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1、1 2012年河南科技大学数学建模竞赛选拔承诺书我们仔细阅读了数学建模竞赛选拔的规则. 我们完全明白，在做题期间不能以任何方式包括、电子邮件、网上咨询等与队外的任何人研究、讨论与选拔题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反选拔规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料包括网上查到的资料 ，必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守选拔规则，以保证选拔的公正、公平性。如有违反选拔规则的行为，我们将受到严肃处理。我们选择的题号是从A/B/C 中选择一项填写：A 队员签名：1. 谷胜辉2. 高健人3. 任娟日期： 2012 年 8 月 16 日精选
2、学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 14 页2 2012年河南科技大学数学建模竞赛选拔编 号 专 用 页评阅编号评阅前进行编号：评阅记录评阅时使用：评阅人评分备注精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 14 页3 期末考试监考安排摘 要期末考试安排是教务管理中一项重要而复杂的工作。传统的手工安排方式效率低，现考虑利用建立数学模型与人工相结合的方法来分析研究监考问题。从已给问题的布局，构思出以下方案：首先采用枚举法分析得出十八种合理的时间分配方案，利用 Lingo
3、软件优化得出最优时间分配组合。鉴于考场容量有限和考试安排时间最短的考虑，在考试时间与考试课程之间建立一个线性规划模型，并利用Lingo 软件进行优化求解，得出考试时间的最优分配方案。另以最大考场利用率为目标，在有限的考场容量基础上，在考试课程与考场之间建立一个0-1 规划模型，利用 Lingo 软件进行优化求解，得出考场分配的优化方案。 其次以每位监考老师监考场数尽量平均为目标，在监考老师监考场数的限制的基础上， 在监考老师的分配问题上建立一个0-1 规划模型，利用 Lingo 软件优化求解，得出教师的优化分配方案。最后依据平均考场容量的利用率来判断模型的好坏，模型检验得出平均考场容量的利用率
4、均到达90% 以上。但针对于实际情况来讲平均考场容量利用率高并不一定最优，同时需要对模型求得的结果进行一定的人工改良，建议各院系的教务人员在监考安排中采用数学模型与实际相结合的方法。本文对问题的解决原则：在合理简化的基础上，对题目的每个要求，都做到“有数学依据，有理论支撑，力求完善” 。关键词：枚举法、线性规划模型、0-1 规划模型、 Lingo 软件精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 14 页4 问题重述1. 背 景每学期期末，各院系教务人员都要针对学校教务处下达的考试任务进行监考教师的安排，传统的手工安排方式效率低且容易
5、出错。我们想从数学方面分析该问题，以期能给各院系教务人员有所帮助，假设某学院期末考试现有的监考教师、考试课程、各专业及人数、教室情况如下：（1） 考试时间一天分三个时间段：上午 8 ：0011:45 下午 14:20 17:30 晚上 19:45 21:20 一个教室前后 2 门课程的考试时间间隔不能少于20 分钟。周一周日都可以安排考试。期末考试开始时间为2013 年 1 月 6 日。2监考教师共有 80 为监考教师，分别是A1，A2，A3 A80，监考教师分为3 种情况。情况1：A1A10是教授，学校规定教授监考不能超过2 场；情况 2：A11A20是有特殊情况的教师，其监考不能超过3 场
6、；情况 3：A21A80教师的监考场数没有限制。每个考场需要 2 位监考教师。在安排监考的时候要保证各种情况下的教师监考场数尽量平均。3考试课程共有 100 门考试课程，分别是B1，B2， B100，考试课程分为 3 种情况。情况 1：B1B20，考试时间需要 60 分钟；情况 2：B21B80，考试时间需要 90 分钟；情况 3：B81B100 ，考试时间需要120分钟。4参加考试各专业，人数，所学课程共有 50 个专业，分别是 C1，C2 ， C50。各专业的人数，参加考试的课程见附件1 的 excel 表格。假设每个专业内的学生所选的课程一致。5能够作为考场的教室情况共有 50 个教室可
7、供选择，分别是D1，D2 ，D3 D50，教室分为 3 种情况。情况 1：D1 D15 ，可以容纳 30 人考试；情况 2：D16 D40 ，可以容纳 45人考试；情况 3：D41 D50 ，可以容纳 60人考试。 2. 问 题：1假设不能出现合考的情况，即不能把2 门不同的课程放在同一考场一起考试。学校想要在最短的时间内考完所有课程，求出期末考试的最短时间。并做出期末考试的考场安排表，表格可以为excel 或者 word 格式。2如果允许合考的情况，及可以把不同的课程放到同一考场考试，其他条件不变，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第
8、4 页，共 14 页5 求出期末考试的最短时间。并做出期末考试的考场安排表。3为了便于学生的期末复习，学校规定每个专业一天只能考试一门课程，并且老师一天最多监考 2 场，2 场考试不能在同一时间段，其他条件不变，求出期末考试的最短时间。并做出期末考试的考场安排表。4请给各院系教务人员安排期末监考的一些建议，评价一下你的模型的优缺点。问题分析由于考试分为上午、下午、晚上三个时间段，考试课程的考试时间又分为60分钟、90 分钟、 120 分钟三种情况，所以首先应该确定在各个时间段的考试课程的分配情况，合理的考试时间方案应满足除考试时间剩余时间不能超过某门课程的考试时间，且对于一个教室前后 2 门课
9、程的考试时间间隔不能少于20 分钟，应用枚举法列出所有的合理考试时间方案，共十八种，如下表一所示：表一 合理考试时间方案表时间段上午/ 分钟下午/ 分钟晚上/ 分钟方案一60,60,60 60,90 90 方案二60,60,60 60,90 60 方案三60,60,60 120 90 方案四60,60,60 120 60 方案五60,60,60 60,60 90 方案六60,60,60 60,60 60 方案七120,60 60,90 90 方案八120,60 60,90 60 方案九120,60 120 90 方案十120,60 120 60 方案十一120,60 60,60 90 方案十二
10、120,60 60,60 60 方案十三90,90 60,90 90 方案十四90,90 60,90 60 方案十五90,90 120 90 方案十六90,90 120 60 方案十七90,90 60,60 90 方案十八90,90 60,60 60 之后再考虑监考老师的分配问题，受监考老师人数的限制每场考试最多安排四十个考场进行考试，对于问题二，在允许合考的情况下应充分利用考场的资源，从而使考试时间尽可能的短。对于问题三，由于学校规定每个专业一天只能考试一门课程，所以应让考试课程最多的专业每天都能考一门，这样才能尽早的考完。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 -
11、- - - - - -第 5 页，共 14 页6 模型假设1. 假设对于含有同一门课程的专业，在该课程考试时含有该课程的专业同时考试；2. 所有考生都按时到场考试；3. 所有考场的考试都正常进行；符号说明b：表示课程编号， a=1,2， 100；c：表示专业编号， c=1,2 ， 50；d：表示教室编号，也即考场编号，d=1,2， 50；i ：表示考试模式编号， i=1,2 ， 18；dv：表示第 d 个考场的容量；btB：表示第 b 门课程是否在 t 时间段考试是为1，否为 0 ；bR：表示第 b 门课程的人数；ix：表示采用第 i 种考试模式所用的天数；diD：表示第 d 个考场采用第 i
12、 种考试模式；0T: 表示安排所有考试的时间段集合，0T=1,2,3,4,5,6；atdT：表示第 a 位教师在 t 时间段是否监考 d 考场是为 1，否为 0 ；tdz：表示在 t 时间段 d 考场是否使用是为1，否为 0 ；tbdy：表示在 t 时间段课程 b 是否在 d 考场考试是为 1，否为 0 ；cbA：表示第 c 个专业是否有课程 b是为 1，否为 0 ；T ：表示安排考试的时间段，T=1,2， 12；模型的建立与求解问题一 在不能出现合考的情况下求解：1. 模型建立（1） 考试时间的分配假设未对有特殊限制的监考教师分配监考任务，因为没有特殊限制的监考教师有60人，每个考场需要两位
13、监考教师，所以同一个时间段最多有30 个考场进行考试，为了保证参加考试的人数尽可能的多，这 30 个考场我们取为 D21-D50 其中 D21-D40容量为45 人，D41-D50容量为 60 人，即每场考试可同时容纳1500 人进行考试，分别根据60分钟、90分钟、120 分钟总人数不能超过考场容纳人数的限制，可得如下线性规划模型：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 14 页7 12345678910111213141617181500 (45345623234223)3725xxxxxxxxxxxxxxxxx123578
14、9111314151617181500 (22433232)8400 xxxxxxxxxxxxxx3478910111215161500(22)2050 xxxxxxxxxx,1,2,.,18ixN i其中目标函数为181min,iiixxN，ix表示采用第 i 种考试模式所用的天数。（2） 考场安排首先引进 0-1 变量tbdy表示在 t 时间段课程 b 是否在 d 考场考试是取 1， 否取 0 ，d=1,2， 50。再引入 0-1 变量btB表示第 b 门课程是否在 t 时间段考试是为1，否为 0 ，并令0|1,1,2,.,100btbtbtyByBtT b。由于在 t 时间段 d 考场可
15、能用也可能不用， 于是再引进 0-1 变量tdz表示在 t 时间段 d 考场是否使用是为 1，否为 0 ，其中0,1,2,.,50tT d。由于目标是使在 t 时间段考场的利用率尽可能的高，也即所有考场的余量尽可能的少，所以目标函数为0501min()btdtdbtbdtTdyBv zRy。因为每门课程都要有考场， 时间段 t 内考场 d内的考生总数不能超过考场的总容量，所以可以建立如下整数线性规划模型：5011tbddybtbtbddtdyBRyv z0,1tbdy0,1tdz01,2,.,50,dtT其中目标函数为0501min()btdtdbtbdtTdyBv zRy（3） 监考教师的安
16、排监考教师的安排是一个分配问题，为了解决该问题先引入0-1 变量atdT表示第 a 位教师在 t 时间段是否监考 d 考场是为 1，否为 0 。由于一个监考教师在一个时间段至多只能在一个考场监考，所以在 t 时间段第 a 位教师至多只能在一个考场监考，即5011atddT。因为情况一的监考教师要求监考的场数不能超过2 场，所以精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 14 页8 05012,1,2,.,10atdtTdTa。因为情况二的监考教师要求监考的场数不能超过3 场，所以05013,11,12,.,20atdtTdTa。因为
17、每个考场的监考教师为2 人，tdz表示在 t 时间段 d 考场是否使用 是为 1，否为 0 ，则在 t 时间段第 d 个考场安排的监考教师应满足80012,1,2,.,50atdtdaTztT d。要保证各种情况下的教师监考场数尽可能平均，只需使监考次数最多的教师与监考次数最少的教师的差值最小即可，即00505011minmaxminatdatdtTdtTdTT，于是监考教师安排的数学模型如下：5011,1,.,80atddTa05012,1,.,10atdtTdTa05013,11,12,.,20atdtTdTa80012,1,2,.,50atdtdaTztT d0,1 atdT目标函数为0
18、0505011minmaxminatdatdtTdtTdTT2. 模型求解（1） 考试时间的分配模型求解用 lingo求解，程序见附录一，结果显示分别采用考试模式7、13、15的考试天数为 0.937、0.609 、0.430，共计 1.976 天。（2） 考场安排模型求解由于我们上述假设未对有特殊限制的监考教师分配监考任务，并且未将剩余的20个考场安排考试。再采用人工安排考场，充分利用剩余的考场容量合理分配将1的结果整数化 2 天即可。用 lingo求解，编写的程序如下附录三所示由于运行结果过于庞杂在此不再显示，考试安排详细结果见附表一。问题二 在允许合考的情况下，在问题一的基础之上求出期末
19、考试的最短时间由于受监考教师人数的限制，在同一个时间段最多可以有40 个考场考试，因此在允许合考的情况下应充分利用考场D16-D50 ，使考场容量尽可能的大。因而在问题一的基础之上加上下述条件即可：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 14 页9 00,1,2,.,15tdztT d（1） 考试时间的分配在问题一的基础之上，为了尽可能充分的利用监考教师资源，有特殊情况的监考教师也要进行监考，由于考试时间为90 分钟的课程较多，为了尽可能的增加每场考试的容量将监考教师 A1-A20分配给课程 B21-B80进行监考，以缩短考试时
20、间，约束条件如下：1235789111314151617181500 (22433232)2* 5* 303* 5* 458400 xxxxxxxxxxxxxx综上可建立如下优化模型：12345678910111213141617181500(45345623234223 )3725xxxxxxxxxxxxxxxxx1235789111314151617181500 (22433232)2* 5* 303* 5* 458400 xxxxxxxxxxxxxx3478910111215161500(22)2050 xxxxxxxxxx,1,2,.,18ixN i00,1,2,.,15tdztT d
21、其目标函数为181min,iiixxN（2） 考场安排在问题一考场安排的基础上建立如下的模型：50011,tbddytT0,1,2,.,50,btbtbddtdyBRyv zdtT00,1,1,2,.,50,tbdydtT00,1,1,2,.,50,tdzdtT00,1,2,.,15tdztT d其目标函数为0501min()btdtdbtbdtTdyBv zRy（3） 监考教师的安排在问题一监考教师的安排的基础上建立如下的模型：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 14 页10 5011,0,1,.,80atddTa0501
22、2,0,1,.,10atdtTdTa05013,11,12,.,20atdtTdTa80012,1,2,.,50atdtdaTztT d00,1 ,1,2,.,50,1,2,.,80atdTtT da00,1,2,.,15tdztT d其目标函数为00505011minmaxminatdatdtTdtTdTT3. 模型求解（1） 考试时间的分配模型求解用 lingo求解，程序见附录二，结果显示分别采用考试模式7、13、15的考试天数为 1.009、0.465 、0.357，共计 1.831 天。我们得出考试时间共用2 天，根据问题一的解法求解，在此不再赘述，具体结果见附表二。问题三 规定每个专
23、业一天只能考试一门课程，并且老师一天最多监考2 场，2场考试不能在同一时间段，其他条件不变，求期末考试的最短时间1. 模型的建立（1） 考试时间的分配设cbt为第 c 个专业第 b 门课程的考试时间，其中|1,1,2,.,50,1,2,.,100cbcbcbMIMAcb，为了使期末考试时间安排尽可能平衡，以便使学生可以更好地发挥，只要使同一专业不同考试课程最小的时间间隔尽可能的大即可，于是建立如下目标函数：211221maxmin(),cbcbcbcbbbttMIMI因为每个专业一天至多考一门，所以2112212,cbcbcbcbttbbMIMI ，又因为对于相同课程不同专业的考试时间相同，即
24、121212,c bc bc bc bttccMIMI。综上所述可以建立如下模型：2112212,cbcbcbcbttbbMIMI121212,c bc bc bc bttccMIMI1,cbcbcbtT tN MI目标函数为211221maxmin(),cbcbcbcbbbttMIMI（2） 考场安排、监考教师安排考场安排、监考教师安排模型同问题一中的考场安排、监考教师安排。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 14 页11 2. 模型求解用 lingo求解，方法同问题一，在此不再赘述，具体结果见附表三。模型评价对于本问题
25、，我们采用平均考场利用率来对模型进行评价，平均考场的利用率越高说明模型越好。 设平均考场利用率为_p 表示一天内各个时间段所有考场容量的利用率的平均值，则计算方法如下：10011501,表示时间段的个数。nbtbdtbttdtddR ypppnnV z经过对问题一到三的考试安排进行计算可知平均考场的利用率都在90% 以上，在这里不再一一计算。虽然模型都是按照在最短时间内考完所有的课程进行计算的，但其计算结果仅是个理论值，在实际的期末考试监考安排时上述模型得出的结果并不一定为最优，在实际的期末考试监考安排时应该将模型与实际情况相结合，这样才能到达最优的效果。各院系的工作人员在对期末考试监考安排时
26、，为了到达良好的效果应先根据模型进行计算再在得出的结果的基础上进一步根据实际情况做必要的改动，这样势必会减少工作人员的工作量，而且可以到达良好的效果，使考试安排更为合理。这样教师和同学都会对考试的安排感到满意，使考试可以顺利圆满的进行。参考文献1 谢金星，薛毅 . 优化建模与 Lindo/Lingo软件，天津大学出版社，2005 2 数学建模与应用，国防工业出版社3 姜启源，叶俊 . 数学模型第三版，高等教育出版社附录附录一min=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10+x11+x12+x13+x14+x15+x16+x17+x18; 1500*(4*x1+5*x2+3*
27、x3+4*x4+5*x5+6*x6+2*x7+3*x8+x9+2*x10+3*x11+4*x12+x13+2*x14+x16+2*x17+3*x18)=3725; 1500*(2*x1+x2+x3+x5+2*x7+x8+x9+x11+4*x13+3*x14+3*x15+2*x16+3*x17+2*x18)=8400; 1500*(x3+x4+x7+x8+2*x9+2*x10+x11+x12+x15+x16)=2050; 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 14 页12 x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+
28、x10+x11+x12+x13+x14+x15+x16+x17+x180; Global optimal solution found. Total solver iterations: 3 Model Class: LP Total variables: 18 Nonlinear variables: 0 Integer variables: 0 Total constraints: 5 Nonlinear constraints: 0 Total nonzeros: 77 Nonlinear nonzeros: 0 Variable Value Reduced Cost Row Slack
29、 or Surplus Dual Price 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 14 页13 附录二min=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10+x11+x12+x13+x14+x15+x16+x17+x18; 1500*(4*x1+5*x2+3*x3+4*x4+5*x5+6*x6+2*x7+3*x8+x9+2*x10+3*x11+4*x12+x13+2*x14+x16+2*x17+3*x18)=3725; 1500*(2*x1+x2+x3+x5+2*x7+x8+x9+x11+4*x13+3*x1
30、4+3*x15+2*x16+3*x17+2*x18)+975=8400; 1500*(x3+x4+x7+x8+2*x9+2*x10+x11+x12+x15+x16)=2050; x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10+x11+x12+x13+x14+x15+x16+x17+x180; Global optimal solution found. Total solver iterations: 3 Model Class: LP Total variables: 18 Nonlinear variables: 0 Integer variables: 0 Total co
31、nstraints: 5 Nonlinear constraints: 0 Total nonzeros: 77 Nonlinear nonzeros: 0 Variable Value Reduced Cost 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 14 页14 Row Slack or Surplus Dual Price 附录三Lingo 求解程序如下：model: sets: hang/1.6/:; lie/1.50/:v; zhong/1.100/:R; jz(hang,lie):z; mn(hang,zhong,
32、lie):y; endsets data: v=30,30,30,30,30,30,30,30,30,30,30,30,30,30,30,45,45,45,45,45,45,45,45,45,45,45,45,45,45,45,45,45,45,45,45,45,45,45,45,45,60,60,60,60,60,60,60,60,60,60; R=205,175,175,175,175,205,220,220,220,220,155,160,160,160,160,180,190,190,190,190,145,145,145,145,145,145,145,145,145,145,145
33、,145,145,145,145,175,175,175,175,175,175,175,175,175,175,175,175,175,175,175,110,110,110,110,110,110,110,110,110,110,110,110,110,110,110,130,130,130,130,130,130,130,130,130,130,130,130,130,130,130,75,75,75,75,75,95,95,95,95,95,110,110,110,110,110,130,130,130,130,130; enddata min=sum(mn:(sum(jz:v*z)-R*y); for(hang(t):for(zhong(b): sum(lie(d):y(t,b,d)=1); for(hang(t):for(zhong(b): sum(lie(d):(R(b)*y(t,b,d)-v(d)*z(t,d)=0); for(jz:bin(z); for(mn:bin(y); end 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 14 页