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1、第第5 5章章 特殊平行四边形特殊平行四边形 5.1 5.1 矩形（第矩形（第1 1课时）课时） 矩形的性质矩形的性质 例例1 1 如图，已知矩形如图，已知矩形ABCDABCD中，对角线中，对角线ACAC，BDBD相相交于点交于点O O，E E，F F是对角线是对角线BDBD上的两点，且上的两点，且BF=DE.BF=DE.（1 1）按边分类，）按边分类，AOBAOB是是 三角形；三角形；（2 2）猜想线段）猜想线段AEAE，CFCF的大小关系，的大小关系， 并证明你的猜想并证明你的猜想. .分析：（分析：（1 1）由矩形的性质可得）由矩形的性质可得OA=OB=OC=ODOA=OB=OC=OD；
2、（2 2）若猜想）若猜想AE=CFAE=CF，则可以证明这两条线段所在，则可以证明这两条线段所在的两个三角形全等，即的两个三角形全等，即ADEADECBFCBF，也可以证，也可以证明明AEAE，CFCF所在的四边形所在的四边形AECFAECF是平行四边形是平行四边形. .解：（解：（1 1）等腰）等腰 （2 2）AE=CFAE=CF证明：如图，连结证明：如图，连结AFAF，CE.CE. 由四边形由四边形ABCDABCD是矩形，得是矩形，得OA=OCOA=OC，OB=OD. OB=OD. DE=BFDE=BF，OE=OF. OE=OF. 四边形四边形AECFAECF是平行四边形，是平行四边形，A
3、E=CF.AE=CF. 注意点：证明两条线段相等的方法有很多，注意点：证明两条线段相等的方法有很多，通常的思路是：（通常的思路是：（1 1）当两条线段位于一个三角）当两条线段位于一个三角形中时，可以借助于形中时，可以借助于“等角对等边等角对等边”来证明；来证明；（2 2）两条线段不在一个三角形中时，可以借助）两条线段不在一个三角形中时，可以借助于两三角形全等来证明；（于两三角形全等来证明；（3 3）当两条线段是一）当两条线段是一个四边形的两条对边时，可以借助于证明这个四个四边形的两条对边时，可以借助于证明这个四边形是平行四边形来证明等边形是平行四边形来证明等. . 变式：如图，在矩形变式：如图
4、，在矩形ABCDABCD中，中，ACAC，BDBD相交于相交于O O，AEAE平分平分BADBAD，交，交BCBC于于E E，若若CAE=15CAE=15，求，求BOEBOE的度数的度数. .答案：答案：四边形四边形ABCDABCD是矩形，是矩形，ABC=ABC=BAD=90BAD=90，AC=BDAC=BD，AO=CO=AO=CO= ACAC，BO=DO=BO=DO= BD. BD. AO=BO. AO=BO. AEAE平分平分BADBAD，BAE=BAE= BAD=45BAD=45. . 又又CAE=15CAE=15，BAO=BAO=BAE+BAE+CAE=60CAE=60. . AOBA
5、OB是等边三角形，是等边三角形，OB=ABOB=AB，ABO=60ABO=60. . OBE=OBE=ABC-ABC-ABO=90ABO=90-60-60=30=30. . 212121BEA=90BEA=90- -BAE=45BAE=45= =BAEBAE，AB=BE. AB=BE. OB=BE. OB=BE. BOE=BOE= = = =75=75. .2OBE180 203180与矩形有关的折叠问题与矩形有关的折叠问题例例2 2 如图，把矩形纸片如图，把矩形纸片ABCDABCD沿沿EFEF折叠，使点折叠，使点B B落落在边在边ADAD上的点上的点B B处，点处，点A A落在点落在点A A
6、处处. .（1 1）求证：）求证：B BE=BFE=BF；（2 2）设）设AE=aAE=a，AB=bAB=b，BF=cBF=c，试猜想，试猜想 a a，b b，c c之间的一种关系，之间的一种关系， 并给予说明并给予说明. .分析：（分析：（1 1）可由）可由B BFE=FE=BFE=BFE=B BEFEF，得得B BE=BE=BF=BFF=BF；（2 2）由于）由于B BE=BF=cE=BF=c，A AB B=AB=b=AB=b，A AE=AE=aE=AE=a，故由勾股定理可求得故由勾股定理可求得a a，b b，c c之间的关系之间的关系. .证明：（证明：（1 1）四边形四边形ABCDAB
7、CD是矩形，是矩形，ADADBCBC，BFE=BFE=B BEF. EF. 由题意可得由题意可得B BFE=FE=BFEBFE，B BF=BFF=BF，B BFE=FE=B BEFEF，B BE=BE=BF=BF.F=BF.（2 2）a a2 2+b+b2 2=c=c2 2. . 理由：理由：A A= =A=90A=90，B BE E2 2=A=AB B2 2+A+AE E2 2. . 由（由（1 1）可知）可知B BE=BF=cE=BF=c，由已知可知由已知可知A AB B=AB=b=AB=b，A AE=AE=aE=AE=a，a a2 2+b+b2 2=c=c2 2. .注意点：图中折叠矩形
8、，则注意点：图中折叠矩形，则B BFEFE是一个等腰三是一个等腰三角形，这一结论在解决折叠问题时有很重要的作用角形，这一结论在解决折叠问题时有很重要的作用. . 矩形的综合问题矩形的综合问题例例3 3 如图，在矩形如图，在矩形ABCDABCD中，中，E E、F F分别是边分别是边ABAB、CDCD上的点，上的点，AE=CFAE=CF，连结，连结EFEF、BFBF，EFEF与对角线与对角线ACAC交于点交于点O O，且，且BE=BFBE=BF，BEF=2BEF=2BACBAC（1 1）求证：）求证：OE=OFOE=OF；（2 2）若）若BC=2 BC=2 ，求，求ABAB的长的长3分析：（分析：
9、（1 1）根据矩形的对边平行可得）根据矩形的对边平行可得ABABCDCD，再根据两直线平行，内错角相等求出再根据两直线平行，内错角相等求出BAC=BAC=FCOFCO，然后利用，然后利用“角角边角角边”证明证明AOEAOE和和COFCOF全等，再根据全等三角形即可得证；全等，再根据全等三角形即可得证；（2 2）连结）连结OBOB，根据等腰三角形三线合一的性质，根据等腰三角形三线合一的性质可得可得BOBOEFEF，再根据矩形的性质可得，再根据矩形的性质可得OA=OBOA=OB，根，根据等边对等角的性质可得据等边对等角的性质可得BAC=BAC=ABOABO，再根据，再根据三角形的内角和定理列式求出
10、三角形的内角和定理列式求出ABO=30ABO=30，即，即BAC=30BAC=30，根据直角三角形，根据直角三角形3030角所对的直角所对的直角边等于斜边的一半求出角边等于斜边的一半求出ACAC，再利用勾股定理，再利用勾股定理列式计算即可求出列式计算即可求出ABAB证明：（证明：（1 1）在矩形）在矩形ABCDABCD中，中，ABABCD CD BAC=BAC=FCOFCO，在在AOEAOE和和COFCOF中，中，AOEAOECOFCOF（AASAAS），），OE=OFOE=OF；（2 2）如图，连结）如图，连结OBOB，BE=BFBE=BF，OE=OFOE=OF，BOBOEFEF，在在RtR
11、tBEOBEO中，中，BEF+BEF+ABO=90ABO=90，由直角三角形，由直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半可知：斜边上的中线等于斜边上的一半可知：OA=OB=OCOA=OB=OC，BAC=BAC=ABOABO，又，又BEF=2BEF=2BACBAC，即即2 2BAC+BAC+BAC=90BAC=90，解得解得BAC=30BAC=30，BC=2BC=2 ，AC=2BC=4AC=2BC=4 ，AB=AB= =6. =6.AEAECFCF，BACBACFCOFCO，AOEAOECOFCOF，3322223234 BCAC注意点：本题要结合基本图形，运用了矩形的性注意点：本题要结合基本图形
12、，运用了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，直角三角形合一的性质，直角三角形3030角所对的直角边等角所对的直角边等于斜边的一半；作辅助线并求出于斜边的一半；作辅助线并求出BAC=30BAC=30是解是解题的关键题的关键例例1 1 如图，把一张矩形纸片如图，把一张矩形纸片ABCDABCD沿沿EFEF折叠后，折叠后，点点C C，D D分别落在分别落在C C，D D的位置上，的位置上，ECEC交交ADAD于于点点G. G. 已知已知EFG=58EFG=58，那么，那么BEG=BEG= . .错答：由于错答：由于ADADBCBC，所
13、以，所以CEF=CEF=EFG=58EFG=58. . 再根据折叠，得再根据折叠，得BEG=BEG=GEF=GEF= =61=61. .正答：正答：BEG=180BEG=180-2-25858=64=64. .2CEF180 错因：矩形的折叠问题是中考的常见题型，要注意错因：矩形的折叠问题是中考的常见题型，要注意折叠后的图形与原图的折叠部分关于折叠线成轴对折叠后的图形与原图的折叠部分关于折叠线成轴对称称. . 此解法折叠对应的两个角此解法折叠对应的两个角CEF=CEF=FEGFEG找错了，找错了，造成错误，由于矩形纸片造成错误，由于矩形纸片ABCDABCD沿沿EFEF折叠，所以折叠，所以CEF
14、=CEF=FEG. FEG. 而而ADADBCBC，所以，所以CEF=CEF=EFG=58EFG=58，所以所以BEG=180BEG=180-2-25858=64=64. . 故填故填6464. .例例2 2 在矩形在矩形ABCDABCD中，已知中，已知AB=aAB=a，对角线，对角线ACAC与与BDBD相交所成的锐角为相交所成的锐角为6060. . 试求矩形对角线的长试求矩形对角线的长. .错答：如图错答：如图1 1，在矩形，在矩形ABCDABCD中，中，AOB=60AOB=60，根，根据矩形的对角线相等且互相平分，得到据矩形的对角线相等且互相平分，得到OB=OC. OB=OC. ACB=3
15、0ACB=30，AC=2AB=2a.AC=2AB=2a.正答：（正答：（1 1）当）当ABAB边是矩形中较短边时，如错解，边是矩形中较短边时，如错解，求得对角线求得对角线ACAC的长为的长为2a. 2a. （2 2）当）当ABAB边是矩形中较长边时，如图边是矩形中较长边时，如图2 2，在矩形，在矩形ABCDABCD中，中，AOD=60AOD=60. . 根据矩形的对角线相等且根据矩形的对角线相等且互相平分，得到互相平分，得到OA=OB=OD=AD. OA=OB=OD=AD. 故故ADAD为为BDBD的的一半一半. . 设设AD=xAD=x，则有，则有x x2 2+a+a2 2= =( (2x2x) )2 2. . 解得解得x=x= a a，BD=2AD=BD=2AD= a. a. 矩形对角线的长为矩形对角线的长为2a2a或或 a.a.错因：由于题设中没有指明错因：由于题设中没有指明ABAB边是较短边，还是边是较短边，还是较长边，故需按所有可能情况分类讨论较长边，故需按所有可能情况分类讨论. .33332332