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1、高一数学必修二（圆与方程）知识点整理高一数学必修二（圆与方程）知识点整理一、标准方程()()222xaybr-+-=1.求标准方程的方法关键是求出圆心(),ab和半径r待定系数：往往已知圆上三点坐标，例如教材119P例2利用平面几何性质往往涉及到直线与圆的位置关系，十分是：相切和相交相切：利用到圆心与切点的连线垂直直线相交：利用到点到直线的距离公式及垂径定理2.特殊位置的圆的标准方程设法无需记，关键能理解条件方程形式圆心在原点()2220xyrr+=过原点()()()2222220xaybabab-+-=+圆心在x轴上()()2220xayrr-+=圆心在y轴上()()2220xybrr+-=
2、圆心在x轴上且过原点()()2220xayaa-+=圆心在y轴上且过原点()()2220xybbb+-=与x轴相切()()()2220xaybbb-+-=与y轴相切()()()2220xaybaa-+-=与两坐标轴都相切()()()2220xaybaab-+-=二、一般方程()2222040xyDxEyFDEF+=+-1.220AxByCxyDxEyF+=表示圆方程则222200004040ABABCCDEAFDEFAAA?=?=?=?+-?+-?2.求圆的一般方程一般可采用待定系数法：如教材122P例r43.2240DEF+-常可用来求有关参数的范围三、点与圆的位置关系1.判定方法：点到圆心
3、的距离d与半径r的大小关系dr?点在圆外2.涉及最值：1圆外一点B，圆上一动点P，讨论PB的最值minPBBNBCr=-maxPBBMBCr=+2圆内一点A，圆上一动点P，讨论PA的最值minPAANrAC=-maxPAAMrAC=+考虑：过此A点作最短的弦？此弦垂直AC四、直线与圆的位置关系1.判定方法d为圆心到直线的距离1相离?没有公共点?0dr?2相切?只要一个公共点?0dr?=?=3相交?有两个公共点?0dr?切线条数点在圆外两条；点在圆上一条；点在圆内无求切线方程的方法及注意点i点在圆外如定点()00,Pxy，圆：()()222xaybr-+-=，()()22200xaybr-+-第
4、一步：设切线l方程()00yykxx-=-第二步：通过dr=k?，进而得到切线方程十分注意：以上解题步骤仅对k存在有效，当k不存在时，应补上千万不要漏了！如：过点()1,1P作圆2246120xyxy+-+=的切线，求切线方程.答案：3410xy-+=和1x=ii点在圆上1若点()00xy，在圆222xyr+=上，则切线方程为200xxyyr+=会在选择题及填空题中运用，但一定要看清题目.2若点()00xy，在圆()()222xaybr-+-=上，则切线方程为()()()()200xaxaybybr-+-=碰到一般方程则可先将一般方程标准化，然后运用上述结果.由上述分析，我们知道：过一定点求某
5、圆的切线方程，非常重要的第一步就是判定点与圆的位置关系，得出切线的条数.求切线长：利用基本图形，222APCPrAP=-?=求切点坐标：利用两个关系列出两个方程1ACAPACrkk?=?=-?3.直线与圆相交1求弦长及弦长的应用问题垂径定理及勾股定理常用弦长公式：12lx=-=2判定直线与圆相交的一种特殊方法一种偶合：直线过定点，而定点恰好在圆内.3关于点的个数问题例：若圆()()22235xyr-+=上有且仅有两个点到直线4320xy-=的距离为1，则半径r的取值范围是_.答案：()4,64.直线与圆相离会对直线与圆相离作出判定十分是涉及一些参数时五、对称问题1.若圆()222120xymx
6、mym+-+-=，关于直线10xy-+=，则实数m的值为_.答案：3注意：1m=-时，2240DEF+-七、圆的参数方程()222cos0sinxrxyrryr=?+=?=?，为参数()()()222cos0sinxarxaybrrybr=+?-+-=?=+?，为参数八、相关应用1.若直线240mxny+-=m，nR，始终平分圆224240xyxy+-=的周长，则mn?的取值范围是_.2.已知圆C：222440xyxy+-+-=，问：能否存在斜率为1的直线l，使l被圆C截得的弦为AB，以AB为直径的圆经过原点，若存在，写出直线l的方程，若不存在，讲明理由.提示：12120xxyy+=或弦长公式
7、12dx=-.答案：10xy-+=或40xy-=3.已知圆C：()()22341xy-+-=，点()0,1A，()0,1B，设P点是圆C上的动点，22dPAPB=+，求d的最值及对应的P点坐标.4.已知圆C：()()221225xy-+-=，直线l：()()211740mxmym+-=mR1证实：不管m取什么值，直线l与圆C均有两个交点；2求其中弦长最短的直线方程.5.若直线yxk=-+与曲线x=k的取值范围.6.已知圆2260xyxym+-+=与直线230xy+-=交于P，Q两点，O为坐标原点，问：能否存在实数m，使OPOQ，若存在，求出m的值；若不存在，讲明理由.九、圆与圆的位置关系1.判
8、定方法：几何法d为圆心距112drr+?外离212drr=+?外切31212rrdrr-+?相交412drr=-?内切512drr-?内含2.两圆公共弦所在直线方程圆1C：221110xyDxEyF+=，圆2C：222220xyDxEyF+=，则()()()1212120DDxEEyFF-+-+-=为两相交圆公共弦方程.补充讲明：若1C与2C相切，则表示其中一条公切线方程；若1C与2C相离，则表示连心线的中垂线方程.3圆系问题1过两圆1C：221110xyDxEyF+=和2C：222220xyDxEyF+=交点的圆系方程为()22221112220xyDxEyFxyDxEyF+=1-讲明：1上
9、述圆系不包括2C；2当1=-时，表示过两圆交点的直线方程公共弦2过直线0AxByC+=与圆220xyDxEyF+=交点的圆系方程为()220xyDxEyFAxByC+=3有关圆系的简单应用4两圆公切线的条数问题相内切时，有一条公切线；相外切时，有三条公切线；相交时，有两条公切线；相离时，有四条公切线十、轨迹方程1定义法圆的定义：略2直接法：通过已知条件直接得出某种等量关系，利用这种等量关系，建立起动点坐标的关系式轨迹方程.例：过圆221xy+=外一点()2,0A作圆的割线，求割线被圆截得的弦的中点的轨迹方程.分析：222OPAPOA+=3相关点法平移转换法：一点随另一点的变动而变动动点主动点特
10、点为：主动点一定在某一已知的方程所表示的固定轨迹上运动.例1.如图，已知定点()2,0A，点Q是圆221xy+=上的动点，AOQ的平分线交AQ于M，当Q点在圆上移动时，求动点M的轨迹方程.分析：角平分线定理和定比分点公式.例2.已知圆O：229xy+=，点()3,0A，B、C是圆O上的两个动点，A、B、C呈逆时针方向排列，且3BAC=，求ABC?的重心G的轨迹方程.法1：3BAC=Q，BC为定长且等于33设(),Gxy，则33333ABCBCABCBCxxxxxxyyyyyy+?=?+?=?取BC的中点为33,24Ex?-?，333,42Ey?-?222OECEOC+=Q，2294EExy+=
11、LL12222BCEBCEBCEBCExxxxxxyyyyyy+?=?+=?+=+?=?，3233322323EEEExxxxyyyy+-?=?=?故由1得：()2222333933110,122422xyxyxy?-?+=?-+=-?法2：参数法设()3cos,3sinB，由223BOCBAC=，则223cos,3sin33C?+?设(),Gxy，则()()233cos3cos231coscos133323sin3sin23sinsin2333ABCABCxxxxyyyy?+?+?=+?+?+?=+?LLL4,33?，由()()()22112-+得：()2233110,122xyxy?-+=-?参数法的本质是将动点坐标(),xy中的x和y都用第三个变量即参数表示，通过消参得到动点轨迹方程，通过参数的范围得出x，y的范围.4求轨迹方程常用到得知识重心(),Gxy，33ABCABCxxxxyyyy+?=?+?=?中点(),Pxy，121222xxxyyy+?=?+?=?内角平分线定理：BDABCDAC=定比分点公式：AMMB=，则1ABMxxx+=+，1ABMyyy+=+韦达定理.