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1、第三章第三章 空间向量与立体几何空间向量与立体几何 3.1 3.1 空间向量及其运算空间向量及其运算3.1.1 3.1.1 空间向量及其加减运算空间向量及其加减运算 定义：定义： 既有大小又有方向的量叫向量既有大小又有方向的量叫向量 几何表示法：几何表示法：用有向线段表示用有向线段表示. .字母表示法：字母表示法：用字母用字母a a, ,b b等或者等或者用有向线段用有向线段的起点与终点字母的起点与终点字母 表示表示ABAB相等的向量：相等的向量： 长度相等且方向相同的向量长度相等且方向相同的向量 ABCD复习平面向量复习平面向量向量的加法：向量的加法：平行四边形法则平行四边形法则三角形法则三
2、角形法则( (首尾相接，首尾相接，首尾相连首尾相连) )平面向量的加减法运算平面向量的加减法运算baababba向量的减法向量的减法三角形法则三角形法则 共起点，连终点，指被减共起点，连终点，指被减baab 1. 1. 空间向量空间向量 在空间，我们把具有大小和方向的量在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量叫做空间向量. 向量的大小叫做向量的长度或模向量的大小叫做向量的长度或模.探究点探究点1 1 概念概念2. 2. 空间向量的表示空间向量的表示AB 向量向量 的起点是的起点是A，终点是，终点是B，则向量，则向量 也可以记作也可以记作AB，其，其模记为模记为| |或或|AB|aaaa （
3、1 1）我们规定，长度为）我们规定，长度为0 0的向量叫做零向量，的向量叫做零向量，记为记为 . .当有向线段的起点当有向线段的起点A A与终点与终点B B重合时，重合时，ABAB= = . . （2 2）模为）模为1 1的向量称为单位向量的向量称为单位向量. . （3 3）两个向量不能比较大小，因为决定向量）两个向量不能比较大小，因为决定向量的两个因素是大小和方向，其中方向不能比较大的两个因素是大小和方向，其中方向不能比较大小小. .注注00 3. 3. 相反向量相反向量 与向量与向量 长度相等而方向相反的向量长度相等而方向相反的向量,称为称为 的相反向量，记为的相反向量，记为 . 4. 4
4、. 相等向量相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量方向相同且模相等的向量称为相等向量.aaa （1 1）在空间中，向量可以平行移动）在空间中，向量可以平行移动. . （2 2）在空间中，同向且等长的有向线段）在空间中，同向且等长的有向线段表示同一或相等的向量表示同一或相等的向量 . . （3 3）在空间中，的任意两个向量都可以）在空间中，的任意两个向量都可以平移到同一平面内，成为同一平面内的平移到同一平面内，成为同一平面内的两个向量两个向量. . 注注 结论：空间任意两个向量都是共面向量，结论：空间任意两个向量都是共面向量，所以它们可用同一平面内的两条有向线段表示所以它们可用同一平面内的
5、两条有向线段表示.bAOBaba1. 1. 空间向量的加减运算空间向量的加减运算 由于任意两个空间向量都能平移到同一由于任意两个空间向量都能平移到同一空间，所以空间向量的加减运算与平面向量空间，所以空间向量的加减运算与平面向量的加减运算相同的加减运算相同. .AoabB探究点探究点2 2 空间向量的加减运算空间向量的加减运算a-ba+baboABC加法加法: OB=OA+AB=a+b: OB=OA+AB=a+b，减法：减法：CA=OA-OC=a-b.CA=OA-OC=a-b.2. 2. 空间向量的加法运算律空间向量的加法运算律 （1 1）加法交换律加法交换律 a + b = b + a （2
6、2）加法结合律加法结合律 (a + b) + c = a + (b + c) (1)(1)空间向量的运算就是平面向量运算的推广空间向量的运算就是平面向量运算的推广. . (2) (2)两个向量相加的平行四边形法则在空间仍然两个向量相加的平行四边形法则在空间仍然成立成立. . (3) (3)空间向量的加法运算可以推广至若干个向量空间向量的加法运算可以推广至若干个向量相加相加. .3.3.对空间向量的加减法的说明对空间向量的加减法的说明4.4.扩展扩展 （1 1）首尾相接的若干向量之和，等于由）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的量起始向量的起点指向末尾向量的终点的量即
7、：即： 122334n 1n1nA AA AA AAAA A （2 2）首尾相接的若干向量构成一个封闭图形，）首尾相接的若干向量构成一个封闭图形，则它们的和为零向量即：则它们的和为零向量即： 122334n1A AA AA AA A0例例 已知平行六面体已知平行六面体ABCDABCD- -A A B B C C D D ，化简下列向量，化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量表达式，并标出化简结果的向量.ABCDA B C D . (1)ABBC. (2)ABADAABCAB AC 解解: :ABCDA B C D (2) ABADAA ACAACCAC AC. . .提升总结提升总结 始点相同的三个不共面向量之和，等于始点相同的三个不共面向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的体对角线所表示的向量点为始点的体对角线所表示的向量. .