25(2)等比数列的前n项和.ppt

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1、等差数列等比数列解析法列表法图象法递推法定义法示表通项公式中项公式项和前n重要性质daann1)0(1qqaanndnaan) 1(111nnqaa孤立点孤立点daann1qaann1dnaan) 1(111nnqaabaA2baG2dnnnaSn2) 1(1) 1(1)1 (1qqqaSnnqpnmaaaaqpnmaaaa 的一次函数是关于为等差数列naann )(无常数项的二次函数是关于为等差数列nSannbaAbAa2,成等差数列)0(,2aGbbaGbGa成等比数列练习：练习：（1） 124 263 （2）124 (2)n-1 = （3）等比数列）等比数列 an 中，中，a1 = 8

2、, q = , an = , 则则Sn=1212（4）等比数列）等比数列 an 中，中，a1 = 2 ，S3=26 , 则则 q = 264-11 ( - 2 ) n3312- 4 或或 3练习：练习：在在3和和2187之间插入若干个正数，使它们之间插入若干个正数，使它们组成等比数列，且插入的这些正数的和为组成等比数列，且插入的这些正数的和为1089。求：插入的这些正数各是什么？求：插入的这些正数各是什么？解：设等比数列的公比为解：设等比数列的公比为q，则，这些数为：则，这些数为：3，3q，3q2，3qn，21873q3q（1-q1-qn n）1-q1-q=1089=1089又又3q3qn+1

3、n+1=2187=2187 3q-2187 3q-2187 1-q 1-q=1089=1089 q = 3 q = 3插入的正数为插入的正数为9 9，2727，8181，243243，729729。这些正数的和为这些正数的和为1089。3q-3q3q-3qn+1n+11-q1-q=1089=1089即即等差数列中依次每等差数列中依次每k项的和，仍成等差数列。项的和，仍成等差数列。 在等比数列中，是否也有类似的性质？在等比数列中，是否也有类似的性质？ 71472114nnaSSSSSS已知数列是等比数列， 是其前项和，求证： ，成等比数列。71141211171421qSaSaSa证明：时，14

4、7211470SSSSS此时，71472114SSSSS，成等比数列1q当时，7142111171421(1)(1)(1)111aqaqaqSSSqqq，2714 22 147 221114722()(1)()(1)(1)a qqa qqSSqq此时714212 147 2111721142(1)()(1)()11(1)aqa qqa qqSSSqqq214772114()()SSSSS71472114SSSSS，成等比数列*232kkkkkkNSSS SS当， ，也成等比数列吗？等比数列中等比数列中kk当 为奇数时，依次每 项的和，仍然构成等比数列。1qkk当 为偶数时，若时，依次每 项的和

5、，仍然构成等比数列。例例1 在等比数列在等比数列 中，已知前中，已知前10项的和为项的和为5，前前20项的和为项的和为15，求前，求前30项的和。项的和。 na1210A aaa解：设，111220B aaa，212230C aaa515 5 10AB 则，A 、B、C成等比数列，2210205BCA 3035SA B C 23121,2 ,3 ,4,0 ,nnax xxnxxn例 设数列为求此数列前 项的和。解：（用错位相减法）2311 234nnSxxxnx 231231nnnxSxxxnxnx 2111nnnx Sx xxnx ，1x当时，1111111111nnnnnnnnn xnxx

6、xnxnxx Snxxxx 12111nnnn xnxSx 111 2 3 42nnnxSn 当时，x?0 x注：注意对公比 的讨论。若去掉 nnnnaabb 本例是形如，其中是等差数列，是等比数列的求和问题，这类问错位题都可用相减法。 321nnnnaSa例 已知数列前n项和，求此数列的通项 ，并证明它是一个等比数列。分析：判断一个数列是等比数列（或等差数列），一定要用定义来判断：任意两相邻的项具有某种特征：比（或差）为定值。111,aS解：由已知，得111(21) (21) 2nnnnnnaSS 1112 (*)nnaan N又满足上式，1122(*)2nnnnan Na由于 na是一个等

7、比数列2n当时，111naSAq B当时，1112() ()nnnnnnnaSSAqBAqBAq Aq 当时， 0naAq BAq ABAA B 若是等比数列，则，即 0nA Ba当时，不是等比数列。1(1)1nnnnnaqSSSAqBq由得探究是形：如的式子，0A B且， nna反之，若一个数列的前 项和为0,1nnSAqB Aq， na则数列是等比数列吗？ 0nA Ba当时，是等比数列； 232,:,.nnkkkkkaSnSSSSS已知数列是等比数列是其前 项的和则成等比数列1(1):,1kkaqSq解21()1kka qqq321132(1)(1)11kkkkaqaqSSqq=2112(

8、1)(1)11kkkkaqaqSSqq1(1),1kka qqq231()1kka qqq=21(1)1kka qqq=,232,.kkkkkSSSSS成等比数列510,1050,15_.练习：一个等比数列的前 项和为前项和为那么它的前项和为51051510,S SS SS解：成等比数列，210551510SSS SS（）（）15210S210例例1 ： 求通项为求通项为 an = 2n + 2n -1 的数列的前的数列的前n项和项和解解：设设 bn = 2n , 且对应的前且对应的前n项和为项和为 cn=2n-1 , 对应的前对应的前n项和为项和为S n S n则则 an = bn cn ，

9、Sn = +S n S nS n= 2 ( 1 2 n ) 1 2 = 2 ( 2n 1 )= n2Sn =S n S n+=2n+1 + n2 - 2 S n= 1 + ( 2n - 1 ) 2 n例例2：求和：求和 ( x + ) + ( x2 + ) + ( x3 + ) + +( x +( xn n + )+ )1y1y21y31yn（1） 当当 x 0 , y 1 时时（2） 当当 x 0 时时解解：当当 x = 1 时时Sn = ( x + x2 + + x + xn n ) + ( + + + ) + ( + + + )1y1y21yn（1）Sn = 1y( 1 - )1yn1

10、- 1y= n + yn+1 - yn yn - 1当当 x 1 时时Sn = x ( 1 - xn )1 - x 1y( 1 - )1yn1 - 1y+ x ( 1 - xn )1 - x yn+1 - yn yn - 1+= n +( 2 ) 只须注意再讨论只须注意再讨论y是否等于是否等于1的取值情况的取值情况（用错项相消法）（用错项相消法） 2311,2 ,3,40nnaxxxnxxn例3:设数列为，求此数列前 项和。2311234nnSxxxnx 解：231231nnnxSxxxnxnx2111nnnx Sxxxnx 1x 当时，1112342nnnxSn 当时，2311234nnSx

11、xxnx 1111111nnnnnn xnxxx Snxxx12111nnnn xnxSxn数列的前 项和为：2111nnnx Sxxxnx 121111(1)2nnnn xnxxxSnnx （1)例例4.4.求数列求数列1,(1+2)，（1+2+ ), ( 222221)21n前前n項和。項和。21aaSnna) 12() 12(2) 12(n222nn 222121)21(2nnnn解解:2221ka12k1 (1 2 )1 221kk 练习练习求和：)0(),()2() 1(2anaaaSnn2111nnaaaSnn当22121) 111 (2nnnnnnnSn1, 0aa当1a时时解：

12、)21 ()(2naaaSnnnS,2111nnaaan,22nn) 1( a).1, 0(aa练习：练习：远望巍巍塔七层，远望巍巍塔七层， 分析：这首古诗前三句给大家展现了一幅美丽的夜景，最后一句把它分析：这首古诗前三句给大家展现了一幅美丽的夜景，最后一句把它变成了一个数学问题？你能用今天的知识求出这首古诗的答案吗？变成了一个数学问题？你能用今天的知识求出这首古诗的答案吗？ 红光点点倍加增，红光点点倍加增，其灯三百八十一，其灯三百八十一，请问尖头几盏灯？请问尖头几盏灯？这首古诗的答案是什么？这首古诗的答案是什么？解：设尖头有灯解：设尖头有灯a1盏，则由题意得：盏，则由题意得： S7 7= 解

13、得解得 a1 =3， 故尖头有灯故尖头有灯3盏盏 3812121711711aaqqaa即 na数学建模：已知等比数列数学建模：已知等比数列 ，公比公比q=2 n=7，S7 7=381求求a1等差数列等差数列等比数列等比数列定义定义通项通项公式公式性质性质前项前项和和Sndnaan)(1111nnqaadaann1qaann1dmnaamn)( mnmnqaamnpqmnpqaaaa若，则2 ,2mnpmnpaaa若则mnpqmnpqa aa a若，则2)(1nnaanS1(1)2nn nSnad22 ,mnpmnpa aa若则1(1)(1)1nnaqSqq1(1)1nnaa qSqq数列求和

14、数列求和1111124816例 、求数列1，3，5，7的前n项和。614.P A练习1：组 （1）2112nnSn 一、分组求和法一、分组求和法(1)(1)1,2(1)(1)(2)1,12nnnnnaSaan naSa 当时当时.)1(112nnnnSnxxxa项和项和的前的前求数列求数列例例 解：解：211222 nnnnnxxxxa)21()21()21(224422 nnnxxxxxxS)222()111()(242242 nnxxxxxxnxxxxxxnn211)11(11)1(222222 1121)12(22222 xnxxnxnn12122224 nxxxnnn的的值值：求求练练

15、习习)231()71()41()11(112 naaaSnn)23741()1111(12 naaaSnn时时当当1 a时时当当1 a2)13(nnnSn 2)13(nn 2)13(1111nnaaSnn 2)13(11nnaaan nS 2)13(nn 2)13(11nnaaan )1( a)1( a解：解：(1)(2)13(3)11111122143181223132313231323121214121412234562121，；，；， ， ， ，()nnnnn求下列数列的前n项和Sn： 解解(1)S =112= (123n)n2143181212141812 ()()nnn=n(n+1)

16、2=1121121121212()()nnn n(1)(2)13(3)11111122143181223132313231323121214121412234562121，；，；， ， ， ，()nnnnn求下列数列的前n项和Sn： (2)S =13= (13+13+13) +(23+23+23)n32n-1242n2313231323234212nn=13()()()1131132311311358113222222nnna =1S = (222)(1+14+12)nnn-11214122121211 nn= 2n(1+14+12)= 2n2n-1 12121n(3)先对通项求和(1)(2)

17、13(3)11111122143181223132313231323121214121412234562121，；，；， ， ， ，()nnnnn求下列数列的前n项和Sn： 求数列的前n项和：231, 71, 41, 1112 naaan已知数列：， 解：设)231()71()41() 11 (12 naaaSnn将其每一项拆开再重新组合得)23741 ()1111 (12 naaaSnn（分组）当 a1 时，2) 13(nnnSn2) 13(nn （分组求和）当1a时，2) 13(1111nnaaSnn2) 13(11nnaaan项项和和。的的前前数数列列的的数数列列）的的或或可可以以直直接

18、接用用公公式式求求和和差差或或等等比比数数列列分分别别为为等等，（其其中中数数列列适适用用于于求求n,nnnnnncbabac 22221 33 55 7(21) (21)nn例2、求和：221nnSn二、裂项求和法二、裂项求和法22221111+(2).2 -13 -14 -11nn例3、求和：21111+.2+13+ 24+ 31nn 练习 、求和：1111321(1)(2)22142 (1)nnSnnnn n1 1nSn x6111112.2 44 66 82(21)P Ann作业、1.组.4(2)求和：.2113211211112的值求例nSn解：解：nan 211设设)1(2 nn)

19、111(2 nn)111()111()3121()211(2 nnnn122)111(2 nnSn)1(2)1(2322212 nnnnSn.11321211:2的值求练习 nnSn11 nnan解：设解：设nn 11111321211 nnnnSn)1()1()23()12(nnnn 11 n项项和和。的的前前为为等等差差数数列列）的的数数列列（其其中中数数列列，或或适适用用于于求求ncaaacaacnnnnnnnn1111 )(11)11(111111nnnnnnnnnnaadaacaadaac ，常见裂项技巧常见裂项技巧 ：111) 1(1nnnnan（1）11 11()1nan nkk

20、 nn（2） 111121212 2121nannnn（3）nnnn111na（4）第二种方法：裂项相消法第二种方法：裂项相消法 求和11111 33 55 7(21)(21)nn ) 12)(12(1nnan)121121(2nnan)121121()5131()311(2 nnSn)1211 (2n124nn数列an的前n项和： 这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项(通项)分解,然后重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的.通项分解(裂项).求数列 ,11,321,211nn的前n项和.nnnnan11111321211 nnSn)1()23()12

21、(nn 11n解：设，则=(1)11+123+134+(2)11(3)122115137159121 2351581811131 32n nnnnn()()()()()解解(1)1n(n +1)111111212131314111nnSnnn()()()()1111nnn(1)11+123+134+(2)11(3)122115137159121 2351581811131 32n nnnnn()()()()()(2)1(2n1)(2n +3)S =n141211231411513171519123121121123()nnnnnn=14113121123453 21 23()()()nnnnn

22、n(1)11+123+134+(2)11(3)122115137159121 2351581811131 32n nnnnn()()()()()(3)1(3n1)(3n +2)S =13n131311321215151818111131132()()()()()nnnn=13()1213264nnn三、错位相减法三、错位相减法解：135721(1)248162nnnS111352321(2)2481622nnnnnS(1)(2)，得：12122216282422121nnnnSnnnnnnS232321221412122例4、求数列的前n项和,212,43,21nn 23335(21).naa

23、ana练习 、求和：614A作业：P组. （3）22112(1)1,2(1)(21)(2)1,1(1)1nnnnaSnaaanaaSaaa当时当时2(1)(1)1,21(2)1,(1)1nnnnn nxSxnxxSxx当时当时求当1x时，求和：132)12(7531 nnxnxxxS解：由题可知 该数列的通项为1) 12(nxn是等差数列12 n的通项与等比数列1nx的通项之积设：132) 12(7531 nnxnxxxSnnnxnxnxxxxxS) 12(3275311432 （设制错位）1-得nnnxnxxxxxSx) 12(222221)1 (1432 （错位相减）再利用等比数列的求和公

24、式得：nnnxnxxxSx) 12(1121)1 (1又1x21)1 ()1 () 12() 12(xxxnxnSnnn错位相减法的使用：1.在求和时候前n项和式子中两边同乘以等比数列的公比q.2.Sn与qSn做一个错位相减。求数列 ,22,26,24,2232nn前 n 项的和.由题可知，nn22的通项是等差数列n2的通项与等比数列n21的通项之积设：nnnS2226242232 14322226242221 nnnS（设制错位）得1432222222222222)211( nnnnS（错位相减）1122212nnn1224nnnS小结,111qqannS,1na(q=1).(q1).1.已知则qna,1,11qqaannS,1na(q=1).(q1).已知则qaan,12.对含字母的题目一般要分别考虑q=1和q1两种情况。Thank you！