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1、圆与方程知识点整理圆与方程知识点整理一、标准方程一、标准方程x a2y b2 r21.求标准方程的方法关键是求出圆心a,b和半径r待定系数：往往已知圆上三点坐标，例如教材P119例 2利用平面几何性质往往涉及到直线与圆的位置关系，特别是：相切和相交相切：利用到圆心与切点的连线垂直直线相交：利用到点到直线的距离公式及垂径定理二、一般方程二、一般方程x2 y2 Dx Ey F 0D2 E24F 01.Ax By Cxy Dx Ey F 0表示圆方程则22A B 0A B 0C 0C 0D2 E24AF 022 D E 4F 0AAA2.求圆的一般方程一般可采用待定系数法：3.D E 4F 0常可用
2、来求有关参数的范围三、圆系方程：三、圆系方程：四、参数方程：四、参数方程：五、点与圆的位置关系五、点与圆的位置关系1.判断方法：点到圆心的距离d与半径r的大小关系d r 点在圆内；d r 点在圆上；d r 点在圆外2.涉及最值：（1）圆外一点B，圆上一动点P，讨论PB的最值22PBmin BN BC r PBmax BM BC r（2）圆内一点A，圆上一动点P，讨论PA的最值PAmin AN r ACPAmax AM r AC思考：过此A点作最短的弦？（此弦垂直AC）六、直线与圆的位置关系六、直线与圆的位置关系1.判断方法（d为圆心到直线的距离）（1）相离没有公共点 0 d r（2）相切只有一
3、个公共点 0 d r（3）相交有两个公共点 0 d r这一知识点可以出如此题型：告诉你直线与圆相交让你求有关参数的范围.2.直线与圆相切（1）知识要点基本图形主要元素：切点坐标、切线方程、切线长等问题：直线l与圆C相切意味着什么？圆心C到直线l的距离恰好等于半径恰好等于半径r（2）常见题型求过定点的切线方程切线条数点在圆外两条；点在圆上一条；点在圆内无求切线方程的方法及注意点i）点在圆外如定点Px0,y0，圆：xayb r，x0ay0b r222222第一步：设切线l方程y y0 kxx0第二步：通过d r k，从而得到切线方程特别注意：特别注意：以上解题步骤仅对k存在有效，当k不存在时，应补
4、上千万不要漏了！如：过点P1,1作圆x y 4x6y 12 0的切线，求切线方程.22答案：3x4y 1 0和x 1ii）点在圆上1）若点x0，y0在圆x2 y2 r2上，则切线方程为x0 x y0y r2会在选择题及填空题中运用，但一定要看清题目会在选择题及填空题中运用，但一定要看清题目.2）若点x0，y0在圆xayb r上，则切线方程为222x0axay0byb r2碰到一般方程则可先将一般方程标准化，然后运用上述结果碰到一般方程则可先将一般方程标准化，然后运用上述结果.由上述分析，我们知道：过一定点求某圆的切线方程，非常重要的第一步就是判断点与圆的位置关系，得出切线的条数.求切线长：利用
5、基本图形，AP CP r AP 3.直线与圆相交（1）求弦长及弦长的应用问题垂径定理及勾股定理常用222CP r22弦长公式：l 1 k2x1 x2x1 k21 x2 4 x1x22（暂作了解，无需掌握）（2）判断直线与圆相交的一种特殊方法（一种巧合）：直线过定点，而定点恰好在圆内.（3）关于点的个数问题例：若圆x3y5 r2上有且仅有两个点到直线4x3y2 0的距离为 1，则半径r的取值范围是_.答案：4,64.直线与圆相离会对直线与圆相离作出判断（特别是涉及一些参数时）七、对称问题七、对称问题1.若圆x2 y2 m21 x2mym 0，关于直线x y 1 0，则实数m的值为_.答案：3（注
6、意：m 1时，D E 4F 0，故舍去）变式：已知点A是圆C:x y ax4y 5 0上任意一点，A点关于直线x2y1 0的对称点在圆C上，则实数a _.2.圆x1y31关于直线x y 0对称的曲线方程是_.变式：已知圆C1：x4y21与圆C2：x2y41关于直线l对称，则直线l的方程为_.3.圆x3y11关于点2,3对称的曲线方程是_.八、最值问题八、最值问题方法主要有三种：（1）数形结合；（2）代换；（3）参数方程1.已知实数x，y满足方程x y 4x1 0，求：2222222222222222y的最大值和最小值；看作斜率x5（2）yx的最小值；参数法；截距（线性规划）（1）（3）x y的
7、最大值和最小值.两点间的距离的平方2.已知AOB中，OB 3，OA 4，AB 5，点P是AOB内切圆上一点，求以PA，22PB，PO为直径的三个圆面积之和的最大值和最小值.数形结合和参数方程两种方法均可！3.设Px,y为圆x y11上的任一点，欲使不等式x y c 0恒成立，则c的取22值范围是_.答案：c 七、圆的参数方程七、圆的参数方程2 1（数形结合和参数方程两种方法均可！）x rcos，为参数x2 y2 r2r 0y rsinxayb八、相关应用八、相关应用22x arcos，为参数 r2r 0y brsin221.若直线mx2ny4 0（m，nR），始终平分圆x y 4x2y 4 0
8、的周长，则mn的取值范围是_.2.已知圆C：x y 2x4y 4 0，问：是否存在斜率为1 的直线l，使l被圆C截得的弦为AB，以AB为直径的圆经过原点，若存在，写出直线l的方程，若不存在，说明理由.2提示：x1x2 y1y2 0或弦长公式d 1kx1 x2.答案：x y 1 0或x y4 0223.已知圆C：x3y41，点A0,1，B0,1，设P点是圆C上的动点，22d PA PB，求d的最值及对应的P点坐标.4.已知圆C：直线l：x1y2 25，2m1xm1y7m4 0（mR）（1）证明：不论m取什么值，直线l与圆C均有两个交点；（2）求其中弦长最短的直线方程.5.若直线y xk与曲线x
9、1 y恰有一个公共点，则k的取值范围.6.已知圆x y x6y m 0与直线x2y 3 0交于P，Q两点，O为坐标原点，问：是否存在实数m，使OP OQ，若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.九、圆与圆的位置关系九、圆与圆的位置关系1.判断方法：几何法（d为圆心距）（1）d r1r2外离（2）d r1r2外切（3）r1r2 d r1r2相交（4）d r1r2内切（5）d r1r2内含2.两圆公共弦所在直线方程2222圆C1：x y D1x E1y F1 0，圆C2：x y D2x E2y F2 0，2222222则D1D2xE1E2yF1F2 0为两相交圆公共弦方程.补充说明：补充说明：若C
10、1与C2相切，则表示其中一条公切线方程；若C1与C2相离，则表示连心线的中垂线方程.3 圆系问题2222（1）过两圆C1：x y D1x E1y F1 0和C2：x y D2x E2y F2 0交点的圆系方程为x2 y2 D1x E1y F1x2 y2 D2x E2y F2 0（1）说明：说明：1）上述圆系不包括C2；2）当 1时，表示过两圆交点的直线方程（公共弦）（2）过 直 线Ax ByC 0与 圆x y Dx Ey F 0交 点 的 圆 系 方 程 为22x2 y2DxEyF AxByC 0（3）有关圆系的简单应用（4）两圆公切线的条数问题相内切时，有一条公切线；相外切时，有三条公切线；
11、相交时，有两条公切线；相离时，有四条公切线十、轨迹方程十、轨迹方程（1）定义法（圆的定义）：略（2）直接法：通过已知条件直接得出某种等量关系，利用这种等量关系，建立起动点坐标的关系式轨迹方程.例：过圆x y 1外一点A2,0作圆的割线，求割线被圆截得的弦的中点的轨迹方程.22分析：OP AP OA（3）相关点法（平移转换法）：一点随另一点的变动而变动222动点主动点特点为：主动点一定在某一已知的方程所表示的（固定）轨迹上运动.法 2：（参数法）设B3cos,3sin，由BOC 2BAC 2，则32C3cos3设Gx,y，则2,3sin3233cos3cosxA xB xC23x 1coscosL133323sin3sinyA yB yC23y sinsinL L23332322432,1 1 2，由得：x1 y 1 x 0,y,1 3322参数法的本质是将动点坐标x,y中的x和y都用第三个变量（即参数）表示，通过消参得到动点轨迹方程，通过参数的范围得出x，y的范围.（4）求轨迹方程常用到得知识xA xB xCx1 x2x x 32重心Gx,y，中点Px,y，y yA yB yCy y1 y223BDAB内角平分线定理：CDAC定比分点公式：韦达定理.x xBy yBAM，yMA，则xMAMB11