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1、如何利用三角形的中线来构造全等三角形？如何利用三角形的中线来构造全等三角形？复习：复习：可可以以利利用用倍倍长长中中线线法法，即即把把中中线线延长一倍，来构造全等三角形。延长一倍，来构造全等三角形。如图，若如图，若AD为为ABC的中线，的中线，必有结论必有结论：ABCDE12 延长延长AD到到E，使，使DE=AD，连结连结BE（也可连结也可连结CE）。）。ABDECD，1=E，B=2，EC=AB，CEAB。可以利用角平分线所在直可以利用角平分线所在直线作对称轴，翻折三角形来线作对称轴，翻折三角形来构造全等三角形。构造全等三角形。如何利用三角形的角平分线来构如何利用三角形的角平分线来构造全等三角
2、形？造全等三角形？问题：问题：如图，在如图，在ABC中，中，AD平分平分BAC。方法一：方法一：ABCDE必有结论：必有结论：在在AB上上截截取取AE=AC，连结连结DE。ADEADC。ED=CD，3 3*2 21 1AED=C，ADE=ADC。方法二方法二：ABCDF延延 长长 AC到到 F，使使AF=AB，连结连结DF。必有结论：必有结论：ABDAFD。BD=FD，如何利用三角形的角平分线来构如何利用三角形的角平分线来构造全等三角形？造全等三角形？问题：问题：3 3*2 21 1 如图，在如图，在ABC中，中，AD平分平分BAC。可以利用角平分线所在直可以利用角平分线所在直线作对称轴，翻折
3、三角形来线作对称轴，翻折三角形来构造全等三角形。构造全等三角形。B=F，ADB=ADF。如何利用三角形的角平分线来构如何利用三角形的角平分线来构造全等三角形？造全等三角形？问题：问题：ABCDMN方法三方法三：过过点点D作作DMAB于于M，DNAC于于N。必有结论：必有结论：AMDAND。DM=DN，3 3*2 21 1 如图，在如图，在ABC中，中，AD平分平分BAC。可以利用角平分线所在直可以利用角平分线所在直线作对称轴，翻折三角形来线作对称轴，翻折三角形来构造全等三角形。构造全等三角形。AM=AN，ADM=AND。（还可以用（还可以用“角平分线上的点到角的两角平分线上的点到角的两边距离相
4、等边距离相等”来证来证DM=DN）证明证明：例例1 1已知：如图，在四边形已知：如图，在四边形ABCDABCD中，中，BDBD是是ABCABC的的角平分线，角平分线，AD=CDAD=CD，求证：求证：A+C=180A+C=180DABCE（方法一）（方法一）在在BC上上截取截取BE，使，使BE=AB，连结连结DE。BD是是ABC的角平分线的角平分线，1=2.在在ABD和和EBD中中 AB=EB,1=2,BD=BD,ABDEBD（SAS）1243 3+4180，A+C180 3 32 21 1*A3,AD=DE AD=CD DE=DC4=C（等边对等角）等边对等角）证明证明:例例1 1已知：如图
5、，在四边形已知：如图，在四边形ABCDABCD中，中，BDBD是是ABCABC的的角平分线，角平分线，AD=CDAD=CD，求证：求证：A+C=180A+C=180DABCF（方法二）（方法二）延长延长BA到到F，使，使BF=BC，连结连结DF。BD是是ABC的角平分线的角平分线1=2在在BFD和和BCD中中 BF=BC 1=2 BD=BDBFDBCD（S.A.S）1243 FC，4=C。3 32 21 1*FC，DF=DC AD=CD，DF=AD4=F（等边对等角）等边对等角）DAB+4180，DAB+C180。证明证明:例例1 1已知：如图，在四边形已知：如图，在四边形ABCDABCD中，
6、中，BDBD是是ABCABC的的角平分线，角平分线，AD=CDAD=CD，求证：求证：A+C=180A+C=180DABCM（方方法法三三）过过点点D作作DMBC于于M，DNBA交交BA的的延长线于延长线于N。BD是是ABC的角平分线的角平分线，1=2。DNBA，DMBC，N=DMB=90。在在NBD和和MBD中中 N=DMB,1=2,BD=BD,12N433 32 21 1*NBDMBD（AAS）ND=MD例例1 1已知：如图，在四边形已知：如图，在四边形ABCDABCD中，中，BDBD是是ABCABC的的角平分线，角平分线，AD=CDAD=CD，求证：求证：A+C=180A+C=180DA
7、BCM12N433 32 21 1*DNBA，DMBC，N=DMC=90。在在RtNAD和和RtMCD中中 ND=MD,AD=CD,RtNAD RtMCD（HL）4=C，DAB+4180，DAB+C180。证明证明:例例1 1已知：如图，在四边形已知：如图，在四边形ABCDABCD中，中，BDBD是是ABCABC的的角平分线，角平分线，AD=CDAD=CD，求证：求证：A+C=180A+C=180DABCM(方方法法四四）过过点点D作作DMBC于于M，DNBA交交BA的延长线于的延长线于N。12N433 32 21 1*BD是是ABC的角平分线的角平分线，DNBA，DMBC，ND=MD。4=C
8、 DNBA，DMBC，AND和和CMD=90在在RtNAD和和RtMCD中中 ND=MD，AD=CD，RtNAD RtMCD（HL）DAB+4180,DAB+C180.练习练习1 1如图，已知如图，已知ABCABC中，中，ADAD是是BACBAC的角平分线，的角平分线，AB=AC+CDAB=AC+CD，求证：求证：C=2BC=2BABCDE122 21 1证明证明:在在AB上截取上截取AE，使，使AE=AC，连结连结DE。AD是是BAC的角平分线的角平分线，1=2。在在AED和和ACD中中 AE=AC，1=2，AD=AD，AEDACD（S.A.S）3B=4（等边对等角）等边对等角）4*C3，E
9、D=CD AB=AC+CD=AE+EB，EB=DC=ED。3=B+4=2B，C=2B。练习练习1 1如图，已知如图，已知ABCABC中，中，ADAD是是BACBAC的角平分线，的角平分线，AB=AC+CDAB=AC+CD，求证：求证：C=2BC=2BABCDF12证明证明:延长延长AC到到F，使，使CF=CD，连结连结DF。AD是是BAC的角平分线的角平分线，1=2。AB=AC+CD，CF=CD，AB=AC+CF=AF。ACB=F+3=2F，ACB=2B。32 21 1*在在ABD和和AFD中中 AB=AF，1=2 ，AD=AD，ABDAFD（SAS）。FB，CF=CD，B=3（等边对等角）等
10、边对等角）练习练习2 2如图，已知直线如图，已知直线MNPQMNPQ，且，且AEAE平分平分BANBAN、BEBE平分平分QBAQBA，DCDC是过是过E E的任意线段，交的任意线段，交MNMN于点于点D D，交，交PQPQ于点于点C C。求证：求证：AD+AB=BCAD+AB=BC。证明证明:延长延长AEAE，交，交直线直线PQPQ于点于点F F。*3 30 0*2 21 1ABCDEMNPQ1234F5练习练习2 2如图，已知直线如图，已知直线MNPQMNPQ，且，且AEAE平分平分BANBAN、BEBE平分平分QBAQBA，DCDC是过是过E E的任意线段，交的任意线段，交MNMN于点于
11、点D D，交，交PQPQ于点于点C C。求证：求证：AD+AB=BCAD+AB=BC。证明证明:延长延长BABA到点到点G G，使得使得AG=ADAG=AD，连结连结EGEG。*3 30 0*22222121ABCDEMNPQ1234G练习练习2 2如图，已知直线如图，已知直线MNPQMNPQ，且，且AEAE平分平分BANBAN、BEBE平分平分QBAQBA，DCDC是过是过E E的任意线段，交的任意线段，交MNMN于点于点D D，交，交PQPQ于点于点C C。求证：求证：AD+AB=BCAD+AB=BC。证明证明:延长延长BABA到点到点G G，使得使得AG=ADAG=AD，连结连结EGEG
12、。*3 30 0*22222121ABCDEMNPQ1234G练习练习3 3 已知：如图在已知：如图在RtRtABCABC中，中，BAC=90BAC=90，AEBCAEBC，BDBD是是ABCABC的角平分线，的角平分线，GFBC GFBC，求证：求证：AD=FCAD=FC。ABCDEH12证明证明:过过D D作作DHBCDHBC，垂足为垂足为H H。GF*3 30 0*如何利用三角形的角平分线来构造全等三角形如何利用三角形的角平分线来构造全等三角形？小结：小结：（3）作作 DMAB于于 M，DNAC于于N。（1）在在AB上上截截取取AE=AC，连结连结DE。（2）延延长长AC到到F，使使AF
13、=AB，连结连结DF。ABCDEFMN必有结论：必有结论：ADEADC。必有结论：必有结论：ABDAFD。必有结论：必有结论：AMDAND。可以利用角平分线所在直线作对称轴，可以利用角平分线所在直线作对称轴，翻折三角形来构造全等三角形。翻折三角形来构造全等三角形。如如图图，在在ABC中中，AD为为BAC的角平分线。的角平分线。*3 30 0*如何利用三角形的高来构造全等三角形？如何利用三角形的高来构造全等三角形？如如图图，在在ABC中中，ADBC，ABC=2C。求证：求证：AB+BD=CD提示：提示：（1 1）延长）延长DBDB到点到点E E，使使BE=ABBE=AB，连结连结AEAE。（2 2）在）在DCDC上上截取点截取点E E，使，使DE=BDDE=BD，连结连结AEAE。ABCD*0 0*