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1、第第5 5章章 特殊平行四边形特殊平行四边形 5.1 5.1 矩形（第矩形（第2 2课时）课时）矩形的判定矩形的判定例例1 1 如图，已知如图，已知 ABCD ABCD的四个内角平分线相交的四个内角平分线相交于点于点E E，F F，G G，H H，求证：四边形，求证：四边形EFGHEFGH是矩形是矩形. .分析：要证四边形分析：要证四边形EFGHEFGH为矩形，而四边形为矩形，而四边形EFGHEFGH的的四个内角的构造方式相同，只要能证明其中一个四个内角的构造方式相同，只要能证明其中一个是直角，就可以同理证得其余各角也为直角是直角，就可以同理证得其余各角也为直角. .证明：证明：四边形四边形A
2、BCDABCD是平行四边形，是平行四边形，ADADBCBC，DAB+DAB+CBA=180CBA=180，AGAG，BGBG分别平分分别平分DABDAB，ABCABC，GAB+GAB+GBA=90GBA=90，G=90G=90，同理，同理GHE=90GHE=90，E=90E=90，四边形四边形EFGHEFGH为矩形为矩形. . 注意点：矩形判定有多种方法，要结合具注意点：矩形判定有多种方法，要结合具体条件选择最简单的证明，比如本题若用定义体条件选择最简单的证明，比如本题若用定义来证，要证两步，不如直接用判定定理更简单来证，要证两步，不如直接用判定定理更简单. . 变式：已知：如图，变式：已知：
3、如图，D D是是ABCABC的边的边ABAB上一点，上一点，CNCNABAB，DNDN交交ACAC于点于点M M，MA=MC.MA=MC.（1 1）求证：）求证：CD=ANCD=AN；（2 2）若）若AMD=2AMD=2MCDMCD，求证：四边形，求证：四边形ADCNADCN是矩形是矩形. .答案：证明：（答案：证明：（1 1）CNCNABAB，DAC=DAC=NCA. NCA. 在在AMDAMD和和CMNCMN中，中，DAC=DAC=NCANCA，MA=MCMA=MC，AMD=AMD=CMNCMN（对顶角相等），（对顶角相等），AMDAMDCMNCMN（ASAASA）. . AD=CNAD=
4、CN，又，又ADADCNCN，四边形四边形ADCNADCN是平行四边形，是平行四边形，CD=ANCD=AN；（2 2）AMD=2AMD=2MCDMCD，AMD=AMD=MCD+MCD+MDCMDC，MCD=MCD=MDC. MDC. MD=MC. MD=MC. 四边形四边形ADCNADCN是平行四边形是平行四边形. . AC=2MCAC=2MC，DN=2MD. DN=2MD. AC=DNAC=DN，四边形四边形ADCNADCN是矩形是矩形. .矩形的动点问题矩形的动点问题例例2 2 如图，如图，ABCABC中，点中，点O O是是ACAC边上的一个动点，边上的一个动点，过点过点O O作直线作直线
5、MNMNBCBC，设，设MNMN交交BCABCA的角平分线的角平分线于点于点E E，交，交BCABCA的外角平分线于点的外角平分线于点F.F.（1 1）求证：）求证：EO=FOEO=FO；（2 2）当点）当点O O运动到何处时，四边形运动到何处时，四边形AECFAECF是矩形？是矩形？并证明你的结论并证明你的结论. .分析：（分析：（1 1）可证它们都与）可证它们都与OCOC相等；（相等；（2 2）由于易）由于易证证ECF=90ECF=90，故要使四边形，故要使四边形AECFAECF是矩形，只需是矩形，只需证它是平行四边形即可，而证它是平行四边形即可，而EO=FOEO=FO，故只需，故只需AO
6、=OCAO=OC即可即可. .证明：（证明：（1 1）CECE平分平分BCABCA，ACE=ACE=BCE. BCE. 又又MNMNBCBC，BCE=BCE=OECOEC，ACE=ACE=OECOEC，EO=CO. EO=CO. 同理，同理，FO=CO. FO=CO. EO=FOEO=FO；（2 2）当点）当点O O运动到运动到ACAC的中点时，四边形的中点时，四边形AECFAECF是矩形是矩形. . 证明：证明：EO=FOEO=FO，点，点O O是是ACAC的中点，的中点，四边形四边形AECFAECF是平行四边形是平行四边形. . 又又ACE=ACE=BCEBCE，ACF=ACF=GCF.
7、GCF. ACE+ACE+ACF=ACF= 180180=90=90，即，即ECF=90ECF=90. . 四边形四边形AECFAECF是矩形是矩形. .21注意点：点在运动的过程中，注意点：点在运动的过程中，OCEOCE，OCFOCF始终始终是等腰三角形，是等腰三角形，CEFCEF始终是直角三角形，始终是直角三角形，CO=EO=FOCO=EO=FO始终成立，这些变化过程中不变的结论始终成立，这些变化过程中不变的结论是解题的关键是解题的关键. . 矩形判定的应用矩形判定的应用 例例3 3 木工师傅接受了制作一个窗框的任务，木工师傅接受了制作一个窗框的任务，要求必须是矩形，他制好后，要小明帮助检
8、验一要求必须是矩形，他制好后，要小明帮助检验一下是否是矩形，若你是小明，你能找出至少两种下是否是矩形，若你是小明，你能找出至少两种容易操作且容易测量准确的检验方法吗？请写出容易操作且容易测量准确的检验方法吗？请写出你的检验方法你的检验方法. . 解：方法一：量其中三个角看是不是直角；解：方法一：量其中三个角看是不是直角； 方法二：量两组对边，看是否分别相等，并方法二：量两组对边，看是否分别相等，并且有一个角是否是直角；且有一个角是否是直角； 方法三：量两组对边，看是否分别相等，再方法三：量两组对边，看是否分别相等，再量两条角线是否相等量两条角线是否相等. . 分析：要检验一个四边形是否是矩形，
9、就是分析：要检验一个四边形是否是矩形，就是按矩形的判定方法进行判定按矩形的判定方法进行判定. .注意点：实际问题要建模为数学问题，再来解决注意点：实际问题要建模为数学问题，再来解决数学问题数学问题. .例例1 1 如图，顺次连结四边形如图，顺次连结四边形ABCDABCD各边中点得到各边中点得到四边形四边形EFGH. EFGH. 要使四边形要使四边形EFGHEFGH为矩形，应添加的为矩形，应添加的条件是（条件是（ ）A. ABA. ABDCDCB. AB=DCB. AB=DCC. ACC. ACBDBDD. AC=BDD. AC=BD正答：正答：C C错答：错答：D D 错因：由于审题不严，以为
10、对角线相等的四错因：由于审题不严，以为对角线相等的四边形是矩形，从而选边形是矩形，从而选D D，导致错解，导致错解. . 事实上，要事实上，要判断的是四边形判断的是四边形EFGHEFGH，而不是四边形，而不是四边形ABCD. ABCD. 此此外，对角线相等的四边形也不一定就是矩形外，对角线相等的四边形也不一定就是矩形. . 连结连结BDBD，由中位线的知识可知，顺次连结四边，由中位线的知识可知，顺次连结四边形形ABCDABCD各边中点得到的四边形各边中点得到的四边形EFGHEFGH一定是平行一定是平行四边形四边形. . 要使它为矩形，则只要有一个角为直要使它为矩形，则只要有一个角为直角即可角即
11、可. . 由平行线的性质，只要原来的对角线由平行线的性质，只要原来的对角线互相垂直即可互相垂直即可. .例例2 2 如图，如图，M M、N N分别是分别是 ABCD ABCD的边的边ADAD，BCBC的的中点，且中点，且AD=2ABAD=2AB，BMBM与与ANAN交于点交于点P P，CMCM与与DNDN交交于点于点Q. Q. 求证：求证：PMQNPMQN为矩形为矩形. .错答：连结错答：连结MN.MN.在在ABMABM与与CDNCDN中，中，AM=AM= AD=AD= BC=CNBC=CN，MAB=MAB=NCDNCD，AB=CDAB=CD，ABMABMCDN. CDN. AMB=AMB=C
12、ND. CND. 又又ADADBCBC，AMN=AMN=CNM. CNM. PMN=PMN=QNM. PMQNM. PMQN. QN. 同理，同理，PNPNMQ.MQ.四边形四边形PMQNPMQN为平行四边形为平行四边形. . 又又M M是边是边ADAD的中点，的中点，PMQ=90PMQ=90. . 四边形四边形PMQNPMQN是矩形是矩形. .2121正答：连结正答：连结MN.MN.在在ABMABM与与CDNCDN中，中，AM=AM= AD=AD= BC=CNBC=CN，MAB=MAB=NCDNCD，AB=CDAB=CD，ABMABMCDN. CDN. AMB=AMB=CND. CND. 又
13、又ADADBCBC，AMN=AMN=CNM. CNM. PMN=PMN=QNM. QNM. PMPMQN. QN. 同理，同理，PNPNMQ.MQ. 四边形四边形PMQNPMQN为平行四边形为平行四边形. . 又又AM=BNAM=BN且且AMAMBNBN，四边形四边形ABNMABNM为平行四边形为平行四边形. . PM=PBPM=PB，又，又AD=2AMAD=2AM，AD=2ABAD=2AB，AM=AB.AM=AB.MPN=90MPN=90. .四边形四边形PMQNPMQN是矩形是矩形. .2121错因：上述错解在证明平行四边形的一个角是错因：上述错解在证明平行四边形的一个角是直角时没有充分的依据直角时没有充分的依据. . 矩形是特殊的平行四矩形是特殊的平行四边形，即有一个角是直角的平行四边形，因而边形，即有一个角是直角的平行四边形，因而它具有平行四边形的所有性质它具有平行四边形的所有性质. . 矩形有它自己矩形有它自己独特的而一般平行四边形没有的性质：四个角独特的而一般平行四边形没有的性质：四个角都是直角，对角线相等都是直角，对角线相等. . 在学习过程中要避免在学习过程中要避免将矩形的特殊性质运用到平行四边形上将矩形的特殊性质运用到平行四边形上. .