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1、第第14章章 勾股定理勾股定理 复习课复习课第十四章第十四章 |复习复习知识归纳1 1勾股定理勾股定理勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的 . .即：对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为即：对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a a、b b，斜边为斜边为c c ，那么一定有，那么一定有 . .平方平方 注意注意 只有在直角三角形里才可以用勾股定理，运用时要分只有在直角三角形里才可以用勾股定理，运用时要分清直角边和斜边清直角边和斜边第十四章第十四章 |复习复习2 2勾股定理的验证勾股定理的验证据说验证勾股定理的方法有
2、五百多种，其中很多是用平面图形据说验证勾股定理的方法有五百多种，其中很多是用平面图形的面积来进行验证的，比如我国古代的数学家赵爽就用了下面的的面积来进行验证的，比如我国古代的数学家赵爽就用了下面的方法：方法：图图14141 1ba 第十四章第十四章 |复习复习 (1) (1)确定最大边；确定最大边；(2)(2)算出最大边的平方与另两边的算出最大边的平方与另两边的 ；(3)(3)比较最大边的平方与另两边的平方和是否相等，若相等，则比较最大边的平方与另两边的平方和是否相等，若相等，则说明这个三角形是说明这个三角形是 三角形三角形到目前为止判定直角三角形的方法有：到目前为止判定直角三角形的方法有：(
3、1)(1)说明三角形中有一个角是说明三角形中有一个角是 ；(2)(2)说明三角形中有两边互相说明三角形中有两边互相 ；(3)(3)用勾股定理的逆定理用勾股定理的逆定理平方和平方和直角直角直角直角垂直垂直第十四章第十四章 |复习复习4 4勾股数勾股数能够成为直角三角形三条边长的三个能够成为直角三角形三条边长的三个 数，称为勾股数，称为勾股数，即满足数，即满足 的三个的三个 数数a a、b b、c c，称为勾股，称为勾股数数 注意注意 勾股数都是正整数勾股数都是正整数5 5勾股定理的应用勾股定理的应用应用勾股定理及其逆定理可解决如下问题：应用勾股定理及其逆定理可解决如下问题：(1)(1)已知已知
4、三角形的任意两边，求第三边长或图形周长、三角形的任意两边，求第三边长或图形周长、面积的问题；面积的问题；(2)(2)说明线段的平方关系问题；说明线段的平方关系问题；正整正整正整正整直角直角第十四章第十四章 |复习复习直角直角 数轴数轴 (4) (4)解决实际问题一些实际问题，如解决圆柱侧面两点间距离解决实际问题一些实际问题，如解决圆柱侧面两点间距离问题、航海问题、折叠问题、梯子下滑问题等，常直接或间接运用问题、航海问题、折叠问题、梯子下滑问题等，常直接或间接运用勾股定理及其逆定理勾股定理及其逆定理6 6勾股定理中的思想勾股定理中的思想(1)(1)分类的思想，斜边不确定时，要分类讨论；分类的思想
5、，斜边不确定时，要分类讨论；(2)(2)数形结合的思想，通过边的数量判断三角形的形状，反之也可数形结合的思想，通过边的数量判断三角形的形状，反之也可以；以；(3)(3)方程的思想，建立方程，求边；方程的思想，建立方程，求边；(4)(4)转化思想，把实际问题转化为勾股定理的问题来解决转化思想，把实际问题转化为勾股定理的问题来解决第十四章第十四章 |复习复习考点攻略考点一勾股定理考点一勾股定理例例1 1在在ABCABC中，已知中，已知BDBD是高，是高，B B9090，A A、B B、C C的的对边分别是对边分别是a a、b b、c c，且，且a a6 6，b b8 8，求，求BDBD的长的长 解
6、析解析 这是在三角形中已知两边长求高的问题，可用勾股定这是在三角形中已知两边长求高的问题，可用勾股定理先求出第三边再求解理先求出第三边再求解第十四章第十四章 |复习复习 易错警示易错警示 在直角三角形中，已知两边的长求斜边上的高时，在直角三角形中，已知两边的长求斜边上的高时，先用勾股定理求出第三边，然后用面积求斜边上的高较为先用勾股定理求出第三边，然后用面积求斜边上的高较为简便简便在用勾股定理时，一定要清楚直角所对的边才是斜边，在用勾股定理时，一定要清楚直角所对的边才是斜边，如在本例中不要受勾股数如在本例中不要受勾股数6 6、8 8、1010的干扰的干扰第十四章第十四章 |复习复习考点二勾股定
7、理的逆定理考点二勾股定理的逆定理第十四章第十四章 |复习复习考点三勾股定理在数学中的应用考点三勾股定理在数学中的应用已知已知ABCABC是边长为是边长为1 1的等腰直角三角形，以的等腰直角三角形，以RtRtABCABC的斜边的斜边ACAC为为直角边，画第二个等腰直角边，画第二个等腰RtRtACDACD，再以，再以RtRtACDACD的斜边的斜边ADAD为直角边为直角边，画第三个等腰，画第三个等腰RtRtADEADE，依此类推，第，依此类推，第n n个等腰直角三角形个等腰直角三角形的斜边长的平方是的斜边长的平方是_图图14142 2第十四章第十四章 |复习复习第十四章第十四章 |复习复习例例4
8、4如图如图14143 3所示，一只蚂蚁从实心长方体的顶点所示，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A A出发，沿出发，沿长方体的表面爬到对角顶点长方体的表面爬到对角顶点C C1 1处处( (三条棱长如图三条棱长如图14143 3所示所示) )，问怎，问怎样走路线最短？最短路线长为多少？样走路线最短？最短路线长为多少？图图14143 3第十四章第十四章 |复习复习第十四章第十四章 |复习复习第十四章第十四章 |复习复习 用勾股定理解决立体图形的问题，常以长方体、正方体、用勾股定理解决立体图形的问题，常以长方体、正方体、圆柱、圆锥为背景，做题思路是圆柱、圆锥为背景，做题思路是“展曲为平展曲为平” ” 把立体
9、图形把立体图形转化为平面图形，即将原图形的侧面展开转化为平面图形问题，转化为平面图形，即将原图形的侧面展开转化为平面图形问题，再运用再运用“平面上的两点之间线段最短平面上的两点之间线段最短”求解求解要注意的是需要认真审题，确定出最短路线，有时容易忽视多要注意的是需要认真审题，确定出最短路线，有时容易忽视多种展开情况种展开情况方法技巧方法技巧第十四章第十四章 |复习复习例例5 5如图如图14145 5，在离水面高度为，在离水面高度为5 5米的岸上有人用绳子拉船米的岸上有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子靠岸，开始时绳子BCBC的长为的长为1010米，此人以每秒米，此人以每秒0.50.5米的速度收绳米的
10、速度收绳问：问：8 8秒后船向岸边移动了多少米？秒后船向岸边移动了多少米？( (结果精确到结果精确到0.10.1米米) )图图14145 5 解析解析 根据题意找出图中的直角根据题意找出图中的直角三角形，算出三角形，算出BCBC的长，再用勾股的长，再用勾股定理求定理求ABAB和移动的距离和移动的距离第十四章第十四章 |复习复习第十四章第十四章 |复习复习考点五方程思想在勾股定理中的应用考点五方程思想在勾股定理中的应用例例6 6如图如图14146 6，有一张直角三角形纸片，两直角边，有一张直角三角形纸片，两直角边ACAC6 6 cmcm，BCBC8 8 cmcm，将，将ABCABC折叠，使点折叠
11、，使点B B与点与点A A重合，折痕是重合，折痕是DEDE，求，求CDCD的长的长图图14146 6 解析解析 欲求的线段欲求的线段CDCD在在RtRtACDACD中，但此三中，但此三角形只知一边，可设法找出另两边的关系，角形只知一边，可设法找出另两边的关系，然后用勾股定理求解然后用勾股定理求解第十四章第十四章 |复习复习 勾股定理可以直接解决直角三角形中已知两边求第三边的问题勾股定理可以直接解决直角三角形中已知两边求第三边的问题；如果只知一边和另两边的关系时，也可用勾股定理求出未知边；如果只知一边和另两边的关系时，也可用勾股定理求出未知边，这时往往要列出方程求解，这时往往要列出方程求解方法技
12、巧方法技巧第十四章第十四章 |复习复习 针对第针对第3 3题训练题训练1 1已知下列图形中的三角形的顶点都在正方形的格点上，已知下列图形中的三角形的顶点都在正方形的格点上，可以判定三角形是直角三角形的有可以判定三角形是直角三角形的有_图图14147 7 (2)(4)第十四章第十四章 |复习复习2 2如图如图14148 8所示，每个小方格都是边长为所示，每个小方格都是边长为1 1的正方形，点的正方形，点A A、B B是是方格纸中的两个格点方格纸中的两个格点( (即正方形的顶点即正方形的顶点) )，在这个，在这个6 66 6的方格纸中，的方格纸中，找出格点找出格点C C，使，使ABCABC的面积为
13、的面积为1 1个平方单位的直角三角形的点个平方单位的直角三角形的点C C个数个数是是_图图14148 8 6 第十四章第十四章 |复习复习 解析解析 如图如图14149 9，当，当A A为直角时，满足面积为为直角时，满足面积为1 1的点是的点是C C1 1、C C2 2；当；当B B为直角时，满足面积为为直角时，满足面积为1 1的点是的点是C C3 3、C C4 4；当；当C C为直角时，满足面积为为直角时，满足面积为1 1的点是的点是C C5 5、C C6 6. .所以满足条件的点共有所以满足条件的点共有6 6个个图图14149 9第十四章第十四章 |复习复习针对第针对第6 6题训练题训练
14、如图如图14141010，以三角形三边为直径向外作三个半圆，若较小，以三角形三边为直径向外作三个半圆，若较小的两个半圆面积之和等于较大的半圆面积，则这个三角形是的两个半圆面积之和等于较大的半圆面积，则这个三角形是( () )A A锐角三角形锐角三角形B B直角三角形直角三角形C C钝角三角形钝角三角形D D锐角三角形或钝角三角形锐角三角形或钝角三角形图图14141010B 第十四章第十四章 |复习复习针对第针对第1919题训练题训练如图如图14141111，有一个高为，有一个高为4 4，底面直径为，底面直径为6 6的圆锥，现有一只蚂的圆锥，现有一只蚂蚁在圆锥的顶部蚁在圆锥的顶部A A，它想吃到
15、圆锥底部，它想吃到圆锥底部B B的食物，蚂蚁需要爬行的食物，蚂蚁需要爬行的最短路线长是多少？的最短路线长是多少？图图14141111第十四章第十四章 |复习复习 针对第针对第2020题训练题训练现有一张矩形纸片现有一张矩形纸片ABCD(ABCD(如图如图141412)12)，其中，其中ABAB4 4 cmcm，BCBC6 6 cm, cm, 点点E E是是BCBC的中点，将纸片沿直线的中点，将纸片沿直线AEAE折叠，点折叠，点B B落在四边形落在四边形AECDAECD内，记为点内，记为点BB，求线段，求线段BCBC的长的长图图14141212解：连结解：连结BBBB交交AEAE于点于点O O，
16、由折叠及点，由折叠及点E E是是BCBC的中点，可知的中点，可知EBEBBEBEECEC，图图14141313第十四章第十四章 |复习复习第十四章第十四章 |复习复习 针对第针对第2121题训练题训练如图如图14141414所示，某住宅社区在相邻两楼之间修建一个上方是一所示，某住宅社区在相邻两楼之间修建一个上方是一个半圆，下方是长方形的仿古通道，现有一辆卡车装满家具后，高个半圆，下方是长方形的仿古通道，现有一辆卡车装满家具后，高4 4米，宽米，宽2.82.8米，请问这辆送家具的卡车能否通过这个通道？米，请问这辆送家具的卡车能否通过这个通道？图图14141414第十四章第十四章 |复习复习解：如
17、图解：如图14141515，过半圆直径的中点，过半圆直径的中点O O，作直径的垂线交下，作直径的垂线交下底边于点底边于点D D，取点，取点C C，使，使CDCD1.41.4米，过米，过C C作作ODOD的平行线交半圆的平行线交半圆直径于直径于B B点，交半圆于点，交半圆于A A点，点，图图14141515第十四章第十四章 |复习复习针对第针对第2424题训练题训练1 1一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现了勾股一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现了勾股定理的一种新的证明方法，如图定理的一种新的证明方法，如图14141616，火柴盒的一个侧面，火柴盒的一个侧面ABCDABCD倒下到倒
18、下到ABCDABCD的位置，连结的位置，连结CCCC，设，设ABABa a，BCBCb b，ACACc c，请利用四边形，请利用四边形BCCDBCCD的面积证明勾股定理：的面积证明勾股定理：a a2 2b b2 2c c2 2. .图图14141616第十四章第十四章 |复习复习2 2以一个直角三角形的一条直角边为边长的正方形的面积为以一个直角三角形的一条直角边为边长的正方形的面积为225225，以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为，以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为625625，则以这个直角三角形的另一条直角边为边长的正方形的面积为则以这个直角三角形的另一条直角边为边长的正方形的面积为_400 解析解析 根据勾股定理计算，根据勾股定理计算，625625225225400.400.