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1、专题一：求数列的通项公式专题一：求数列的通项公式宜良二中李仁贵【学习目标学习目标】 1.掌握求通项公式的方法。2.掌握利用简单的递推式求通项公式的方法。合作探究合作探究【合作、探究合作、探究 、展示、展示】求数列通项公式，是数列的一个重要内容，你能归纳求数列通项公式的常见的方法吗？求数列通项公式，常见的方法有：na题型一、根据数列的前几项，求数列的通项公式 , 例1 写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数。111(1)1,234 （2）2， 0， 2， 0（3）1，3，5，7 ；381524(4)2345， ，；1111(5).261220， ，-观察法 12341111(1)
2、( 1),( 1),( 1),( 1)1234；1( 1).nnan 2345(2)( 1)1,( 1)1,( 1)1,( 1)1,+1( 1)1nna (3)2 1 1,2 2 1,2 3 1,2 4 1, 21.nan.1112nnan222221 31 41 51(4),2345；1111(5).1 22 33 44 5，1.(1)nan nn) 1(题型二、特殊数列法dmnaadnaaamnnn)(,) 1(1或是等差数列，则若数列mnmnnnnqaaqaaa或是等比数列，则若数列,11nnnnnnnnaaaaaaaaaa求通项中，）在数列（求通项中，）在数列（例,3, 22, 5,
3、21. 21111, 51nnaa, 51nnaa2, 51adan是等差数列，数列355) 1(2) 1(1nndnaan,31nnaa, 31nnaa2, 31aqan是等比数列，数列132nnananS题型三、已知数列的前n项的和数列的前n项的和，求数列公式或涉及到nSna的通项公式-)2( ,) 1( ,11nssnsannn利用。求其通项，项之和的前已知数列例nnnaSna 332)2(23) 1 (2nnnSnnS)2() 1() 1 (11nSSnSannn由解：)2()1(2) 1(3)23() 1(122nnnnnnan得).1(56nnan56 n)2() 32() 32(
4、) 1(32)2(11nnannn)2(22) 1(51nnnn)2(2) 1(51nnann11a中，nannaS32na求通项例4： （1）在数列)2(2 ,1nSSannn（2）在数列，中，nana求通项) 1 (解：nnaS32，)2( ,3211naSnnnnnnnnaaaaSS33)32(32111nnnaaa331134nnaa431nnaa是等比数列，数列na1132aS1132aa211a1)43(21nna)2()2(21nSSannn，)2()(211nSSSSnnnn)2()(211nSSSSnnnn)2(21111nSSnn是等差数列，数列S1n，)21)(1(S1S
5、11nn，2321n，3-2Snn，4-2S1 -nn，4-23-2a1nnnSSnn例5 已知数列an中，Sn是它的前n项和，并且Sn+1= 4an+2，a1=1，是等比数列；，求证数列设）（211nnnnbaab2411nnaS）（证明2412nnaSnnnnnaaaSS441212)2( 22112nnnnaaaa即nnnaab21nnbb21.2的等比数列是公比为数列nb.22是等差数列，求证：数列设）（nnnnCaC .22是等差数列，求证：数列设）（nnnnCaC nnnac2证明：nnnnnnaacc221111122nnnaa12nnb431nncc12411212aaaaS，
6、又，52 a，32121aab.231nnb.43的等差数列是公差为数列nc)(1nfaann题型四：由递推关系，na求通项-累加法（迭代法） )(1nfaann由递推关系，na求通项-累积法（迭代法）.,) 1(1, 31. 611nnnnannaaaa求通项公式中，）在数列（例.,2, 12111nnnnnaaaaa求通项公式中，）在数列（解解（1）,) 1(11nnaann1111nnaann,4131,3121,211342312aaaaaannaann1111nnaaaaaaaann111,41313121211)()()()(1342312naan111nan14累加法113423
7、12)()()()(aaaaaaaaaannn实际上另解：另解：,) 1(11nnaann1111nnaannnnaann1111nnnnan11111212nnnnnnan111112121313nnnnnna1111121213131212111迭代法na111n14迭代法（2），112nnnaa，112nnnaa113342231222,2, 2nnnaaaaaaaa13213423122222nnnaaaaaaaa)14321(12nnaa2)1(2nn2)1(2nnna累积法11342312aaaaaaaaaannn实际上另解：另解：112nnnaa22122nnna3321222n
8、nnna13212222annn2222321nnn)14321(2n2)1(2nn迭代法2)1(2nnna题型五、根据递推数列的特点，构造成特殊数列 -构造法BAaann11、若已知数列满足：)(1xaAxann构造或消去常数法 或迭代法例例7.已知数列已知数列an,.132111nnnaaaa，求，求， 解：解：，1321 nnaa1321 nnaa1)32()32(22 na,11 a1)132(322 na1)32()132()32(32 na1)32()32()32(233 na = 1)32()32()32()32(3211 nnna1)32()32()32()32(321 nnn
9、.)32(1 3n （迭代法）（迭代法）解解2：，1321 nnaa1321 nnaa, )2( n由由得：得：)(3211 nnnnaaaa, )2( n.321的等比数列的等比数列为公比为为公比为nnaa 1121)32()( nnnaaaa1)32(32 n,)32(n 112312aaaaaaaannn .)32(1 3n 132)32()32()32(321 n（消去常数法）1)32()32()32(32132 n例例7.已知数列已知数列an,.132111nnnaaaa，求，求， 解解3： 由已知可设：由已知可设：)(321xaxann 则则xaann31321 又又1321 nn
10、aa.3 x)3(3231 nnaa32331 nnaa即即.3为等比数列为等比数列 na11)32()3(3 nnaa1)32()31( n（构造法）（构造法）.)32(1 3nna )(1nfpaann2、由递推关系。求其通项na1118.1,24 3,.nnnnnaaaaa 例 在数列中，求通项公式解：解：,34211nnnaa),3(2311xaxannnn设,3211xaannn, 4x可转化为：11342nnnaa),34(23411nnnnaa,341是等比数列数列nna1111252434nnnnaa）（112534nnna（构造法）（构造法）另解：另解：,94332311nn
11、nnaa,34211nnnaa,3nnnab 令,94321nnbb),(321xbxbnn设,31321xbbnn,9431x,34x转化为：94321nnbb),34(32341nnbb,34是等比数列数列nb11)32(3434nnbb）（34)32(34311nnb）（34)32(3531nnna112534nnna（构造法）（构造法）0) 1(2nbbnnn0) 1(nbnn.1nan .0)1(11221，求求它它的的通通项项公公式式的的正正项项数数列列，且且的的首首项项为为设设 nnnnnaanaana解：解：的正项数列，且的正项数列，且的首项为的首项为 1na，0)1(1221
12、 nnnnaanaan例例9.1122332211aaaaaaaaaaaannnnnnn ，即即11 nnaann1213223121 nnnnnnan，n1 （累积法）（累积法），01) 1(11nnnnaanaannnnaab1令0) 1() 1(nnbnbn1nnbn3、若已知递推数列有相邻两项积的形式，通常除以这个积。0) 1(2nbbnnn0) 1(nbnn.0)1(11221，求求它它的的通通项项公公式式的的正正项项数数列列，且且的的首首项项为为设设 nnnnnaanaana解法解法2：的正项数列，且的正项数列，且的首项为的首项为 1na，0)1(1221 nnnnaanaan例例
13、9.，即即11 nnaann，01) 1(11nnnnaanaannnnaab1令0) 1() 1(nnbnbn1nnbn，nnanna1111 nnanna12123121annnnnn 2121 nannnn323121 nannnnnn .1nan （迭代法）（迭代法）0) 1(2nbbnnn0) 1(nbnn.0)1(11221，求求它它的的通通项项公公式式的的正正项项数数列列，且且的的首首项项为为设设 nnnnnaanaana解法解法3：的正项数列，且的正项数列，且的首项为的首项为 1na，0)1(1221 nnnnaanaan例例9.，即即11 nnaann，01) 1(11nnn
14、naanaannnnaab1令0) 1() 1(nnbnbn1nnbn，nnanna11，1)1(1 nnnaan，111)1( nnana，为等比数列为等比数列即即nna，其中其中11 a.1nan （构造法）（构造法）4nnCaAaB、若已知递推数列有的形式，通常是取倒数后来解。例例10.在数列在数列an中，中，a1=1, Sn是数列是数列an前前n项和且项和且),1(431 nSSSnnn求数列求数列an的通项公式的通项公式.解：解：，)1(431 nSSSnnn由由得得nnnSSS4311 ，413 nS设设，)1(311xSxSnn ，xSSnn21311 则则比较比较与与得：得：，
15、2 x，)21(3211 nnSS.321的等比数列的等比数列是公比为是公比为 nS113)21(21 nnSS，n3 .231 nnS（构造法）（构造法）当当n2时，时，1 nnnSSa2312311 nn当当n1时，时，.11 a ).2(231231)1(11nnannn（构造法）（构造法）另解：另解：，)1(431 nSSSnnn由由得得nnnSSS4311 ，413 nS)2(413s11nnSn，)2(1313s1s11n1nnSSnn，)11(3s1s11n1nnnSS是等比数列s1s1n1n112n1n3)s1s1(s1s1n.11a，7143112SSSnn3236s1s11
16、n1n11 -nn32s1s1n2232-n1 -n1 -nnns1)s1s1()s1s1()s1s1(s17323232322321nnn731)31 (3222n23 n.231 nnS当当n2时，时，1 nnnSSa2312311 nn当当n1时，时，.11 a ).2(231231)1(11nnannn（消去常数法）累加法)2( n解解3：，)1(431 nSSSnnn由由nnnSSS4311 ，413 nS413s1,21nnSn时441332）（nS4431322nS443413332）（nS4434313233nS4434343431324322nnnS313147322nn2232273nn23 n.231 nnS)2( n（迭代法）（迭代法）当当n2时，时，1 nnnSSa2312311 nn当当n1时，时，.11 a ).2(231231)1(11nnannn（迭代法）（迭代法）121211.,1,2,321,.nnnnnaaanaaaa例已知数列其中且当时，求通项公式解：解：, 1221nnnaaa, 1)()(211nnnnaaaa1nnnaab令11nnbb是等差数列数列nb1) 1(1nbbnnbnnaann111232211)()()()(aaaaaaaaaannnnnnn112)2() 1(nnn12) 1(nn12) 1(nnan