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1、22.2二次函数与一元二次二次函数与一元二次方程方程问题问题: 如图以如图以40m/s的速度将小球沿与地面的速度将小球沿与地面成成30角的方向击出时，球的飞行路线将角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，球是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，球的飞行高度的飞行高度h（单位：（单位：m）与飞行时间）与飞行时间t（单（单位：位：s）之间具有关系）之间具有关系h = 20t5t 2想一想想一想考虑以下问题：考虑以下问题：（1）球的飞行高度能否达到）球的飞行高度能否达到15m？如能，需？如能，需要多少飞行时间？要多少飞行时间？（2）球的飞行高度能否达到）球的飞行高度能否达到20m
2、？如能，需？如能，需要多少飞行时间？要多少飞行时间？（3）球的飞行高度能否达到）球的飞行高度能否达到20.5m？为什么？为什么？（4）球从飞出到落地需要用多少时间？）球从飞出到落地需要用多少时间？分析：由于球的飞行高度分析：由于球的飞行高度h与飞行时间与飞行时间t的关系的关系是二次函数是二次函数h=20t5t 2想一想想一想 所以可以将问题中所以可以将问题中h的值代入函数解析式，得到关于的值代入函数解析式，得到关于t的一元二次方程，如果方程有合乎实际的解，则说明的一元二次方程，如果方程有合乎实际的解，则说明球的飞行高度可以达到问题中球的飞行高度可以达到问题中h的值；否则，说明球的的值；否则，说
3、明球的飞行高度不能达到问题中飞行高度不能达到问题中h的值的值解：（解：（1）解方程）解方程1520t5t 2即：即：t 24t3=0t1=1，t2=3当球飞行当球飞行1s和和3s时，它的高度为时，它的高度为15mt1=1st2=3s15m15m想一想想一想（2）解方程）解方程2020t5t 2t 24t4=0t1=t2=2当球飞行当球飞行2s时，它的高度为时，它的高度为20mt1=2s20m想一想想一想（3）解方程）解方程20.520t5t 2t 24t4.1=0因为（因为（4）244.10，所以方程无解，所以方程无解球的飞行高度达不到球的飞行高度达不到20.5m20m（4）解方程）解方程02
4、0t5t2t24t=0t1=0,t2=4当球飞行当球飞行0s和和4s时，它的高度为时，它的高度为0m，即，即0s时球从时球从地面发出，地面发出，4s时球落回地面时球落回地面0 从上面可以看出，二次函数与一元二次方程从上面可以看出，二次函数与一元二次方程关系密切关系密切 一般地，我们可以利用二次函数一般地，我们可以利用二次函数y=ax2+bx+c 深入讨论一元二次方程深入讨论一元二次方程ax2+bx+c=0 例如，已知二次函数例如，已知二次函数y = x24x的值为的值为3，求自，求自变量变量x的值，可以解一元二次方程的值，可以解一元二次方程x24x=3（即（即x24x+3=0） 反过来，解方程
5、反过来，解方程x24x+3=0 又可以看作已知二又可以看作已知二次函数次函数 y = x24x+3 的值为的值为0，求自变量，求自变量x的值的值探究探究探究求二次函数图象探究求二次函数图象y=x2-3x+2与与x轴的交点轴的交点A、B的坐标。的坐标。解：解：A、B在轴上，在轴上， 它们的纵坐标为它们的纵坐标为0， 令令y=0，则，则x2-3x+2=0 解得：解得：x1=1，x2=2； A（1，0） ， B（2，0）你发现方程你发现方程 的解的解x1、x2与与A、B的的坐标有什么联系？坐标有什么联系？x2-3x+2=0结论结论1：方程：方程x2-3x+2=0的解就是抛物线的解就是抛物线y=x2-
6、3x+2与与x轴的两个交点的横坐标。轴的两个交点的横坐标。因此，抛物因此，抛物线与一元二次方程是有密切联系的。线与一元二次方程是有密切联系的。即：若一元二次方程即：若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是的两个根是x1、x2， 则抛物线则抛物线y=ax2+bx+c与轴的两个交与轴的两个交点坐标分别是点坐标分别是A（ ），）， B（ ）x1，0 x2，0 xOABx1x2y下列二次函数的图象与下列二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？当公共点的横坐标是多少？当x取公共点的横坐标取公共点的横坐标时，函数的值是多少？由此，你能得出相应的一时，函数的值
7、是多少？由此，你能得出相应的一元二次方程的根吗？元二次方程的根吗？（1）y = x2x2 （2）y = x26x9（3）y = x2x11y = x26x9y = x2x1y = x2x2练一练练一练（1）抛物线）抛物线y = x2x2与与x轴有两个公共点，轴有两个公共点，它们的横坐标是它们的横坐标是2，1.当当x取公共点的横坐标时，取公共点的横坐标时，函数的值是函数的值是0.由此得出方程由此得出方程x2x20的根是的根是2，1.（2）抛物线）抛物线y = x26x9与与x轴有一个公共点，这轴有一个公共点，这点的横坐标是点的横坐标是3. 当当x = 3 时，函数的值是时，函数的值是0由此得由此
8、得出方程出方程 x26x90有两个相等的实数根有两个相等的实数根3.（3）抛物线）抛物线y = x2x1与与x轴没有公共点，由此轴没有公共点，由此可知，方程可知，方程x2x10没有实数根没有实数根探究探究 抛物线与抛物线与X 轴的交点个数能不能用一元二轴的交点个数能不能用一元二次方程的知识来说明呢？次方程的知识来说明呢？b2-4ac0b2-4ac=0b2-4ac0OXY抛物线抛物线y=ax2+bx+c抛物线抛物线y=ax2+bx+c与与x轴的交点个数可由轴的交点个数可由一元二次方程一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况说明：的根的情况说明： 1、 b2-4ac 0 一元二次方程一元二次方程
9、ax2+bx+c=0有两个不等的实数根有两个不等的实数根与与x轴有两个交点轴有两个交点相交。相交。抛物线抛物线y=ax2+bx+c 2、 b2-4ac =0 一元二次方程一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根有两个相等的实数根与与x轴有唯一公共点轴有唯一公共点相切（顶点）。相切（顶点）。抛物线抛物线y=ax2+bx+c 3、 b2-4ac 0 一元二次方程一元二次方程ax2+bx+c=0没有实数根没有实数根与与x轴没有公共点轴没有公共点相离。相离。（2）二次函数的图象与）二次函数的图象与x轴的位置关系有三种：没有轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点，这对应着一
10、公共点，有一个公共点，有两个公共点，这对应着一元二次方程根的三种情况：没有实数根，有两个相等元二次方程根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等的实数根的实数根，有两个不等的实数根一般地，从二次函数一般地，从二次函数y=ax2+bx+c 的图象可知的图象可知（1）如果抛物线）如果抛物线y=ax2+bx+c 与与x轴有公共点，公共轴有公共点，公共点的横坐标是点的横坐标是x0，那么当，那么当x =x0时，函数的值是时，函数的值是0，因此因此x = x0 就是方程就是方程 ax2+bx+c=0 的一个根的一个根归纳总结归纳总结1 3(, )2 4第四象限第三象限第二象限第一象限的顶点在
11、抛物线则没有实数根的一元二次方程关于顶点坐标为则其顶点经过原点抛物线个个个个轴的交点个数有与抛物线.).(,0) 3(._,33)2(321 .0 .).(32) 1 (22222DCBAnxynxxmxmyBAxxyxxmxxCA ?二、基础训练二、基础训练1、已知抛物线、已知抛物线y=x2-6x+a的顶点在的顶点在x轴上，则轴上，则a= ；若抛物线与；若抛物线与x轴有两个交点，则轴有两个交点，则a的范围是的范围是 ；3、已知抛物线、已知抛物线y=x2+px+q与与x轴的两个交点为轴的两个交点为（-2，0），（），（3，0），则），则p= ，q= 。2、已知抛物线、已知抛物线y=x2-3x+
12、a+1与与x轴最多只有一轴最多只有一个交点，则个交点，则a的范围是的范围是 。4、判断下列各抛物线是否与、判断下列各抛物线是否与x轴相交，如果轴相交，如果相交，求出交点的坐标。相交，求出交点的坐标。（1）y=6x2-2x+1 （2）y=-15x2+14x+8（3）y=x2-4x+4三、例题推荐三、例题推荐1、已知二次函数、已知二次函数y=x2-kx-2+k.求证求证:不论不论k取何值时，这个二次函数取何值时，这个二次函数y=x2-kx-2+k与与x轴有两个不同的交点。轴有两个不同的交点。2、已知抛物线、已知抛物线y=x2+2x+m+1。（1）若抛物线与）若抛物线与x轴只有一个交点，求轴只有一个
13、交点，求m的值。的值。（2）若抛物线与直线）若抛物线与直线y=x+2m只有一个交点，只有一个交点，求求m的值。的值。由上面的结论，我们可以利用二次函数的图象求一由上面的结论，我们可以利用二次函数的图象求一元二次方程的根由于作图或观察可能存在误差，元二次方程的根由于作图或观察可能存在误差，由图象将得的根，一般是近似的由图象将得的根，一般是近似的例例 利用函数图象求方程利用函数图象求方程x22x2=0 的实数根的实数根解：解：作作y = x22x2的图象，它与的图象，它与x轴的公共点的横坐标大约是轴的公共点的横坐标大约是0.7，2.7. 所以方程所以方程x22x20的实数的实数根为根为x10.7，
14、x22.72224644824y = x22x2( 2.7, 0 )(0.7, 0 )例题讲解例题讲解1. 汽车刹车后的距离汽车刹车后的距离S（单位：（单位：m）与行驶时间）与行驶时间t（单（单位为：位为：s）的函数关系式）的函数关系式S=15t6t2，汽车刹车后停下，汽车刹车后停下来行驶来行驶5米，求汽车刹车后停下来的时间是多少？米，求汽车刹车后停下来的时间是多少？解：由函数关系可得：解：由函数关系可得：5 =15t6t2解方程得解方程得x10.98x228.75（不符合实际舍去）（不符合实际舍去）所以汽车刹车后停下来的时间为所以汽车刹车后停下来的时间为0.98s课内练习课内练习2. 一个滑雪者从一个滑雪者从85m长的山坡滑下，滑行的距长的山坡滑下，滑行的距离为离为S（单位：（单位：m）与滑行的时间）与滑行的时间t（单位：（单位：s）的函数关系式是的函数关系式是S=1.8t+0.064t2，他通过这段山，他通过这段山坡需要多长时间？坡需要多长时间？解：由函数关系可得：解：由函数关系可得：85 =1.8t+0.064t2解方程得解方程得t1=25t2 = 53.125（不符合实际舍去）（不符合实际舍去）他通过这段山坡需要他通过这段山坡需要25秒的时间秒的时间课内练习课内练习