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1、数值分析第三版课本习题及答案第一章绪论1.设x0,x的相对误差为,求lnx的误差.2.设x的相对误差为2,求nx的相对误差.3.下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出它们是几位有效数字:*123451.1021,0.031,385.6,56.430,71.0.xxxxx=?4.利用公式求下列各近似值的误差限:*12412324(),(),()/,ixxxiixxxiiixx+其中*1234,xxxx均为第3题所给的数.5.计算球体积要使相对误差限为1,问度量半径R时允许的相对误差限是多少?6.设028,Y=按递推公式1nnYY-=)计算到100Y.(五位
2、有效数字),试问计算100Y将有多大误差?7.求方程25610xx-+=的两个根,使它至少具有四位有效数字.8.当N充分大时,如何求211Ndxx+?9.正方形的边长大约为100,应如何测量才能使其面积误差不超过12?10.设212Sgt=假定g是准确的,而对t的测量有秒的误差,证实当t增加时S的绝对误差增加,而相对误差却减小.11.序列ny知足递推关系1101nnyy-=-(n=1,2,),若01.41y=(三位有效数字),计算到10y时误差有多大?这个计算经过稳定吗?12.计算61)f=,1.4,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好?3-13.()ln(fxx=,求f(30)的值.若开平
3、方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等价公式ln(ln(xx=-计算,求对数时误差有多大?14.试用消元法解方程组101012121010;2.xxxx+=+=假定只用三位数计算,问结果能否可靠?文档视界数值分析第三版课本习题及答案数值分析第三版课本习题及答案mk-次多项式,并且()0(mlfxl+?=为正整数).11.证实1()kkkkkkfgfggf+?=?+?.12.证实110010.nnkknnkkkkfgfgfggf-+=?=-?13.证实1200.njnjyyy-=?=?-?14.若1011()nnnnfxaaxaxax-=+L有n个不同实根12,nxxxL,证实10,
4、02;,1.1()nknjknaknjjxfx-=-=15.证实n阶均差有下列性质:i)若()()Fxcfx=,则0101,nnFxxxcfxxx=LL;ii)若()()()Fxfxgx=+,则010101,nnnFxxxfxxxgxxx=+LLL.16.74()31fxxxx=+,求0172,2,2f?L及0182,2,2f?L.17.证实两点三次埃尔米特插值余项是(4)22311()()()()/4!,(,)kkkkRxfxxxxxx+=-并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限.18.求一个次数不高于4次的多项式()Px,使它知足(0)(1)PPk=-+并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差
5、限.19.试求出一个最高次数不高于4次的函数多项式()Px,以便使它能够知足下面边界条件(0)(0)0PP=,(1)(1)1PP=,(2)1P=.20.设(),fxCab,把,ab分为n等分,试构造一个台阶形的零次分段插值函数()nx?并证实当n时,()nx?在,ab上一致收敛到()fx.21.设2()1/(1)fxx=+,在55x-上取10n=,按等距节点求分段线性插值函数()hIx,计算各节点间中点处的()hIx与()fx的值,并估计误差.22.求2()fxx=在,ab上的分段线性插值函数()hIx,并估计误差.23.求4()fxx=在,ab上的分段埃尔米特插值,并估计误差.24.给定数据
6、表如下:试求三次样条插值并知足条件i)(0.25)1.0000,(0.53)0.6868;SS=ii)(0.25)(0.53)0.SS=25.若2(),fxCab,()Sx是三次样条函数,证实i)222()()()()2()()()bbbbaaaafxdxSxdxfxSxdxSxfxSxdx-=-+-?;ii)若()()(0,1,)iifxSxin=L,式中ix为插值节点,且01naxxxb=14.设在1,1-上234511315165()128243843840xxxxxx?=-,试将()x?降低到3次多项式并估计误差.15.在1,1-上利用幂级数项数求()sinfxx=的3次逼近多项式,使
7、误差不超过.16.()fx是,aa-上的连续奇(偶)函数,证实不管n是奇数或偶数,()fx的最佳逼近多项式*()nnFxH也是奇(偶)函数.17.求a、b使220sinaxbxdx+-?为最小.并与1题及6题的一次逼近多项式误差作比拟.18.()fx、1(),gxCab,定义()(,)()();()(,)()()()();bbaaafgfxgxdxbfgfxgxdxfaga=+?问它们能否构成内积?19.用许瓦兹不等式估计6101xdxx+?的上界,并用积分中值定理估计同一积分的上下界,并比拟其结果.20.选择a,使下列积分获得最小值:1122211(),xaxdxxaxdx-?.21.设空间
8、10010121,spanxspanxx1?=?=,分别在1?、2?上求出一个元素,使得其为20,1xC的最佳平方逼近,并比拟其结果.22.()fxx=在1,1-上,求在2411,spanxx?=上的最佳平方逼近.23.sin(1)arccos()nnxux+=是第二类切比雪夫多项式,证实它有递推关系 ()()()112nnnuxxuxux+-=-.24.将1()sin2fxx=在1,1-上按勒让德多项式及切比雪夫多项式展开,求三次最佳平方逼近多项式并画出误差图形,再计算均方误差.25.把()arccosfxx=在1,1-上展成切比雪夫级数.26.用最小二乘法求一个形如2yabx=+的经历公式
9、,使它与下列数据拟合,并求均方误差.28.在某化学反响里,根据实验所得分解物的浓度与时间关系如下:用最小二乘拟合求.29.编出用正交多项式做最小二乘拟合的程序框图.30.编出改良FFT算法的程序框图.31.现给出一张记录4,3,2,1,0,1,2,3kx=,试用改良FFT算法求出序列kx的离散频谱kC(0,1,7).k=L第四章数值积分与数值微分1.确定下列求积公式中的待定参数,使其代数精度尽量高,并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度:(1)101()()(0)()hhfxdxAfhAfAfh-+?;(2)21012()()(0)()hhfxdxAfhAfAfh-+?;(3)1121()(
10、1)2()3()/3fxdxffxfx-+?;(4)20()(0)()/1(0)()hfxdxhffhahffh+-?.2.分别用梯形公式和辛普森公式计算下列积分:(1)120,84xdxnx=+?;(2)1210(1),10xedxnx-=?;(3)1,4n=?;(4),6n=.3.直接验证柯特斯公式具有5次代数精度.4.用辛普森公式求积分1xedx-?并计算误差.5.推导下列三种矩形求积公式:(1)2()()()()()2baffxdxbafaba=-+-?;(2)2()()()()()2baffxdxbafbba=-?;(3)3()()()()()224baabffxdxbafba+=-
11、+-?.6.证实梯形公式和辛普森公式当n时收敛到积分()bafxdx?.7.用复化梯形公式求积分()bafxdx?,问要将积分区间,ab分成多少等分,才能保证误差不超过(设不计舍入误差)?8.1xedx-,要求误差不超过510-.9.卫星轨道是一个椭圆,椭圆周长的计算公式是Sa=,这里a是椭圆的半长轴,c是地球中心与轨道中心(椭圆中心)的距离,记h为近地点距离,H为远地点距离,6371R=公里为地球半径,则(2)/2,()/2aRHhcHh=+=-.我国第一颗人造卫星近地点距离439h=公里,远地点距离2384H=公里,试求卫星轨道的周长.10.证实等式3524sin3!5!nnnn=-+-L
12、试根据sin(/)(3,6,12)nnn=的值,用外推算法求的近似值.11.用下列方法计算积分31dyy?并比拟结果.(1)龙贝格方法;(2)三点及五点高斯公式;(3)将积分区间分为四等分,用复化两点高斯公式.12.用三点公式和五点公式分别求21()(1)fxx=+在x=,和处的导数值,并估计误差.()fx的值由下表给出:第五章常微分方程数值解法1.就初值问题0)0(,=+=ybaxy分别导出尤拉方法和改良的尤拉方法的近似解的表达式，并与准确解bxaxy+=221相比拟。2.用改良的尤拉方法解初值问题?=取步长h=计算)5.0(y，并与准确解12+-+-=-xxeyx相比拟。4.用梯形方法解初
13、值问题?=+,1)0(;0yyy证实其近似解为,22nnhhy?+-=并证实当0h时，它原初值问题的准确解xey-=。5.利用尤拉方法计算积分dtext?2在点2,5.1,1,5.0=x的近似值。6.取h=，用四阶经典的龙格库塔方法求解下列初值问题：1?=,0)0(,1=-=yyy取,181.0,0,2.010=yyh计算)0.1(y并与准确解xey-=1相比拟。10.证实解),(yxfy=的下列差分公式)34(4)(211111-+-+-+=nnnnnnyyyhyyy是二阶的，并求出截断误差的首项。11.导出具有下列形式的三阶方法：).(22110221101-+=nnnnnnnybybyb
14、hyayayay12.将下列方程化为一阶方程组：1;1)0(,1)0(,023=+-yyyyy2;0)0(,1)0(,0)1(1.02=+-yyyyyy3,)(,)(2233yxrrytyrxtx+=-=-=.2)0(,0)0(,0)0(,4.0)0(=yyxx13.取h=，用差分方法解边值问题?=+.68.1)1(,0)0(;0yyyy14.对方程),(yxfy=可建立差分公式),(2211nnnnnyxfhyyy+-=-+试用这一公式求解初值问题?=,0)1()0(;1yyy验证计算解恒等于准确解.2)(2xxxy-=15.取h=用差分方法解边值问题?=-=-+.2)1(,1)0()0(;
15、363)1(2yyyxyyxyx第六章方程求根1.用二分法求方程012=-xx的正根，要求误差3.为求方程0123=-xx在5.10=x附近的一个根，设将方程改写成下列等价形式，并建立相应的迭代公式。12/11xx+=，迭代公式21/11kkxx+=+；2231xx+=，迭代公式3211kkxx+=+；3112-=xx，迭代公式1/11-=+kkxx。试分析每种迭代公式的收敛性，并选取一种公式求出具有四位有效数字的近似根。4.比拟求0210=-+xex的根到三位小数所需的计算量；1在区间0,1内用二分法；2)用迭代法10/)2(1xkkex-=+，取初值00=x。5.给定函数)(xf，设对一切
16、)(,xfx存在且Mxfmkx?，试问怎样将)(xx?=化为适于迭代的形式？将tgxx=化为适于迭代的形式，并求x=弧度附近的根。7.用下列方法求013)(3=-=xxxf在20=x附近的根。根的准确值*x1.，要求计算结果准确到四位有效数字。1)用牛顿法；2用弦截法，取9.1,110=xx；3用抛物线法，取2,3,1210=xxx。8.用二分法和牛顿法求0=-tgxx的最小正根。9.研究求a的牛顿公式,0),(2101+=+xxaxxkkk证实对一切axkk=,2,1且序列,21xx是递减的。10.对于0)(=xf的牛顿公式)(/)(1kkkkxfxfxx-=+，证实2211)/()(-=kkkkkxxxxR收敛到)(2/()(*-xfxf，这里*x为0)(=xf的根。11.试就下列函数讨论牛顿法的收敛性和收敛速度：文档视界数值分析第三版课本习题及答案数值分析第三版课本习题及答案