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1、数学建模：期末考试监考安排论文题目期末考试监考安排摘要本文针对监考安排问题，设置一般假设、确定约束条件，建立了非线性规划模型和整数规划模型，并且结合人工排考，进一步优化排考问题。本文从时间安排，考场安排、监考安排三个方面建立数学模型，分别解决了考试时间，考场，考试专业以及监考老师安排的问题。针对问题一、二，在假设具有同一门课程的专业同时考试的前提下各课程考试人数见表二，用枚举法列举所有合理的考试时间形式形式表见表一，采用非线性规划确定采用的考试形式。在假设仅安排无限制的老师监考的前提下，建立考场安排与监考老师安排模型。再结合人工排考将具有特殊情况的老师安排考试，求出最短考试时间为2天，并得出考
2、场安排表，详细安排分别见表四、表五。对于问题三，假设考试课程最多的专业天天均考一门，每场考试采用30个考场，因此我们得出共有12个考试时间段，建立优化模型，求出每门课程考试间隔，对部分考场安排结合人工排考，最终我们得出最短考试时间为6天，详细考试安排见表六。此外，我们建立平均考场容量利用率的评价模型来评价各时间段考场安排的合理程度，得出本文所建形式的平均考场容量利用率约为93%，此利用率对于一整天而言考场利用率已经较大，但也存在数个考场利用率低于90%的情况，对延长考试总天数产生影响。关键词：非线性规划模型；整数规划模型；枚举法一问题重述1.背景考场安排是高校考务管理活动的主要组成部分，由于排
3、考冲突条件多，数据量大，人工排考无疑是一种繁复、琐碎的工作。随着高校进一步扩招，人工排考的问题更显得突出。研究自动排考算法，解决现阶段存在的问题，实现考试安排的快速高效具有一定的现实意义。黄勇等1应用数据库及信息技术提出了一种新的高校自动排考算法，解决了考试课程、考场及监考老师的自动安排。马慧彬2等利用特征函数建立模糊集实现了教室安排的智能化算法。尽管应用信息技术或智能搜索算法能够实现自动排考，但往往是一个可行解，不是最优解，没有考虑优化目的。我们从数学方面分析该问题，以期能给各院系教务人员有所帮助，假设某学院期末考试现有的监考老师有80位，分能够监考不超过2场、3场考试以及无限制3种情况；考
4、试课程有100门，并且各课程的考试时间有60、90、120分钟三种情况，同时在一个考场的每两门课程的考试间隔不少于20分钟；该学院有50个专业介入考试，各专业参加考试的课程见附件1的excel表格，同时假设每个专业内的学生所选的课程一致；该学院共有50个考场，考场容量分3种情况，分别可包容30人、45人、60人。天天的考试时间分为3个时间段，并且周一至周日都可安排考试。2.问题在合考与不能合考两种情况下，求出考完所有课程的最短时间，各种情况下的老师被安排的监考场数应尽量平均，并分别做出期末考试的考场安排表。为了便于学生的期末温习，规定每个专业一天只能考试一门课程，并且教师一天最多监考2场，2场
5、考试不能在同一时间段，其他条件不变，求出期末考试的最短时间，并做出期末考试的考场安排表。此外，结合所得知识给学校教务人员安排监考给予建议。二问题分析首先，应当确定针对每个考场天天的考试时间段可行的组合形式，即在上午、下午、晚上各个考试时间段中，能够安排60min,90min,120min，3种情况的组合。其次考虑合理的组合形式，合理的考试时间组合形式是在每个考试时间段中剩余的时间，不应超过或等于每场考试的时间。因此通过枚举法得出18种组合形式，如表一所示。进而求出采取某种形式以及其采用天数，由此可确定考试时间段。监考老师的安排属于任务分配问题。受监考老师限制，每场考试至多采用40个考场考试，因
6、而对于问题二在允许合考的情况下，应充分利用考场(存在两个D10-D50，一个D16-D50，其余全为D20-D50),进而减短考试时间。对于问题三，假设有最多门考试课程的专业天天都能考一门，若每场考试采用30个考场，则每场考试的最大考场容量可为1500人。符合若天天在两个时间段共进行两场考试，所有专业考生人数不超过其考场总容量。因而，我们得出至多有12个时间段，建立模型求解后再结合人工排考优化考场安排。三模型假设1.假设具有一样课程的专业同时参加考试；2.每场考试需参加考试的学生均到场；3.每个安排有考试的考场均能正常进行考试。四符号讲明b：表示课程编号，b=1,2,3,.,100；c：表示专
7、业编号，c=1,2,3，.，50；d：表示考场编号，d=1,2,3,(50)i：表示某种考试形式，i=1,2，(18)dP：第d个考场的容量；tbB：表示第b门课程在t时间能否考试取1表示是，取0表示否；bR：表示考第b门课程的人数；ix：表示采用第i种考试形式i=1,2，18所需天数；idy：表示第d考场采用i形式；0T：表示安排所有考试的时间段集合01,2,34,5,6T?，；atdh：表示第a位老师在t时间段能否监考第d个考场取1表示是，取0表示否；tdz：在时间t考场d能否使用取1表示有，取0表示否；tbdy：表示时间t课程b在第d考场考试；cbA：表示第c个专业能否有b门考试课程取1
8、表示有，取0表示否；T：表示安排考试的时间段，T=1,2,3，12五模型建立与求解1.问题一在不合考前提下求出期末考试的最短时间1.1模型建立用ix表示采用第i种考试形式i=1,2，18所用的天数，ix是非负整数。由此以采用某些合理考试形式所需的考试天数最少为目的，得到目的函数：181miniizx=，ixN由于无特殊情况的监考老师为60人，因而我们假设给定的考场数量为30个，为使考场容量最大化，假设采用考场D21-D50，每场考试所有考场可包容1500人考试。为知足60min,90min,120min各个考试时间段的考试人数要求，即考试人数不超过考场容量，有下面约束条件：1)采取某些合理考试
9、形式下，参加考试时间为60min科目考试总人数不应超过考场容量：35911131517167248101214161500432654323725iiiiiiiiiiiiiixxxxxxxxxx=?+?，ixN2采取某些合理考试形式下，参加考试时间为90min科目考试总人数不应超过考场容量：3505091546101213161718211814150022234238400iiiiddiixxxxxxxxxxx=?+?，ixN3采取某些合理考试形式下，参加考试时间为120min科目考试总人数不应超过考场容量：461218151117150022050iiiiiiiixxxx=?+?，ixN，
10、综上所述，建立模型：181miniizx=，ixN.st35911131517167248101214161500432654323725iiiiiiiiiiiiiixxxxxxxxxx=?+?，ixN3505091546101213161718211814150022234238400iiiiddiixxxxxxxxxxx=?+?，ixN461218151117150022050iiiiiiiixxxx=?+?，ixN，1810iix=?，ixN在完成考试时间段安排后，我们引进0-1变量tbdy表示时间t课程b在第d考场考试，取1表示是，取0表示否。其中： ()0(,),1,1,2,3,10
11、0tbtbBtbtTb=|B=，1,2,3,50d，在时间t考场d可能用可以能不用，用0-1变量tdz表示，取1表示是，取0表示否，0tT，1,2,330d。目的是在每个考试时间段t，考场的利用率应尽可能高，即所有考场余量尽可能少，即()050=1,min(Pz-Ry)dtdbtbdtTdtbB。要知足的约束条件为：1保证每门课程都有考场，50=1=1tbddy；2时间t考场d内的考生总数不超过考场容量，即(,)btbddtdtbBRyPz，1,2,3d50，0tT综上所述，建立如下整数规划模型：(t,b)B.btbddtdstRyPz，1,2,350d，0tT50=1=1tbddy，0tT，
12、(,)tbB0,1tbdy，0tT，(,)tbB，1,2,350d=0,1tdz，0tT，1,2,350d监考老师的安排属于任务分配问题。第a位老师在t时间段能否监考第d个考场，引进0-1变量用atdh表示，取1表示监考，取0表示否。目的是要保证各种情况下的老师监考场数尽量平均，也就是监考次数最多的老师与监考次数最少的老师的差值最小，即需要知足的约束条件为：1在t时间段，第a位老师至多在一个考场监考，即50=11adtdh，0tT，1,2,3,80a，2每个考场的监考老师为2人，每个考场的容量为dP，则在第t时间段，第d个考场的安排的监考老师为：80a=1=2atddhP，0tT，1,2,3,
13、d，503情况1的监考老师需知足条件监考场数不超过2场，即050=1=12Tatdtdh，1,2,3,10a，4情况2的监考老师需知足条件监考场数不超过3场，即050=1=13Tatdtdh，11,12,13,20a，综上所述，我们建立监考老师安排的模型如下：.st50=11adtdh，0tT，1,2,3,80a，80a=1=2atddhP，0tT，1,2,3,d，5050=1=12Tatdtdh，1,2,3,10a，50=1=13Tatdtdh，11,12,13,20a，50=1=13Tatdtdh，11,12,13,20a，0,1atdh，0tT，1,2,3,80a，1,2,3,50d，1
14、.2模型求解用LINGO求解，程序见附录一，结果显示分别采用考试形式4、16、18的考试天数为1.242、0.125、0.685，共计2.052天。此外，我们发现存在两个时间段一场考试能够安排40个考场进行考试，有一个时间段一场考试能够安排35个考场考试结合人工安排考场。由于我们假设未对有特殊情况的老师安排监考，并且未将剩余20个考场安排考试，即具有975人考场容量。采用人工安排考场，充分利用剩余的考场容量，将考试时间缩短至2天。用LINGO求解，详细结果见表四。下面给出部分结果：期末考试考场安排部分考试时间考试课程考试教室专业人数监考教师7月1日早上8：00-10:00B81D1,D16C1
15、，C2175A21-A24B82D2,D17C2，C2275A25-A28B83D3,D18C3，C2375A29-A32B84D4，D19C4，C2475A33-A36B85D5，D20C5，C2575A37-A40B91D41，D42C11，C31110A41-A44B93D43，D44C13，C33110A45-A48B94D45，D46C14，C34110A49-A52B95D47，D48C15，C35110A53-A562.问题二允许合考，在问题一的基础上求出最短考试时间2.1模型建立受监考老师限制，在t时间段至多采用40个考场考试，因而在允许合考的情况下，应充分利用考场D16-D5
16、0，以使考场容量最大化。因此，在问题一的基础上，加之如下约束条件：0=1,2,3,15tdzd，0tT在问题一的基础上，为充分利用监考老师资源，将有特殊情况的老师安排监考。由于考试时间为90分钟的课程所占人数最多，因此将监考老师A1-A20安排于课程B21-B80，进而增加每场考试的考试容量，以缩短考试时间，即有下面约束条件：181miniizx=，ixN.st35911131517167248101214161500432654323725iiiiiiiiiiiiiixxxxxxxxxx=?+?ixN350509154610121316171821181415002223423+975840
17、0iiiiddiixxxxxxxxxxx=?+?，ixN461218151117150022050iiiiiiiixxxx=?+?，ixN，0=1,2,3,15tdzd，0tT1810iix=?，ixN2.1.2考场安排(t,b)B.btbddtdstRyPz，1,2,350d，0tT50=1=1tbddy，0tT，(,)tbB0,1tbdy，0tT，(,)tbB，1,2,350d=0,1tdz，0tT，1,2,350d0=1,2,3,15tdzd，0tT2.1.3监考老师安排.st50=11adtdh，0tT，1,2,3,80a，80a=1=2atddhP，0tT，1,2,3,d，5050=
18、1=12Tatdtdh，1,2,3,10a，50=1=13Tatdtdh，11,12,13,20a，50=1=13Tatdtdh，11,12,13,20a，0,1atdh，0tT，1,2,3,80a，1,2,3,50d，0=1,2,3,15tdzd，0tT2.2模型求解用LINGO求解，程序见附件二，由结果可见，采用形式4、16、18的天数分别为1.241667、0.1250000、0.5229167，共计1.889583天。我们得出考试时间共用2天，详细结果如表五所示。下面给出部分结果：期末考试考场安排表部分考试时间考试课程考试教室专业人数监考老师7月1日上午8:00-10:00B81D20
19、-D50C1，C2175A21-A80B82C2，C2275B83C3，C2375B84C4，C2475B86C6，C2695B87C7，C2795B88C8，C2895B89C9，C2995B91C11，C31110B92C12，C32110B93C13，C33110B94C14，C34110B95C15，C35110B96C16，C36130B97C17，C371303.问题三优化考试安排3.1模型建立3.1.1考试时间安排设cbt为第c个专业第b门课程的考试时间，其中目的是期末考试时间安排尽可能平衡，以有利于学生温习和水平的发挥，也就是对于一个专业，不同考试课程最小的时间间隔尽可能大，建
20、立目的函数，其约束条件为：1每个专业一天至多考一门，即：21-2cbcbtt，21bb?，12(c,b)I(c,b)I，2对于一样课程不同专业的考试时间一样，即：12=cbcbtt，12cc，()1,cbI，()2,cbI综上所述，建立如下模型：.st21-2cbcbtt，21bb?，12(c,b)I(c,b)I，12=cbcbtt，12cc，()1,cbI，()2,cbI1cbtT，cbt取整数，(),cbI3.1.2考场安排、监考老师安排3.2模型求解用LINGO求解，详细安排见表六。下面给出部分结果：期末考场安排部分考试时间考试课程考试教室专业人数监考教师7月1日上午8：00-9:00B
21、2D41,D42,D43C1,C2,C22,C42175A1-A6B12D44,D45,D16C11,C12,C32160A7-A129:20-10:50B27D41,D42,D16C3,C23,C43145A13-A18B30D43,D44,D17C4,C24,C44145A19-A24B35D45,D46,D18C5,C25,C45145A25-A30B37D47,D48,D49C6,C26,C46175A31-A36B60D19,D20,D21C14,C34110A37-A42B64D22,D23,D24C15,C35110A43-A48B79D50,D25,D26C20,C40130A
22、49-A54六评价我们对这种排课安排进行了评价，用平均考场容量利用率来评价各时间段考场安排的合理程度。平均考场容量利用率P:一天内各时间段内所有考场容量的利用率的平均值。以7月1日为例，能够证实：tP=1001501bbdtbddtdRyPZ=，P=123455PPPPP+用编程算法得题一P=93.37%，题二P=93.089%1由于我们模型严格的容量控制，使得整个考试经过中，考场利用率均大于90%，对于学校而言是满意的，同时考场利用率高后，教师需要监考的场次数就相对减少了，有利于学校对于监考教师的安排。2同时有单独时间段其考场利用率低于90%，例如在复合段内上一时间段到下一时间段人数相差大，
23、例如其中7月2日下午部分考场出现利用率为81.19%的情况。固然对于一整天而言考场利用率已经较大，但是存在这种利用率低于90%的情况会增加考试总天数。3同时我们发现仅仅为了缩短时间来完成考试，就题目而言，但是现实中我们无法以此来安排，一味的追求最短化导致监考老师没有时间休息，并且学生没有时间温习与休息。所以在现实中我觉得就题三中的作法可行性高。参考文献1黄勇，苏守宝.一种新的高校自动排考算法J.计算机技术与发展，2007,1712：210-212.2马慧彬，张忠武，何丽丽.智能型考试安排系统的监考及教室安排算法J.佳木斯大学学报自然科学版，2004,223：74-76.附录：附录一min=x1
24、+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10+x11+x12+x13+x14+x15+x16+x17+x18;1500*(4*x1+3*(x2+x3)+2*(x4+x5)+x6+5*(x8+x9)+4*(x10+x11)+3*(x12+x13)+2*(x14+x15)+x17)=3725;1500*(x2+x3+2*x4+x6+x8+x9+2*x10+x12+2*x13+3*(x14+x15)+4*x16+2*x17+3*x18)=8400;1500*(x1+x2+x3+x4+2*(x5+x6)+x11+x12+x17+x18)=2050;0X160.68541670.000000
25、X170.0000000.1250000X180.12500000.000000RowSlackorSurplusDualPrice12.052083-1.00000020.000000-0.8333333E-0430.000000-0.1666667E-0340.000000-0.1666667E-0352.0520830.000000附录二：min=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10+x11+x12+x13+x14+x15+x16+x17+x18;1500*(4*x1+3*(x2+x3)+2*(x4+x5)+x6+5*(x8+x9)+4*(x10+x11)+3*(
26、x12+x13)+2*(x14+x15)+x17)=3725;1500*(x2+x3+2*x4+x6+x8+x9+2*x10+x12+2*x13+3*(x14+x15)+4*x16+2*x17+3*x18)+975=8400;1500*(x1+x2+x3+x4+2*(x5+x6)+x11+x12+x17+x18)=2050;0附录三：表一合理考试时间形式表时间段上午/min下午/min晚上/min形式1120；6060；6060形式2120；6060；6090形式3120；6060；9060形式4120；6060；9090形式5120；6012060形式6120；6012090形式760；60
27、；6060；6060形式860；60；6060；6090形式960；60；6060；9060形式1060；60；6060；9090形式1160；60；6012060形式1260；60；6012090形式1390；9060；6060形式1490；9060；6090形式1590；9060；9060形式1690；9060；9090形式1790；9012060形式1890；9012090表二每门课程的考试人数课程B1B2-B5B6B7-B10B11B12-B15B16B17-B20人数/课程205175205220155160180190容30人/课程76764465容45人/课程00011101课程
28、B21-B35B36-B50B51-B65B66-B80B81-B85B86-B90B91-B95B96-B100人数/课程1451751101307595110130容30人/课程56401243容45人/课程00031101表四期末考试考场安排表考试时间考试课程考试教室专业人数监考教师8：00-10:00B81D1,D16C1，C2175A21-A247月1日早上B82D2,D17C2，C2275A25-A28B83D3,D18C3，C2375A29-A32B84D4，D19C4，C2475A33-A36B85D5，D20C5，C2575A37-A40B91D41，D42C11，C31110A41-A44B93D43，D44C13，C33110A45-A48B94D45，D46C14，C34110A49-A52B95D47，D48C15，C35110A53-A56