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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 2022 年河南科技高校数学建模竞赛选拔承诺书我们认真阅读了数学建模竞赛选拔的规章 . 我们完全明白,在做题期间不能以任何方式包括 队外的任何人争论、争论与选拔题有关的问题；、电子邮件、网上询问等与我们知道,抄袭别人的成果是违反选拔规章的 , 假如引用别人的成果或其他公开的 资料包括网上查到的资料 ,必需依据规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参 考文献中明确列出；我们正式承诺,严格遵守选拔规章,以保证选拔的公正、公正性；如有违反选拔规 就的行为,我们将受到庄重处理；我们挑选的题号是从A/B/C 中挑选一项填写：A 队员签名：1. 谷胜辉年
2、8 月 16 日2. 高健人3. 任娟日期： 2022 1 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2022 年河南科技高校数学建模竞赛选拔编 号 专 用 页评阅编号评阅前进行编号：评阅记录评阅时使用：评阅人评分备注2 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 期末考试监考支配摘 要期末考试支配是教务治理中一项重要而复杂的工作；传统的手工支配方式效率低,现考虑利用建立数学模型与人工相结合的方法来分析争论监考问题；从已给问题的布局,构思出以下方案：第一
3、采纳枚举法分析得出十八种合理的时间 安排方案,利用 Lingo 软件优化得出最优时间安排组合；鉴于考场容量有限和考试支配 时间最短的考虑,在考试时间与考试课程之间建立一个线性规划模型,并利用 Lingo 软 件进行优化求解,得出考试时间的最优安排方案；另以最大考场利用率为目标,在有限的考场容量基础上,在考试课程与考场之间建立一个0-1 规划模型,利用 Lingo 软件进行优化求解,得出考场安排的优化方案； 其次以每位监考老师监考场数尽量平均为目标,在监考老师监考场数的限制的基础上, 在监考老师的安排问题上建立一个 0-1 规划模型,利用 Lingo 软件优化求解,得出老师的优化安排方案；最终依
4、据平均考场容量的利用率来判定模型的好坏,模型检验得出平均考场容量的利用率均到达 90%以上；但针对于实际情形来讲平均考场容量利用率高并不肯定最优,同时需要对模型求得的结果进行肯定的人工改良,建议各院系的教务人员在监考支配中采纳数学模型与实际相结合的方法；本文对问题的解决原就：在合理简化的基础上,对题目的每个要求,都做到“ 有数 学依据,有理论支撑,力求完善”；关键词：枚举法、线性规划模型、0-1 规划模型、 Lingo 软件3 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 问题重述1. 背 景每学期期末, 各院系教务人员都要针
5、对学校教务处下达的考试任务进行监考老师的支配,传统的手工支配方式效率低且简单出错；我们想从数学方面分析该问题,以期能给各院系教务人员有所帮忙,假设某学院期末考试现有的监考老师、考试课程、各专业及人数、教室情形如下：（1） 考试时间 一天分三个时间段：上午 8 ：00 11:45 下午 14:20 17:30 晚上 19:45 21:20 一个教室前后 2 门课程的考试时间间隔不能少于 周一周日都可以支配考试；20 分钟；期末考试开头时间为2022 年 1 月 6 日；2监考老师 共有 80 为监考老师,分别是 A1,A2,A3 A80,监考老师分为 3 种情形；情形 1：A1 A10是教授,学
6、校规定教授监考不能超过 2 场；情形 2：A11 A20是有特别情形的老师,其监考不能超过 3 场；情形 3：A21 A80老师的监考场数没有限制；每个考场需要 2 位监考老师；在支配监考的时候要保证各种情形下的老师监考场数尽量平均；3考试课程 共有 100 门考试课程,分别是 B1,B2, B100,考试课程分为 3 种情形；情形 1：B1 B20,考试时间需要 60 分钟；情形 2：B21 B80,考试时间需要 90 分钟；情形 3：B81 B100,考试时间需要 120 分钟；4参与考试各专业,人数,所学课程 共有 50 个专业,分别是 C1,C2, C50；各专业的人数,参与考试的课程
7、见附件 1 的 excel 表格；假设每个专业内的同学所选的课程一样；5能够作为考场的教室情形共有 50 个教室可供挑选,分别是D1,D2,D3 D50,教室分为 3 种情形；情形 1：D1 D15,可以容纳 30 人考试；情形 2：D16 D40,可以容纳 45 人考试；情形 3：D41 D50,可以容纳 60 人考试； 2. 问 题：1假设不能显现合考的情形,即不能把2 门不同的课程放在同一考场一起考试；学校想要在最短的时间内考完全部课程,求出期末考试的最短时间；并做出期末考试的考 场支配表,表格可以为 excel 或者 word 格式；2假如答应合考的情形,及可以把不同的课程放到同一考场
8、考试,其他条件不变,4 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 求出期末考试的最短时间；并做出期末考试的考场支配表；3为了便于同学的期末复习,学校规定每个专业一天只能考试一门课程,并且老师 一天最多监考 2 场, 2 场考试不能在同一时间段,其他条件不变,求出期末考试的最短 时间；并做出期末考试的考场支配表；4请给各院系教务人员支配期末监考的一些建议,评判一下你的模型的优缺点；问题分析由于考试分为上午、下午、晚上三个时间段,考试课程的考试时间又分为 60 分钟、90 分钟、 120 分钟三种情形,所以第一应当确定在各个时
9、间段的考试课程的安排情形,合理的考试时间方案应满意除考试时间剩余时间不能超过某门课程的考试时间,且对于一个教室前后 2 门课程的考试时间间隔不能少于 考试时间方案,共十八种,如下表一所示：20 分钟,应用枚举法列出全部的合理表一 合理考试时间方案表时间段上午/ 分钟下午 / 分钟晚上 / 分钟方案一60,60,60 60,90 90 方案二60,60,60 60,90 60 方案三60,60,60 120 90 方案四60,60,60 120 60 方案五60,60,60 60,60 90 方案六60,60,60 60,60 60 方案七120,60 60,90 90 方案八120,60 60
10、,90 60 方案九120,60 120 90 方案十120,60 120 60 方案十一120,60 60,60 90 方案十二120,60 60,60 60 方案十三90,90 60,90 90 方案十四90,90 60,90 60 方案十五90,90 120 90 方案十六90,90 120 60 方案十七90,90 60,60 90 方案十八90,90 60,60 60 之后再考虑监考老师的安排问题,受监考老师人数的限制每场考试最多支配四十个考场进行考试,对于问题二,在答应合考的情形下应充分利用考场的资源,从而使考试 时间尽可能的短；对于问题三,由于学校规定每个专业一天只能考试一门课程
11、,所以应让考试课程最 多的专业每天都能考一门,这样才能尽早的考完；5 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 模型假设1. 假设对于含有同一门课程的专业,在该课程考试时含有该课程的专业同时考试；2. 全部考生都按时到场考试；3. 全部考场的考试都正常进行；符号说明b：表示课程编号, a=1,2 , , 100；c：表示专业编号, c=1,2 , , 50；d：表示教室编号,也即考场编号,d=1,2, , 50；i ：表示考试模式编号, i=1,2 , , 18；v ：表示第 d 个考场的容量；dB ：表示第 b 门课程是
12、否在 t 时间段考试是为 bt 1,否为 0；R ：表示第 b 门课程的人数；bix ：表示采纳第 i 种考试模式所用的天数；D ：表示第 d 个考场采纳第 i 种考试模式；diT : 表示支配全部考试的时间段集合,T =1,2,3,4,5,6；T atd：表示第 a 位老师在 t 时间段是否监考 d 考场是为 1,否为 0；z td：表示在 t 时间段 d 考场是否使用是为 1,否为 0；y tbd：表示在 t 时间段课程 b 是否在 d 考场考试是为 1,否为 0；A ：表示第 c 个专业是否有课程 b是为 1,否为 0；cbT ：表示支配考试的时间段,T=1,2, , 12；模型的建立与
13、求解问题一 在不能显现合考的情形下求解：1. 模型建立（1） 考试时间的安排假设未对有特别限制的监考老师安排监考任务,由于没有特别限制的监考老师有60人,每个考场需要两位监考老师,所以同一个时间段最多有30 个考场进行考试,为了保证参与考试的人数尽可能的多,这 30 个考场我们取为 D21-D50其中 D21-D40容量为 45 人,D41-D50容量为 60 人,即每场考试可同时容纳 1500 人进行考试,分别依据 60 分钟、90 分钟、120 分钟总人数不能超过考场容纳人数的限制,可得如下线性规划模型：6 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 14 页精选学习资料 -
14、- - - - - - - - 15004 x 15 x 23 x 34 x 45 x 56 x62 x 73 x8x 92 x 103 x 114 x 12x 132 x 14x 162 x 173 x 18 372515002x1x2x3x52 x7x8x9x114 x133 x143 x152 x163x 172 x1884001500x3x4x7x8xi2x92 x10x11x12x15x162050xiixN i1,2,.,18,N ,ix 表示采纳第 i 种考试模式所用的天数；18其中目标函数为mini1（2） 考场支配第一引进 0-1 变量 y tbd 表示在 t 时间段课程 b
15、 是否在 d 考场考试是取 1,否取 0,d=1,2, , 50；再引入 0-1 变量 B 表示第 b 门课程是否在 t 时间段考试是为 bt 1,否为 0,并令 y bt B y bt | B bt 1, t T b 1,2,.,100；由于在 t 时间段 d 考场可能用也可能不用, 于是再引进 0-1 变量 z td 表示在 t 时间段 d 考场是否使用是为 1,否为 0,其中 t T d 1,2,.,50；由于目标是使在 t 时间段考场的利用率尽可能的高,少,所以目标函数为mintT 050 v z d tdybtBR y btbd；d1也即全部考场的余量尽可能的由于每门课程都要有考场,
16、 时间段 t 内考场 d 内的考生总数不能超过考场的总容量,所以可以建立如下整数线性规划模型：50y tbd1T 0T 0v z d tdybtBR y btbdd1ybtBR y btbdv z d tdy tbd0,1z td0,1 d1,2,.,50,t其中目标函数为min50td1（3） 监考老师的支配监考老师的支配是一个安排问题,为明白决该问题先引入0-1 变量T atd表示第 a 位老师在 t 时间段是否监考 d 考场是为 1,否为 0；由于一个监考老师在一个时间段至多只能在一个考场监考,所以在 t 时间段第 a 位老师至多只能在一个考场监考,即50T atd1；d1由于情形一的监
17、考老师要求监考的场数不能超过2 场,所以7 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - tT 050T atd2,a1,2,.,10；d1tT 0由于情形二的监考老师要求监考的场数不能超过3 场,所以50T atd3,a11,12,.,20；d1由于每个考场的监考老师为2 人,z td表示在 t 时间段 d 考场是否使用 是为 1,否为 0,就在 t 时间段第 d 个考场支配的监考老师应满意80T atd2 z td,tT d1,2,.,50；a1要保证各种情形下的老师监考场数尽可能平均,只需使监考次数最多的老师与监考次数最
18、少的老师的差值最小即可,即minmaxtT 050T atdmintT 050T atd,于是监考教d1d1师支配的数学模型如下：50T atd1,a1,.,8050T atdd11,.,10tT050T atd2,ad1tT050T atd3,a11,12,.,20d1T d1,2,.,5080T atd2 z td,ta1T atd0,1 T 050T atdmintT 0目标函数为minmaxd1d1t2. 模型求解（1） 考试时间的安排模型求解用 lingo求解,程序见附录一,结果显示分别采纳考试模式7、13、15 的考试天数为 0.937 、0.609 、0.430 ,共计 1.97
19、6 天；（2） 考场支配模型求解 由于我们上述假设未对有特别限制的监考老师安排监考任务,并且未将剩余的 20 个考场支配考试；再采纳人工支配考场,充分利用剩余的考场容量合理安排将1的 结果整数化 2 天即可；求解,编写的程序如下附录三所示由于运行结果过于庞杂在此不再显示,用 lingo考试支配具体结果见附表一；问题二 在答应合考的情形下,在问题一的基础之上求出期末考试的最短时间由于受监考老师人数的限制,在同一个时间段最多可以有40 个考场考试,因此在答应合考的情形下应充分利用考场 基础之上加上下述条件即可：D16-D50,使考场容量尽可能的大；因而在问题一的8 名师归纳总结 - - - - -
20、 - -第 8 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - z td0,tT d1,2,.,15（1） 考试时间的安排在问题一的基础之上,为了尽可能充分的利用监考老师资源,有特别情形的监考教师也要进行监考,由于考试时间为 90 分钟的课程较多,为了尽可能的增加每场考试的 容量将监考老师 A1-A20 安排给课程 B21-B80 进行监考,以缩短考试时间,约束条件如下：15002 x 1x 2x 3x 52 x 7x 8x 9x 114 x 133 x 143 x 152 x 163 x 172 x 18 2* 5* 303* 5 * 458400综上可建立如下优化模型：1
21、500 x 15 x 23 x 34 x 45 x 56 x 62 x 73 x 8x 92 x 103 x 114 x 12x 132 x 14x 162 x 173 18372515002 x 1x 2x 3x 52 x 7x 89x 9x 114 x 133 x 14123 x 15152 x 163 x 172 x 18 2* 5* 303* 5 * 4584002 x10x11xxx1620501500x3x4x7x82 xixN i1,2,.,18z td0, tT d1,2,.,15其目标函数为mini18xi,xiN1（2） 考场支配在问题一考场支配的基础上建立如下的模型：50
22、ytbd1, tT 0d1ybtBR y btbdv z d td,d1,2,.,50,tBT 0y tbd0,1,d1,2,.,50,tT 0R y btbdz td0,1 ,d1,2,.,50,tT 0z td0,tT d 01,2,.,15其目标函数为mintT 050 v z d tdd1ybt（3） 监考老师的支配在问题一监考老师的支配的基础上建立如下的模型：9 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 50T atd1,a0,1,.,80d1tT 050T atd2,a0,1,.,10a501,2,.,80d1
23、tT050T atd3,a11,12,.,20d180T atd2 z td,tT d1,2,.,50a1T atd0,1 ,tT d 01,2,.,50,z td0,tT d1,2,.,15其目标函数为minmaxtT 050T atdmintd1T 0d1T atd3. 模型求解（1） 考试时间的安排模型求解7、13、15 的考试天数 2 天,依据问题一的用 lingo求解,程序见附录二,结果显示分别采纳考试模式为 1.009 、0.465 、0.357 ,共计 1.831 天；我们得出考试时间共用解法求解,在此不再赘述,具体结果见附表二；问题三 规定每个专业一天只能考试一门课程,并且老师
24、一天最多监考2 场,2 场考试不能在同一时间段,其他条件不变,求期末考试的最短时间 1. 模型的建立（1） 考试时间的安排M cb设 tcb为第 c 个专业第 b 门课程的考试时间,其中,为了使期末考试时间安IM cb|A cb1,c1,2,.,50,b1,2,.,100排尽可能平稳,以便使同学可以更好地发挥,只要使同一专业不同考试课程最小的时间 间隔尽可能的大即可,于是建立如下目标函数：max min b 2 bt 1cb 2tcb1,M cb 1I,M cb2Itcb2tcb 12,b 2b 1,M cb 1I,M cb2I ,由于每个专业一天至多考一门,所以又由于对于相同课程不同专业的考
25、试时间相同,即tc b 1tc b 2,c1c2,M c b 1I,M c b 2I ；综上所述可以建立如下模型：tcb2tcb 12,b 2b 1,M cb 1I,M cb22IItc b 1tc b 2,c1c2,M c b 1I,M c b 2I1tcbT tcbN M cbII,M cb目标函数为maxmin b 2 bt 1cb2tcb 1,M cb 1（2） 考场支配、监考老师支配 考场支配、监考老师支配模型同问题一中的考场支配、监考老师支配；10 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2. 模型求解用
26、lingo 求解,方法同问题一,在此不再赘述,具体结果见附表三；模型评判对于本问题,我们采纳平均考场利用率来对模型进行评判,平均考场的利用率越高说明模型越好； 设平均考场利用率为 平均值,就运算方法如下：_ p 表示一天内各个时间段全部考场容量的利用率的p t100R y btbd,ptn1p t,n 表示时间段的个数；90%以上,在这b150V z d tdnd1经过对问题一到三的考试支配进行运算可知平均考场的利用率都在里不再一一运算；虽然模型都是依据在最短时间内考完全部的课程进行运算的,但其运算结果仅是个 理论值,在实际的期末考试监考支配时上述模型得出的结果并不肯定为最优,在实际的期末考试
27、监考支配时应当将模型与实际情形相结合,这样才能到达最优的成效；各院系的工作人员在对期末考试监考支配时,为了到达良好的成效应先依据模型进行运算再在得出的结果的基础上进一步依据实际情形做必要的改动,这样势必会削减工作人员的工作量,而且可以到达良好的成效,使考试支配更为合理；这样老师和同学都会对考试的支配感到中意,使考试可以顺当圆满的进行；参考文献1 谢金星,薛毅 . 优化建模与 Lindo/Lingo软件,天津高校出版社,2005 2 数学建模与应用,国防工业出版社 3 姜启源,叶俊 . 数学模型第三版,高等训练出版社附录附录一 min=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10
28、+x11+x12+x13+x14+x15+x16+x17+x18; 1500*4*x1+5*x2+3*x3+4*x4+5*x5+6*x6+2*x7+3*x8+x9+2*x10+3*x11+4*x12+x13+2*x1 4+x16+2*x17+3*x18=3725; 1500*2*x1+x2+x3+x5+2*x7+x8+x9+x11+4*x13+3*x14+3*x15+2*x16+3*x17+2*x18=84 00; 1500*x3+x4+x7+x8+2*x9+2*x10+x11+x12+x15+x16=2050; 11 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 14 页精选学习
29、资料 - - - - - - - - - x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10+x11+x12+x13+x14+x15+x16+x17+x180; Global optimal solution found. Total solver iterations: 3 Model Class: LP Total variables: 18 Nonlinear variables: 0 Integer variables: 0 Total constraints: 5 Nonlinear constraints: 0 Total nonzeros: 77 Nonlinear n
30、onzeros: 0 Variable Value Reduced Cost Row Slack or Surplus Dual Price 12 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 附录二min=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10+x11+x12+x13+x14+x15+x16+x17+x18; 1500*4*x1+5*x2+3*x3+4*x4+5*x5+6*x6+2*x7+3*x8+x9+2*x10+3*x11+4*x12+x13+2*x14+x16+2*x17+3*x18=3725;
31、 1500*2*x1+x2+x3+x5+2*x7+x8+x9+x11+4*x13+3*x14+3*x15+2*x16+3*x17+2*x18+975 =8400; 1500*x3+x4+x7+x8+2*x9+2*x10+x11+x12+x15+x16=2050; x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10+x11+x12+x13+x14+x15+x16+x17+x180; Global optimal solution found. Total solver iterations: 3 Model Class: LP Total variables: 18 Nonlinear
32、 variables: 0 Integer variables: 0 Total constraints: 5 Nonlinear constraints: 0 Total nonzeros: 77 Nonlinear nonzeros: 0 Variable Value Reduced Cost 13 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - Row Slack or Surplus Dual Price 附录三 Lingo 求解程序如下：model: sets: hang/1.6/:; lie/1.50/:v; zh
33、ong/1.100/:R; jzhang,lie:z; mnhang,zhong,lie:y; endsets data: v=30,30,30,30,30,30,30,30,30,30,30,30,30,30,30,45,45,45,45,45,45,45,45,45,4 5,45,45,45,45,45,45,45,45,45,45,45,45,45,45,45,60,60,60,60,60,60,60,60,60,6 0; R=205,175,175,175,175,205,220,220,220,220,155,160,160,160,160,180,190,190,1 90,190,
34、145,145,145,145,145,145,145,145,145,145,145,145,145,145,145,175,175, 175,175,175,175,175,175,175,175,175,175,175,175,175,110,110,110,110,110,110 ,110,110,110,110,110,110,110,110,110,130,130,130,130,130,130,130,130,130,13 0,130,130,130,130,130,75,75,75,75,75,95,95,95,95,95,110,110,110,110,110,130 ,130,130,130,130; enddata min=summn:sumjz:v*z-R*y; forhangt:forzhongb: sumlied:yt,b,d=1; forhangt:forzhongb: sumlied:Rb*yt,b,d-vd*zt,d=0; forjz:binz; formn:biny; end 14 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 14 页