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1、ABDEFMN如图如图,AB=AD,BC=DC,AB=AD,BC=DC,求证求证:B=D.:B=D.ACBD连接连接ACAC构造全等三角形构造全等三角形连线连线 构造全等构造全等连线连线 构造全等构造全等如图如图,AB,AB与与CDCD交于交于O, O, 且且AB=CDAB=CD，AD=BCAD=BC，OB=5cmOB=5cm，求，求ODOD的长的长. .连接连接BDBD构造全等三角形构造全等三角形ACBDO如何利用三角形的中线来构造全等三角形？如何利用三角形的中线来构造全等三角形？ 可以利用可以利用倍长中线法倍长中线法，即把中线，即把中线延长一倍，来构造全等三角形。延长一倍，来构造全等三角形
2、。 如图，若如图，若AD为为ABC的中线，的中线， 必有结论必有结论：ABCDE12 延长延长AD到到E，使，使DE=AD，连结连结BE（也可连结也可连结CE）。）。ABD ECD，1=E，B=2，EC=AB，CEAB。已知，如图已知，如图ADAD是是ABCABC的中线，的中线，ABCDE)(21ACABAD求证：延长延长ADAD到点到点E E，使，使DE=ADDE=AD，连结连结CE.CE.思考：若思考：若AB=3,AC=5AB=3,AC=5求求ADAD的取值范围？的取值范围？倍长中线m = 42.35m = 42.23已知在已知在ABC中，中，C=2B, 1=2求证求证:AB=AC+CDA
3、DBCE12在在AB上取点上取点E使得使得AE=AC，连接，连接DE截长截长F在在AC的延长线上取点的延长线上取点F使得使得CF=CD，连接，连接DF补短补短A1BCD234如图所示，已知如图所示，已知ADBC，1=2，3=4，直线，直线DC经过点经过点E交交AD于点于点D，交交BC于点于点C。求证：。求证：AD+BC=ABEF在在AB上取点上取点F使得使得AF=AD,连接连接EF截长补短证明证明：例例1 1已知：如图，在四边形已知：如图，在四边形ABCDABCD中，中，BDBD是是ABCABC的的角平分线，角平分线，AD=CDAD=CD，求证：求证：A+C=180A+C=180DABCE在在
4、BC上上截取截取BE，使，使BE=AB，连结连结DE。 BD是是ABC的角平分线（已知）的角平分线（已知）1=2（角平分线定义）角平分线定义）在在ABD和和EBD中中 AB=EB（已知）已知） 1=2（已证）（已证） BD=BD（公共边）公共边）ABD EBD（S.A.S）1243 3+ 4180（平角定义），（平角定义），A3（已证）已证）A+ C180 （等量代换）等量代换）3 32 21 1* * A3（全等三角形的对应角相等）全等三角形的对应角相等） AD=CD（已知），已知），AD=DE（已证）已证）DE=DC（等量代换）等量代换）4=C（等边对等角）等边对等角）AD=DE（全等三角
5、形的对应边相等）全等三角形的对应边相等）证明证明: :例例1 1已知：如图，在四边形已知：如图，在四边形ABCDABCD中，中，BDBD是是ABCABC的的角平分线，角平分线，AD=CDAD=CD，求证：求证：A+C=180A+C=180DABCF延长延长BA到到F，使，使BF=BC，连结连结DF。 BD是是ABC的角平分线（已知）的角平分线（已知）1=2（角平分线定义）角平分线定义）在在BFD和和BCD中中 BF=BC（已知）已知） 1=2（已证）（已证） BD=BD（公共边）公共边）BFD BCD（S.A.S）1243 FC（已证）已证）4=C（等量代换）等量代换）3 32 21 1* *
6、 FC（全等三角形的对应角相等）全等三角形的对应角相等） AD=CD（已知），已知），DF=DC（已证）已证）DF=AD（等量代换）等量代换）4=F（等边对等角）等边对等角） 3+ 4180 （平角定义）（平角定义）A+ C180 （等量代换）等量代换）DF=DC（全等三角形的对应边相等）全等三角形的对应边相等）练习练习1 1如图，已知如图，已知ABCABC中，中，ADAD是是BACBAC的角平分线，的角平分线，AB=AC+CDAB=AC+CD，求证：求证：C=2BC=2BABCDE122 21 1证明证明: :在在AB上截取上截取AE，使，使AE=AC，连结连结DE。 AD是是BAC的角平分
7、线（已知）的角平分线（已知）1=2（角平分线定义）角平分线定义）在在AED和和ACD中中 AE=AC（已知）已知） 1=2（已证）（已证） AD=AD（公共边）公共边）AED ACD（S.A.S）3B=4（等边对等角）等边对等角）4* * C3（全等三角形的对应角相等全等三角形的对应角相等)又又 AB=AC+CD=AE+EB（已知）已知）EB=DC=ED（等量代换）等量代换） 3= B+4= 2B（三角形的一个外角等于三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和）和它不相邻的两个内角和）C=2B（等量代换）等量代换）ED=CD（全等三角形的对应边相等）全等三角形的对应边相等）练习练习1 1如图，
8、已知如图，已知ABCABC中，中，ADAD是是BACBAC的角平分线，的角平分线，AB=AC+CDAB=AC+CD，求证：求证：C=2BC=2BABCDF12证明证明: :延长延长AC到到F，使，使CF=CD，连结连结DF。 AD是是BAC的角平分线（已知）的角平分线（已知）1=2（角平分线定义）角平分线定义） AB=AC+CD，CF=CD（已知）已知） AB=AC+CF=AF（等量代换）等量代换） ACB= 2F（三角形三角形的一个外角等于和它不相的一个外角等于和它不相邻的两个内角和）邻的两个内角和）ACB=2B（等量代换）等量代换）32 21 1* *在在ABD和和AFD中中 AB=AF（
9、已证）已证） 1=2（已证）（已证） AD=AD（公共边）公共边）ABD AFD（S.A.S） FB（全等三角形的对应角相等）全等三角形的对应角相等） CF=CD（已知）已知）B=3（等边对等角）等边对等角）如图，已知直线如图，已知直线MNPQMNPQ，且，且AEAE平分平分BANBAN、BEBE平分平分QBAQBA，DCDC是过是过E E的任意线段，交的任意线段，交MNMN于点于点D D，交，交PQPQ于于点点C C。求证：求证：AD+AB=BCAD+AB=BC。证明证明: :延长延长AEAE，交，交直线直线PQPQ于点于点F F。* *3 30 0* * *22222121ABCDEMNP
10、Q1234F51. 1.如图如图, ,ABCABC中中,C=90,C=90o o,AC=BC,AD,AC=BC,AD平分平分ACB,ACB, DEAB. DEAB.若若AB=6cm,AB=6cm,则则DBEDBE的周长是多少的周长是多少? ?.“.“周长问题周长问题”的转化的转化 借助借助“角平分线性质角平分线性质”BACDEBE+BD+DEBE+BD+CDBE+BCBE+ACBE+AEAB2. 2.如图如图, ,ABCABC中中, D, D在在ABAB的垂直平分线上的垂直平分线上, ,E E在在ACAC的垂直平分线上的垂直平分线上. .若若BC=6cm,BC=6cm,求求ADEADE的周长的
11、周长. .“.“周长问题周长问题”的转化的转化 借助借助“垂直平分线性质垂直平分线性质”BACDEAD+AE+DEBD+CE+DEBC5. 5.如图如图, , ABCABC中，中，BPBP、CPCP是是ABCABC的角平分线，的角平分线，MN/BC.MN/BC.若若BC=6cm, BC=6cm, AMNAMN周长为周长为13cm13cm，求，求ABCABC的周长的周长. .“.“周长问题周长问题”的转化的转化 借助借助“等腰三角形性质等腰三角形性质”BACPAB+AC+BCAM+ BM+AN+NC+6NAM+ MP+AN+NP+613+6MAM+AN+MN+6 ABC中中,ABAC ，A的平分
12、线与的平分线与BC的垂直平分线的垂直平分线DM相交于相交于D，过，过D作作DE AB于于E，作，作DFAC于于F。 求证：求证：BE=CFABCDEFM连接连接DB,DC垂直平分线上点向两端连线段垂直平分线上点向两端连线段 如图，已知三角形如图，已知三角形ABC中中,BC边上的垂直边上的垂直平分线平分线DE与角与角BAC的平分线交于点的平分线交于点E，EF垂直垂直AB交交AB的延长线于点的延长线于点F，EG垂直垂直AC交交AC于点于点G。求证：。求证：(1)BF=CG (2)判定判定AB+AC与与AF的关系的关系如图如图, ,ABCABC中中, C =90, C =90o o,BC=10,BD
13、=6,BC=10,BD=6, AD AD平分平分BAC,BAC,求点求点D D到到ABAB的距离的距离. .过点过点D D作作DEABDEAB于点于点E EACDBE角平分线上的点向角两边做垂线段角平分线上的点向角两边做垂线段证明证明: :例例1 1已知：如图，在四边形已知：如图，在四边形ABCDABCD中，中，BDBD是是ABCABC的的角平分线，角平分线，AD=CDAD=CD，求证：求证：A+C=180A+C=180DABCM作作DMBC于于M，DNBA交交BA的延长线于的延长线于N。 BD是是ABC的角平分线（已知）的角平分线（已知）1=2（角平分线定义）角平分线定义） DNBA，DMB
14、C（已知）已知）N=DMB=90（垂直的定义）垂直的定义）在在NBD和和MBD中中 N=DMB （已证）已证） 1=2（已证）（已证） BD=BD（公共边）公共边）NBD MBD（A.A.S）12 4=C（全等三角形的对应角相等）全等三角形的对应角相等） N433 32 21 1* * ND=MD（全等三角形的对应边相等）全等三角形的对应边相等） DNBA，DMBC（已知）已知）NAD和和MCD是是Rt在在RtNAD和和RtMCD中中 ND=MD （已证）已证） AD=CD（已知）已知）RtNAD RtMCD（H.L） 3+ 4180（平角定义），（平角定义）， A3（已证）已证）A+ C18
15、0（等量代换）等量代换）PD=PE.PD=PE.如图如图,OC ,OC 平分平分AOB,AOB,角平分线上点向两边作垂线段过点过点P P作作PFOA,PG OBPFOA,PG OB垂足为点垂足为点F, F,点点G GFGACDBEPODOE +DPE =180DOE +DPE =180DOE +DPE =180DOE +DPE =180求证求证: :线段与角求相等，先找全等试试看。线段与角求相等，先找全等试试看。图中有角平分线，可向两边作垂线。图中有角平分线，可向两边作垂线。 线段垂直平分线，常向两端把线连。线段垂直平分线，常向两端把线连。 线段计算和与差，巧用截长补短法。线段计算和与差，巧用截长补短法。三角形里有中线，延长中线三角形里有中线，延长中线=中线。中线。想作图形辅助线，切莫忘记要双添。想作图形辅助线，切莫忘记要双添。