阶的高阶方程可降阶的高阶方程逐次积分求解逐次积分求解 关键关键:辨别方程类型辨别方程类型 ,掌握相应的求解步骤掌握相应的求解步骤复习复习21.二阶二阶齐次线性方程齐次线性方程的标准形式的标准形式2.二阶二阶非齐次线性方程非齐次线性方程的标准形式的标准形式通解为：通解为：通解为通解为：其中其中线性无关线性无关，即即常数，常数，即即二阶线性微分方程的标准形式及解的性质：二阶线性微分方程的标准形式及解的性质：3高阶常系数线性微分方程 第五节 第十章 二、高阶常系数非齐次线性微分方程二、高阶常系数非齐次线性微分方程 一、高阶常
2、系数非齐次线性微分方程一、高阶常系数非齐次线性微分方程 410-5 高阶常系数线性微分方程高阶常系数线性微分方程下面讨论下面讨论二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程的求解方法的求解方法.定义定义(p,q为常数为常数)51.二阶常系数二阶常系数齐次线性方程齐次线性方程的标准形式的标准形式2.二阶常系数二阶常系数非齐次线性方程非齐次线性方程的标准形式的标准形式(p,q为常数为常数)(p,q为常数为常数)通解为：通解为：通解为通解为：其中其中线性无关线性无关，即即常数，常数，即即一、一、二阶常系数线性微分方程的标准形式及解的性质：二阶常系数线性微分方程的标准形式及解的性质：6二、二阶
3、常系数齐次线性方程的解法二、二阶常系数齐次线性方程的解法将其代入上方程将其代入上方程,得得故有故有特征方程特征方程特征根特征根(p,q为常数为常数)则则是方程的解是方程的解.设设是方程的解是方程的解设设7两个两个线性无关的特解：线性无关的特解：得得齐次方程的通解齐次方程的通解为为 有两个不相等的实根有两个不相等的实根设设特征根特征根为为如：如：特征方程为特征方程为且且常数常数则则通解通解为为是方程的解是方程的解设设8 有两个相等的实根有两个相等的实根一一特解特解为为得得齐次方程的通解齐次方程的通解为为特征根特征根为为如如特征方程为特征方程为将将代入原方程并化简得代入原方程并化简得知知取取则则则
4、则通解通解为为设另一设另一特解特解为：为：是方程的解是方程的解设设9 有一对共轭复根有一对共轭复根重新组合重新组合得齐次方程的得齐次方程的通解通解为为设特征根为设特征根为如如特征方程为特征方程为则则通解通解为为10定义定义 由常系数齐次线性方程的由常系数齐次线性方程的特征方程的根特征方程的根确定其确定其总之总之通解的表达式通解的表达式特征根情况特征根情况实根实根实根实根复根复根通解通解的方法称为的方法称为特征方程法特征方程法.11解解特征方程为特征方程为解得解得故所求通解为故所求通解为解解特征方程为特征方程为解得解得故所求通解为故所求通解为例例1求求方程方程的的通解通解.例例2求方程求方程的通
5、解的通解.特征方程为特征方程为故所求通解为故所求通解为例例3 求求的的通解通解.解解12解得解得故所求特解为故所求特解为解解特征方程为特征方程为解得解得故所求通解为故所求通解为由由得：得：13例例5由通解式可知特征方程的根为由通解式可知特征方程的根为故特征方程为故特征方程为因此微分方程为因此微分方程为练习：练习：为某二阶常系数齐次方程的通解为某二阶常系数齐次方程的通解,则该方程则该方程 为为 解解:由通解式可知特征方程的根为由通解式可知特征方程的根为故特征方程为故特征方程为因此微分方程为因此微分方程为解解14特征方程特征方程:推广推广:特征方程的特征方程的根根微分方程微分方程通解中的对应项通解
6、中的对应项单实根单实根r给出一项给出一项:一对单虚数根一对单虚数根给出两项给出两项:k重实根重实根r给出给出k项项:一对一对k重重虚虚数根数根给出给出2k项项:15特征根为特征根为故所求通解为故所求通解为解解 特征方程为特征方程为注意：注意：n次次代数方程代数方程有有n个根个根,且每一项各一个任意常数且每一项各一个任意常数对应着通解中的一项对应着通解中的一项,而特征方程的每一个根都而特征方程的每一个根都例例6 求求方程方程的的通解通解.16四、小结四、小结二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤:（1）写出相应的特征方程）写出相应的特征方程;通解的表达式通解
7、的表达式特征根情况特征根情况实根实根实根实根复根复根（2）求出特征根）求出特征根;（3）根据特征根的不同情况）根据特征根的不同情况,得到相应的通解得到相应的通解.基本思路基本思路:求解常系数线性齐次微分方程求解常系数线性齐次微分方程 求特征方程求特征方程(代数方程代数方程)之根之根转化转化17思考与练习思考与练习答案答案:通解为通解为通解为通解为通解为通解为18思考题：思考题：为特解的为特解的 4 阶常系数线性齐次微分方程阶常系数线性齐次微分方程,并求其通解并求其通解.解解:根据给定的特解知特征方程有根根据给定的特解知特征方程有根:因此特征方程为因此特征方程为即即故所求方程为故所求方程为其通解为其通解为19