第三章（1）行列式.pdf

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1、CHAPTER 3 行列式与逆矩阵行列式与逆矩阵 3.1 方阵的行列式方阵的行列式 3.2 方阵的逆矩阵方阵的逆矩阵 3.3 矩阵的初等变换矩阵的初等变换3.1 方阵的行列式方阵的行列式一、一、 二阶、三阶矩阵的行列式二阶、三阶矩阵的行列式二阶矩阵的行列式的定义二阶矩阵的行列式的定义。的行列式定义为的行列式定义为那么那么设设2112221122211211,aaaaAaaaaA 。或者或者或者或者记作：记作：)det()det(ijaAA232211)2(737123 例如：例如：注意：注意：行列式是行列式是一个数字，而不是一个数字，而不是矩阵矩阵.333231232221131211aaaa

2、aaaaa332211aaa312312aaa322113aaa312213aaa332112aaa322311aaa3.1 方阵的方阵的行列式行列式一、二一、二阶、三阶矩阵的行列式阶、三阶矩阵的行列式）定义为：）定义为：（或者（或者的行列式的行列式则则，设设)det(33AAAaAij 例例3.1.1计算三阶行列式计算三阶行列式243122421 D三阶矩阵的行列式的定义三阶矩阵的行列式的定义排列及其逆序数排列及其逆序数将将1n这这n个自然数排成一列叫做一个个自然数排成一列叫做一个n元全元全排列排列.例如：例如：“2 4 3 5 1”是一个是一个5元排列。元排列。“4 5 3 1 2”也是一

3、个也是一个5元排列。元排列。事实上事实上n元排列共有元排列共有n!种种3.1 方阵的方阵的行列式行列式二、二、n阶矩阵的行列式阶矩阵的行列式假设假设nppp21是一个是一个n元排列，元排列，对于排列中对于排列中第第i个元素个元素ip来说，如果比它大并且排来说，如果比它大并且排在它之前的元素在它之前的元素有有it个，则称元素个，则称元素ip的逆序数为的逆序数为it排列排列中所有元素的逆序数之和中所有元素的逆序数之和叫做排列叫做排列的逆序的逆序数数.例如例如6元排列元排列635214 的逆序数为的逆序数为1124311061 iitt逆序数为奇（偶）数的排列叫做奇（偶）排列。逆序数为奇（偶）数的排

4、列叫做奇（偶）排列。3.1 方阵的方阵的行列式行列式二、二、n阶矩阵的行列式阶矩阵的行列式排列的逆序数的概念排列的逆序数的概念333231232221131211aaaaaaaaa332211aaa312312aaa 322113aaa 312213aaa 332112aaa 322311aaa =3阶阶行列式的展开式的特点行列式的展开式的特点311321)1(ppptaaa 每一项每一项求和因子求和因子都是不同行不同列的三个元素乘积都是不同行不同列的三个元素乘积；并且这并且这3个元素个元素行标呈自然排列行标呈自然排列，列标为列标为3元排列元排列；6种种3元排列恰好对应展开式中的元排列恰好对应

5、展开式中的6项。项。因此因此展开式的通项展开式的通项可以记做：可以记做： tppptaaaA311321)1()det(123tp p p其其中中 表表示示三三元元排排列列的的逆逆序序数数。定义定义3.1.1:（n阶矩阵的行列式阶矩阵的行列式）1212( 1)nDeftppnptDaaa 特别地，特别地，n=1时时1111Defaa 3.1 方阵的方阵的行列式行列式二、二、n阶矩阵的行列式阶矩阵的行列式()ijn nAa 给给定定矩矩阵阵111212122212det()det( )nnijnnnnaaaaaaorAoraorAaaanA叫叫做做 阶阶矩矩阵阵的的行行列列式式，记记作作例例3.

6、1.2：设设xxxxxD123032111112 分别写出分别写出D的展开式中含有的展开式中含有34,xx项前的系数。项前的系数。3.1 方阵的方阵的行列式行列式二、二、n阶矩阵的行列式阶矩阵的行列式432Dxx解：分析可知解：分析可知3.1 方阵的方阵的行列式行列式二、二、n阶矩阵的行列式阶矩阵的行列式几几个特殊的个特殊的n阶行列式阶行列式(1)若行若行列式中某行（列）元素全为列式中某行（列）元素全为0,则行列式则行列式值为值为0.(2)上（下）三角上（下）三角矩阵的行列式等于对角元的乘积矩阵的行列式等于对角元的乘积. .nnnnaaaaaa21222111000nnnnaaaaaa0002

7、2211211= niiinnaaaa122113.1 方阵的方阵的行列式行列式二、二、n阶矩阵的行列式阶矩阵的行列式几几个特殊的个特殊的n阶行列式阶行列式(3)对对角矩阵的行列式等于对角元的乘积角矩阵的行列式等于对角元的乘积. .12121nniin 3.1 方阵的方阵的行列式行列式三三、行列式的性质、行列式的性质TAA 性质性质1 1这条性质表明，行列中的性质里对这条性质表明，行列中的性质里对行成立的性质对列行成立的性质对列也成立。也成立。根据上面的性质立即根据上面的性质立即可得：若方阵可得：若方阵A中有两行（或者中有两行（或者两列）完全相同，则两列）完全相同，则det(A)=0.即行列式

8、转置即行列式转置, ,值不变值不变. .ij n nAa 以以下下假假设设性质性质2 2互换行列式中的两行（列互换行列式中的两行（列）,行列式行列式的值的值改变改变符号符号.性质性质2表明行列式可以按某一行（列）提取公因式表明行列式可以按某一行（列）提取公因式.3.1 方阵的方阵的行列式行列式三三、行列式的性质、行列式的性质性质性质3 3nnnniniinnnnniniinaaaaaaaaaaaaaaaaaa212111211212111211 推论推论3.1.1：若：若A中有两行（列）成中有两行（列）成比例比例,则则det(A)=0.,.nAAnA 其其中中是是方方阵阵的的阶阶数数推论推论3

9、.1.2：3.1 方阵的方阵的行列式行列式三三、行列式的性质、行列式的性质性质性质4 4行列式可按某一列（行）拆成两个行列式的和行列式可按某一列（行）拆成两个行列式的和.nnnjnnjnnnjnnjnnnjnjnnjjaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa 11111111111111113.1 方阵的方阵的行列式行列式三三、行列式的性质、行列式的性质性质性质5 5行列式某一行（列）加上另一行（列）行列式某一行（列）加上另一行（列）的倍数的倍数 ,行列式的值不变行列式的值不变nnnnjninjijinkrrnnnniniinaaakaakaakaaaaaaaaaaaaaaji21221111

10、211212111211 3.1 方阵的方阵的行列式行列式三三、行列式的性质、行列式的性质例例3.1.3：计算下列行列式的值计算下列行列式的值3351110243152113 D（1）xaaaxaaaxDn （2）（1）3112513420111533D 121312153402115133cc 2141513120846021101627rrrr 2313120211084601627rr 431081312021140008100002.5rr 3242481312021100810001015rrrr xaaaxaaaxDn （2）12(1)(1)(1)nrrrxnaxnaxnaaxaa

11、ax 111(1) axaxnaaax12,11100(1) 00irarinxaxnaxa 111(1) axaxnaaax1(1) ()nxna xa 3.1 方阵的方阵的行列式行列式三三、行列式的性质、行列式的性质例例3.1.4：证明下列等式：证明下列等式（1）yxzxzyzyxbabzaybyaxbxazbyaxbxazbzaybxazbzaybyax)(33 nnnnkkkknnnnknnkkkkkbbbbaaaabbccbbccaaaa111111111111111111110000 （2）3.1 方阵的方阵的行列式行列式三三、行列式的性质、行列式的性质Remark 1:例例3.1

12、.4中的第中的第(2)问可以推广到一般的分问可以推广到一般的分块下三角或者分块上三角矩阵的行列式：块下三角或者分块上三角矩阵的行列式：1112221*=*siisssAAAAAAAAAA (1,2, )iiAnis 其其中中是是 阶阶矩矩阵阵dcdcbabaDn 2例例3.1.5：计算：计算2n阶行列式阶行列式3.1 方阵的方阵的行列式行列式三三、行列式的性质、行列式的性质解：将解：将D的第的第2 2n行依次与第行依次与第2 2n- -1 1行、行、2 2n- -2 2行、行、第第2 2行互换（对换行互换（对换2 2n- -2 2次），得到：次），得到：000000002dcdcbabadcb

13、aDn 再将第再将第2 2n列依次与第列依次与第2 2n- -1 1列、列、2 2n- -2 2列、列、第、第2 2列互换列互换（对换（对换2 2n- -2 2次），得到：次），得到：dcdcbabadcbaDn00000000002 dcdcbabadcba 22)( nDbcad 422222)()(nnnDbcadDbcadDnnbcadDbcad)()(21 所以所以3.1 方阵的方阵的行列式行列式三三、行列式的性质、行列式的性质例例3.1.6 计算计算n阶行列式阶行列式1222nnnabbcaDca ,(2, )iiia b c in 其其中中是是非非零零常常数数3.1 方阵的方阵的

14、行列式行列式三三、行列式的性质、行列式的性质.AnBABA若若 是是 阶阶矩矩阵阵，并并且且是是经经过过初初等等变变换换后后得得到到的的矩矩阵阵，那那么么与与最最多多只只相相差差一一个个非非零零倍倍数数例例3.1.7 证明：证明：证明：因为互换两行（列）的初等变换只会改变行列证明：因为互换两行（列）的初等变换只会改变行列式的符号；某一行（列）加上另一行（列）的倍数不式的符号；某一行（列）加上另一行（列）的倍数不改变行列式的值；某一行（列）乘上一个非零常数改变行列式的值；某一行（列）乘上一个非零常数k，行列式的值扩大行列式的值扩大k倍。所以若倍。所以若B是是A经过初等变换得到经过初等变换得到的矩

15、阵，那么的矩阵，那么(0)BA = =行列式的乘法定理行列式的乘法定理3.1.1,kkA BnABBAABAAkN若若是是两两个个 阶阶矩矩阵阵，那那么么，定定理理特特别别地地3.1 方阵的方阵的行列式行列式三三、行列式的性质、行列式的性质,( 1)( 1)( 1)nnnAOEBAOOABABOA BEBEBBEABAB 证证明明：构构造造分分块块下下三三角角矩矩阵阵可可以以证证明明= =3.1 方阵的方阵的行列式行列式三三、行列式的性质、行列式的性质例例3.1.8 ?,2, 332112321 BBAA则则而而满足满足设三阶矩阵设三阶矩阵按列分块按列分块 123122112321123121

16、23123222226cccccBA 方法方法1： 211231230212101001B 02110126001BAA因为因为所以所以方法方法2：行列式展开定理（行列式展开定理（Laplace）代数余子式的概念代数余子式的概念)det(ijnaD 设设ija，删除，删除所在的第所在的第i行和第行和第j列元素，列元素，得到的一个得到的一个n- -1 1阶行列式，称为阶行列式，称为ija的余子式，的余子式，ijM记做记做的代数余子式。的代数余子式。称为称为而而 ijjiijMA 1ija3.1 方阵的方阵的行列式行列式三三、行列式的性质、行列式的性质, 6983221 M6)6()1(1221

17、A显然，在行列式中，元素显然，在行列式中，元素ija的余子式以及代数余子式的余子式以及代数余子式与第与第i行元素的值无关，与第行元素的值无关，与第j列元素的值也无关。列元素的值也无关。987654321421 a例如：在行列式例如：在行列式中，元素中，元素余子式余子式代数余子式代数余子式3.1 方阵的方阵的行列式行列式三三、行列式的性质、行列式的性质定理定理3.1.2：行列式展开定理（行列式展开定理（Laplace）njnjjjjjininiiiinnnnnnAaAaAaAaAaAaaaaaaaaaaD 22112211212222111211or nji, 2 , 1, 3.1 方阵的方阵的

18、行列式行列式三三、行列式的性质、行列式的性质例例3.1.9 计算行列式计算行列式注：在计算数字型行列式时，通常先利用行列式性质将行列注：在计算数字型行列式时，通常先利用行列式性质将行列式化简，使得行列式的某一行或者某一列有尽可能多的式化简，使得行列式的某一行或者某一列有尽可能多的0，然后再按该行或该列展开，实现行列式的降阶计算。然后再按该行或该列展开，实现行列式的降阶计算。3351110243152113 D14312cccc 03550100131111115 3r 0551111115 12cc 00511211145 1121453 r40 3.1 方阵的方阵的行列式行列式三三、行列式的

19、性质、行列式的性质例例3.1.10：Vandermonde行列式行列式112112222121111 nnnnnnnxxxxxxxxxV nijjixx1)(3.1 方阵的方阵的行列式行列式三三、行列式的性质、行列式的性质例例3.1.11： 计算四阶行列式计算四阶行列式3.1 方阵的方阵的行列式行列式三三、行列式的性质、行列式的性质22223333abcdabcdDabcdbcdacdabdabc Hints: 第四行加上第一行，再通过行的对换，将其转第四行加上第一行，再通过行的对换，将其转化为范德蒙德行列式。化为范德蒙德行列式。例例3.1.12 计算下列行列式的值计算下列行列式的值(#)3.

20、1 方阵的方阵的行列式行列式三三、行列式的性质、行列式的性质21121(1)12112nD 1111(2)11nnnxaaaxDxx 例例3.1.133351110243152113 D设设44434241423222122423222123)3(2)2(32)1(AAAAMMMMAAAA 计算计算3.1 方阵的方阵的行列式行列式三三、行列式的性质、行列式的性质3351110243152113 D3112231120111533D 【分析分析】对比上面的两个行列式，仅仅第二行元素不同，对比上面的两个行列式，仅仅第二行元素不同，因此这两个行列式第二行元素的余子式、代数余子式完因此这两个行列式第二

21、行元素的余子式、代数余子式完全相同全相同.根据行列式展开定理，有：根据行列式展开定理，有：2122232423AAAA31122311520111533 21222324(1)23AAAA12223242(2)2MMMM12223242AAAA 3351110243152113 D3112513421111133D 122232422MMMM12223242AAAA 311251341421111133 41424344(3)32AAAA3351110243152113 D3112513420113112D 4142434432AAAA31125134020113112 定理定理3.1.3：行

22、列式展开定理的推论行列式展开定理的推论 jijiaAaAaAajijiaAaAaAaijnjnijijiijjninjiji0)det(or0)det(221122113.1 方阵的方阵的行列式行列式三三、行列式的性质、行列式的性质 ,212222111211 nnnnnnaaaaaaaaaA nnnnnnAAAAAAAAAA212221212111*设设称矩阵称矩阵为方阵为方阵A的伴随矩阵。的伴随矩阵。EAAAAAAnn *:的代数余子式。的代数余子式。中元素中元素为为其中其中ijijaAA)(det伴随矩阵的一个重要性质：伴随矩阵的一个重要性质：方阵的伴随矩阵方阵的伴随矩阵3.1 方阵的方

23、阵的行列式行列式三三、行列式的性质、行列式的性质考虑考虑n阶线性方程组阶线性方程组 nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111Ax=b3.1 方阵的方阵的行列式行列式四四、行列式与线性方程组、行列式与线性方程组克拉默法则克拉默法则定理定理3.1.4：（Crammer rule）若若D=det(A) )不等于不等于0 0，则方程组，则方程组Ax=b有唯一解。有唯一解。DDxDDxDDxnn ,2211其中其中Dj(j=1,2,n)是把系数行列式是把系数行列式D中第中第j列的元素列的元素换成方程组的常数项换成方程组的常数项b1,b2,bn

24、所构成的所构成的n阶行列式。阶行列式。定理定理3.1.5：（Crammer法则的推论）法则的推论）n阶齐线性方程组阶齐线性方程组Ax=0有非零解的充要条件是有非零解的充要条件是det(A)=0. .3.1 方阵的方阵的行列式行列式四四、行列式与线性方程组、行列式与线性方程组克拉默法则克拉默法则例例3.1.14 0)1(0)1(01321321321xxxxxxxxx 取何值时，下面的方程组有非零解？取何值时，下面的方程组有非零解？此时，方程组的全部解是什么？此时，方程组的全部解是什么？3.1 方阵的方阵的行列式行列式四四、行列式与线性方程组、行列式与线性方程组克拉默法则克拉默法则方阵的行列式小

25、结方阵的行列式小结方阵的行列式是由方阵内的元素按照特定规则方阵的行列式是由方阵内的元素按照特定规则（行列式定义）计算出来的一个数字。（行列式定义）计算出来的一个数字。利用行列式的性质和展开定理化简行列式的计利用行列式的性质和展开定理化简行列式的计算是本节的一个主要内容，此外对于具有特殊结构算是本节的一个主要内容，此外对于具有特殊结构的行列式，如上（下）三角行列式、分块上（下）的行列式，如上（下）三角行列式、分块上（下）三角行列式、爪形行列式、行和（列和）相等的行三角行列式、爪形行列式、行和（列和）相等的行列式、对角行列式、分块对角行列式、三对角行列列式、对角行列式、分块对角行列式、三对角行列式、范德蒙德行列式等等要掌握它们的结论和特殊式、范德蒙德行列式等等要掌握它们的结论和特殊处理方法。行列式的乘法定理、方阵的伴随矩阵的处理方法。行列式的乘法定理、方阵的伴随矩阵的概念与性质对后面的学习都起着基础性作用，要概念与性质对后面的学习都起着基础性作用，要熟熟练练掌握。掌握。最后，利用系数行列式来判定非齐次线性方程最后，利用系数行列式来判定非齐次线性方程组解的唯一性以及齐次线性方程组是否有非零解，组解的唯一性以及齐次线性方程组是否有非零解，是是行列式的一个重要应用。行列式的一个重要应用。第四周作业第四周作业P48 习题习题3.2 Ex1，Ex2，Ex3