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1、数值分析第三版答案第一章习题解答1.在下列各对数中，X是精确值a的近似值(1)a=n ,x=3.1(2)a=1/7,x=0.1 4 3(3)a=Ji/1 0 0 0,x=0.0 0 3 1(4)a=1 0 0/7,x=1 4.3试估计x的绝对误差和相对误差。解：(1)e=|3.1-n|0.0 4 1 6,(2)e=I 0.1 4 3-1/7 I 0.0 1 4 3(3)e=|0.0 0 3 1-n /1 0 0 0|0.0 2 7 9(4)e=|1 4.3-1 0 0/7 I 0.0 1 4 36 r=e/|x|=0.0 1 4 36 产 e/|x|*0.18 r=e/|x|4 0.98 r=
2、e/|x|0.0 0 12 .已知四个数：XF2 6.3,x2=0.0 2 5 0,x3=1 3 4.2 5,XFO.O O I。试估计各近似数的有效位数和误差限，并估计运算尸X,X2 X 3和口尸X 3 X,/X I的相对误差限。解：x i=2 6.3n=38 XFO.0 58 rx i=8 x i/|x i|=0.1 90 1 1 X 1 0 2X 2二0.0 2 5 0n=36 x2=0.0 0 0 0 56 rX 2=6 X 2/I X 2 I =0.2X1 0 2x3=1 3 4.2 5n=58 x3=0.0 0 58 rX 3=8 X 3/|x3 1=0.3 7 2 X 1 0-4
3、X 4=0.0 0 1n=l6 X 4=0.0 0 0 55 rX 4=5 X 4/I x4 1=0.5由公式：er(u )=e(u)/|u 1=1/1 u|Sni=i|d f/d xi|8 X ier(ui)=1/1 u i 1 X 2 X 3 6 X 1+X 1 X 35 X 2 +x i X 2 8 X 3=0.3 4 4 6 8/88.2 6 92 7 5=0.0 0 3 90 4 9er(P 2)=1/I U 2|-X 3 X&/x2i 8 x i+X,/X i 3 X 3 +X 3 /X i 8 x4=0.4 97 0 73 .设精确数a 0,x是a的近似值，x的相对误差限是0.2
4、,求In x的相对误差限。解:8rS S i=i I 3 f/9x i|8 X i=l/l n x 1/x 8 x=8 rx/l n x=0.2/In x 即 3 r0.2/In x4 .长方体的长宽高分别为5 0 c m,2 0 c m和1 0 c m,试求测量误差满足什么条件时其表面积的误差不超过1 c m2.解：S=2 (x y+y z+z x)8 rS=(x+y)8 z+(y+z)8 x+(z+x)S y /I x y+y z+z x I8 x=8 y=8 z8 rz=(x+y+z)8 x /|x y+y z+z x I 18 x j),%=0(t j)C=4 5 贝均=七 也*%.=
5、0(i /)k=l上三角阵对矩阵乘法封闭。以下证明：A为正交矩阵，5 为正交矩阵，A,B eR lxnAAT=ArA=E,BBT=BTB=E(AB)(AB)T)=ABBTAT=E,(AB)T(AB)=BrArAB=E.A5为正交矩阵,故正交矩阵对矩阵乘法封闭。(2)A是n X n的正交矩阵/.A A1=AA=E 故(A-1)-1=A/.A-1(A-1)-=(N)=E 故 Ai 也是 n X n 的正交矩阵。设A是非奇异的对称阵，证V也是非奇异的对称阵。A非 奇 异.A可逆且N非奇异又 A=A (A-1)=(AT)-1=A-1故N也是非奇异的对称阵设A是单位上(下)三角阵。证V也是单位上(下)三
6、角阵。证明：A是单位上三角阵，故|A|=1,.1A可逆，即N存在，记 为(bQ由 A A=E，则=%（其 中%=0 j i 时，%=1）六 故 b=l,bi=0(nWj)类似可得，b“=l(j=ln)bj k=0(kj)即N是单位上三角阵综上所述可得。Jr、中的子集“正交矩阵”，“非奇异的对称阵”和“单 位 上(下)三角阵”对矩阵求逆是封闭的。2、试求齐次线行方程组Ax=0的基础解系。100A=-210111-40-4105解：A=-210-21004-4-4-55-40-4故齐次线行方程组Ax=O的基础解系为7 =-8-4410-21084-4-14-55-44-41-55145-50110
7、0100001111105100101100010001，%=3.求以下矩阵的特征值和特征向量。Ai=3 45 2Ai2-1-12-12-112解：Ai=3542,/I I-Ai）A-3-5-4/i 2A2-5 2-1 4 =0.4=7,A,=2解(4 J-A)x=0 得 B =-4、5,4、解：,:解(/h l-A)x=0 得 P?=.,.a 47)的基为6=1 2 11送=2 4-3 0/和%=215r由Ax=0可解得x=2 1 0.N(A)的基为 2 1 0 0/。3 22 31 0035、已知矩阵4 =,试计算A 的谱半径夕(A)。解：/zl(2)=det(2Z-A)=-2-1-2丸-
8、30-10九一3=(4-3)(丸 2一6九 +4)=04 34ax=3+V5 p(A)=3+V5.6、试证明 1,：22,2+0”/2-&1 是上 2中的一组基。，其中E11=1 00 0，$2=000 01 0%,初2=0 00 1解：En=1 0、0 0,12=7，E21 n 0J，12 一 21=-01弋1、00、0,22=0,00、1令幺 11+42月22+43(片12+21)+44(：1 2 一 七21)=ki#3 一 k&因此 EU+A：2 E 2 2 +A 3(E1 2+E2 1)+A：4(E1 2-E2 1)=O =()ki+k4七,0、0,70 0、0 0,k=k2=k i=
9、k i=对于任意二阶实矩阵有4=即 ”+(演2+瓦)+1(“2,+4 2 2 2 2 11,22,12+E 21,12-21 是R中的一组基。7、在 R中求向量x=(1,2,1,I)，在 基 S=(a”a2,a3,a。下的坐标，其中c n=(1,1,1,1)-1,1)T,C X 2=(1,1,-1,-1)a 3=(L -1,1,-1)T,ex4=(1,-1,解：由 x=sy 得 y-=sTx=111J11-1-11-11-11-1-114_44-4、721J78、在心(f)中向量舄(f)=l-f+2，取基S=f+l,f+2,d ,求舄在基下的坐标。解：尸 2)=1-+2/,基S=1+1+2,令
10、尸2 (t)=kl(t+l)+k2(t+2)+k3t2贝!I有勺=2,k k2=-,k、+2kI解 之 儆 i=3,k2=2,勺=2。/.)在基S=t+l,f+2,产 下的坐标为(-3,2,2)，B 2 ,1 0 1尸3 =(0,0,1 ,1 1 1 求从S,到S2的过度矩阵；设已知u=(2,1,2)Te R3求U在S i下的坐标和u在&下的坐标。解：A=Si-S2=1,11 0 Yp0 1 0i J bA f-21 =-1V I 2-1-11-r0001 对11=(2,1,2)T-2、在S i下，由11=$或可求出x=Si u=-1在Sz下,由U=SzX可求出x=S2-u=1 11 0.已知
11、 A=3 -11 5，求 d i m(R(A),d i m(R(AT),d i m(N(A).解：A=3 -1-3 4d i m (R(A)=d i m (R(A，)=r (A)=2d i m(N(A)=n-r=4-2=211、已知A=spa n l,e*,e r ,D=色 是X上的线性变换,求dx D关于基S,-1,2e、,3葭的矩阵A；D关于基S尸1,(e%r)/2,(ex-e x)/2的矩阵于解:由D x=Si A,设A=X，X，X D (1)=0,0=S!X=0 1+0 2 e*+0 3 e X l)=(0,0,0)TD (/)=/,e*=Si X =0 1+2 e 0 3 e,X=(
12、0,-,0)T2 2D (e-x)=-e-x,-e-x=Si X =0 1+0 2 ex+f-|j 3 e-x,X =(0,0,1)T01-2ooooA=0 0 0类似的可得D关于基S2=1,(e+e)/2,(e-e)/2的矩阵B为0 1-1、0 1 112、已知线性变换T：P2(t)Tt(t),定义 T 为 T(P(t)=JPO)0df求线性变换T在基 偶(Si=l,t,t2,S产l,t,t2/2,ts/3)下的矩阵。解：设所求矩阵为A,则有T S,=S2AT(1)邛 力=0t2 t3=0 1 +1 f+0-F 0 2 3T(t)=tdt=0 1 +0,f+1-F 0,-/2 2 3t(t2
13、)=j?力0T3 2 3t t t=0.1+01 +1 +.3 2 30 0 0、1 0 0/.A 0 1 0、0 0 1,13、设Ae IT,定义从R至ij R的变换T为T：xe R一尸Ax xe R 试证明T是线性变换。证明：Vxe R y e RT(x+y)=A(x+y)=Ax+Ay=Tx+Tye RVke H,有T(H)=A-kx=kAx=kT(x)R10，A =1线性变换 T：RfR?定义为 Wx=(xi,x2,x3)T 6 R3,Tx=(x2+x3，X i+x3)T6 R2.求 T在(S i,S2)下的矩阵A；设u=(2,-3,2)Te R3,U在&下的坐标和Tu在Sz下的坐标。解
14、：由 题 知，T(Si)=S2AT()=(I i)r7(%)=(2 I)，T(%)=(1 2厂 X =s,)=fl1 1JY 7J1 2 对u=(2,-3,2),在S i下”_ 仅 1 T、2厂I 1 1 2,由”=s/可求出 x=(-1-2 3)7九，=(一2 3)，在 Sz 下由 Tw=s2y 可求出 y=sT=(-5 3)y15、求由向量0产(1,2,1)T与。2=(1,-1,2),张成的R3的子空间X=span1)2的正交补X，(即所有与X垂直的向量的全体)。解：令A=QI62)解=O 得 X-16、试证明若a1，a2,，a j是内积空间H中不含零向量的正交向量组，则a2,a,必线性无
15、关。证明：假设存在占存2,先使占4+4 2%+尤a =o两边与a,作内积得k j(a,a J =0,(i=1,2,/)又(氏)。0(因 名。0)故 匕=0故a”c n,，a,必线性无关。17、计算下列向量的 I I x II-,|x|i和|x|z。x=(3,-4,0,3/2)1 x=(2,1,-3,4)T x=(sink,cosk,2k)T k 为正整数。解：I I x II e=max|x=4IM=t k l =8.5i=I1 n、耳凡=1 厂=5.2202C=i 7 II x II 8二 m a x /=41 /n 1 1I N =tW|=10/=!(nM=54772k f=l J II
16、x II c o=m a x|x.|=2k闻=Z|=M n%|+|cosH+2”/=1i =i J1 8、在C明切中，试证明(1)II f I L=max I/(x)I 为f(x)的范数。x (a,lb 1(2)l l/l l2=(J/2(f 辿)2 为x)的范数。a证明:1、(1)显然 l L N O,l L=O =/(x)=O(2)II kf L=max kf(x)=k I max f(x)=k I I Lxeaj)xwa,b(3)I +gIL=max f(x)+g(x)xea,b4 max l/(x)l +max I g(x)1=1 1 f I L +I Ig I Lxwa,b xEa,
17、b，Il f I L=max I f(x)I 为/(x)的范数xea,b2、正 定 性N O,则1 1 P 0b 1且(J U(f)d f)2=O=f()=0ab 1(2)齐次性 VA e F,l l kf l l2=(k2ft)dt)2=1 k l l l/l l2a(3)三角不等式b h b hWf+g l l22=f(/(O +g(t)2dt=+2 J/(f)g(f)市+J g2(f)由 l l/l l22+211/l l2ll g l l2+II g l l22=(l l/l l2+II g I I J.J l/+g ll2 lah.1=53I I A lloo=max Vla.71
18、=51SS3 T lJJ=1IIAIIF=(|%4=4 已知向量 x二(1,2,2)T,y=(0,3,4)T 0 试构造 Huuseholder 阵 H 使 H x 为 y的倍数，即 H x=ky。给出变换阵H和系数k。3解：由 llxll2=IIAyll2 得A=g52 l it；I I2/-2 x-61521252、5225452525719 22H=I-2UUTl it/I I2=I 2x-17419T225361I T418I T541825484410-95-1叫74-418-418-4 9,25 J1 3 429、对矩阵A=31 2，用 Huuseholder变换将A 相似约化为三
19、对角阵，即 HAH为三对4 2 1角阵。解：将向量x=(l,3,4)，变换为x=(l,-5,0)T,则构造H 阵为H=I-2UUTI I I/I I2640 0、32=032 16J003-54-504-535 JHAH=-5、0-5 0 2.92 0.560.56 0.92,3 0.已知矩阵A二112-1-1-1,使用S c h m id t 正交化法和H u u s e h o ld e r 方法对A 正交分解A=Q Re解：A=112-1-1-1S c h m id t 正交化V2=u2+ket,k=-(M2J=1V6M,/.V2=M2+9 j =V-3_1313 -i-2-H-r i、
20、一 耳V31V3,=6匕llw13_LV6_L2_V6fI一一上布1瓦后。=22/04761耳、77 用 H o u s e h o ld e r 变换法先将r12,变为-店00/U=x-y，则构造H阵为=QRUUTIll/II216+y/h7 +2#1+V61+V6 12(1+76)22(1+76)247-(1+V6)-(1+V6)-2(1+76)=-广(1+V6)6+V65+yfb-2(1+厢-22+V67HA=6+V6 V600-(1+V6)(1+y/b)2(1+yfh)4、需_26+V62+C6+A/6 y(1+6)5+V6-2(l+V 6)V i12+V6(2-1、-1T,=RA=Q
21、R=HR=广 6+V6(1+V6)-(1+V6)-2(1+76)-(1+V6)5+A/6-2(1+厢、-22+V6004忑26+A/62+V66+Vb,第三章习题解答1 .试讨论。取什么值时,下列线性方程组有解，并求出解。(1乂axx+x2+x3=1xx+ax2+x3=1+%=1axx+x2+x3=1x,+ax2+x3=X+x2+ax3=a2解：A=a 1 1 11 a 1 1经初等行变换化为000 01 00 11/(4+2)1/(+2)1/(“+2)当QW 2时，方程组有解，解为x=(1 11 於经初等行变换化为010000-(a+1)/(+2)0 1/(+2)1(2+2 j设A的逆为B=
22、(%),%=去，其中Aj；为仁的代数余子式，由于4=(%)是上三角方阵，所 以&=0,i j 时，/=T =0,所以8 为上三角方阵。A5 .用 Ga u s s-J o r d a n 法求解下列矩阵的逆矩阵。1 2 0(1)A=2 1-13 1 1解(1)12010o100-0.250.250.2500 21-10100100.625-0.125-0.12503110010010.125-0.625 0.3750-0.25 0.25 0.25000.625-0.125-0.12500.125-0.625 0.37506.以已知矩阵A=251561546，试对A 进行c h o le s k
23、 y 分解A=L L，并利用分解因126子阵L求 A 的逆矩阵A =(L)T(L1).j=2 时，/2 2=J%-G =1 00*33hi00M2,13,22 230/33I 32=I 31I 21)/I 32=30011-37.已知线性方程组(1)2-100-123-31试用C h o le s k y分解A=4 G求解问题（1）,用对称分解A =LDl!求解问题（2）。解:2-1 0-1.4142 0 0-1.4142-0.7071 0 A=-1 2-1=-0.7071 1.2247 00 1.2247-0.8165=LLT0-1 2_0-0.8165 1.15470 0 1.1547解L
24、y=b,得y=2.12 13,-1.2 2 4 7,-0.0000T解Lrx=y 得x=L i,-i.o T(2)A=-5-4 1o-1-45=-1.0000-0.80000.2000_ 001.0000-1.14290.35710 00 01.0000 0-1.3333 1.0000-4106-44 61-4-5.0003000 1 Fl.0000-0.8000 0.2000 002.8001000 1.0000-1.1429 0.3571Z：T n i1002.143000 0 1.0000-1.3333LU L000 0.8334J 0 0 01.0000解 L z=b,解 D y=z,
25、解 L x=y得得得z=2.0000,0.6 000,-0.7 14 3,0.8 3 3 4 1Ty=0.4 000,0.2 14 3,-0.3 3 3 3,0.9 9 9 9 Tx=l,1,1,1 T8 .设A是对称正定阵，试证明不选主元的C h o le s k y分解4=4 4的计算过程是数值稳定的。证明：于是有Ij k -a 打 j=2,3,.,；%=1,2,.,j.j =1,1u=J a”，/“=a /,z =2,3,综合以上得到结论：在C h o le s k y分解中，不选主元的计算分解式的元素鼠6 =2,3,，浅=1,2,.,；）的数量级不会增长，能得到控制，且。（尸2,3,.
26、,）恒正，因此，这是一个节省储存且计算过程是数值稳定的方法。9 .求解以下三对角方程组(1)2-10020-1200-1X 人2X32-22-100-120002解:A=00-12-100200-12=L U00-0.50 12-100 -10o o1.4 9 9 9-100-0.6 6 6 710 001.3 3 3 3-100-0.7 51 J001.2 5解 L y=b,-0.3 3 3 3,-1.2 5 0 0 T解 Ux=y得得y=l.0 0 0 0,2.4 9 9 9,x=l,1,-1,-12解：A=00-1200200-121-0.5000100001-0.502-11.5000
27、-12000-11.5=L U解 L y=b,解 Ux=y得得y=l,2.5,-2,-2 Tx=0.7 7 7 8,0.5 5 5 6,-1.6 6 6 7,-1.3 3 3 3 T1 0.已知A为块三对角阵,A非奇异，A=Bl G&B?C24C iB.n其中与均为方阵（i =1,2,，帆），设4有分块LU分解式归C,4 B C2Rm L 加 i试证明：(1)与=4 (i=2,3,.,m)(2)Ll=Bl 5 =ElCl(3)(=Bj-AU(i=2,3,.,/)(4)C 7,=7C,(i=2,3,.,m)证：,j 5=右,A2=R2,C=LU,Bj=&q_i+=R”G=LjU c:.4 =17
28、,=LCl&=A(i=2,3,m)Li=Bi AjUj_l(i=2,3,.,.,/n)Uj=万 G(t=2,3,2-1 0-1 2-111.试求解周期三对角方程组c ,.0-1 22 0-1解：l/=(-2,0,0,2)r,V=(l,0,0,-l)r解A W =d=1,2,-2,1)1得火=.4545 0.8182-0.8182-0.4545解TZ=U =62,0,0,2)，得Z=(-0.5455-0.1818 0.1818 0.5455)T(v w 、x=W-|1 +(vrzJz=(-5.0000-1.0000 1.0000 5.0000-1 212.已知4=3 4，试计算c o d(A)”
29、c o d(A)2，c o d(A)8解：cond(A)l=21,cond(A)2=14.9330,cond(=2113.已知=1，为正整数，求A 1,c o d(A“)8,l im c o d(A“)8.)一 8n_解：AJ1=c o d(A)8 =4 n,l im c o d(A)8 =o oT 814 .设方程组版=0,其 中A=1 1 ,/,=1 1 1 J 1 计 算c od(A)s，判断方程组是否病态。用全主元消元法求解，结果如何？用I O,除第一个方程所得方程组是否病态?解：p L=105+1 又 A-1 -1051-105-1 1A-1 +105-1+1051c m/（A）8=
30、HA-k（i+m1 +105（1 +1。5）2X-=-7-）1-1+105-1+105该方程组是病态用全主元消元法求解。x2 _ 1051X1山、(1+1。5)2二1 7 T祈)1出现大数吃小数的现象，结果失真。用10 除第一个方程得：A尸KT 1M I L =2A:L=c。或A)8=Y方程组是良态的。15 .设n阶对角矩阵A=diag(l,1 0 ,1 0 T),试 计 算d e t(A)和c on d(A)z结果说明什么。解：det(A)=lOn+i,cond(A)2=1行列式小并不能说明矩阵是病态的。16 .已知元=(2.0,0.1)，是以下方程组的计算解，x*=(1.0,1.0),是精
31、确解，二*+：/=：求剩余，。火，|4,匕 二 并 分 析 此 结果。%+5/=9 1 M L 1解：(1)r=b Ax=(6,9)r 3 34 52 01 0=(-O.3,O.5)r(2)5/3-1-4/3 1kll,=|+r3M IL =8cond(A1=8x3=24(3)-0.30.5Iki=-8 IW L=15/=0.053IM,15(4)x-x*=2.0 0.1 1.0 1.01r=1.0-0.9r=1.9x=2X XHL1 9=0.952由计算可知道，该方程组是病态的，相对剩余量为0.053,相对误差为0.95。由于相对误差很大，所以相对剩余量虽小，并不能反映近似解云的近似程度。1
32、 7.有 线 性 方 程 组 其 中 A=2-1 70 3 100 4 5,b=1071试对A 作 QR分 解（不限方法）,解：并利用A 的QR分解求解此方程组。解 Qy=b,解 Rx=y100Q=0 02-0.6-0.8,R=0-0.8 0.60得y=10-5得 X=1-1-5r1T1 8.设AeR非奇异，有扰动宓使才=4+宓，若元是方程组无f=b 的解，x是方程组.A r =8 的解，试证明:卜-利 c od得证明:A x=b j(A +&)H =b ,八A x=b A x=bn A又 一 A x =-8x=A(x-x)=-SA x n (元 一 x)=(-1所以Ja co b i迭代法发
33、散。Ga uss-Se id e l 迭代法：00BG=(D-L)U=10/315/2d e O-B(;)=-10/34 15/2=4(/1-15/2)A0.4=0,4 =15/2 （舔）=葭、|=15/21所以-Seidc/迭代法发散。交换次序，则A=9-43-10:.D =0-100 0-3 090U =0040L=用Ja co b i迭代法:Bj=D-1(L+U)03/104/90det(/U-B JA-3/10-14/924-2/1 54 2=V2/15 ）=|4M =V i所以J a c%迭代法收敛。Ga uss-Se id e l 迭代法：B c,=(D-L)U=0 4/90 2/
34、154 -4/9 ,d e t(力-舔)=2-2/15)U X Z/1 J4 =。，4=2/15-m)=4 a x =2/15=11.3865J aco bi 迭代至少需要迭代1 2 次。k 0-0.1000-0.1500BG=0 0.0125-0.1063,0 0.0158-0.0013ln(x”=9.3629ln|W|)G au ss-S ei del 迭代至少需要迭代1 0 次。2 2 .根 据 G au ss-S ei del 迭代格式用松弛因子。加速收敛的方法，同样对J aco bi 迭代法也用松弛因子0加速，给出迭代计算的分量形式和矩阵表达式。解：用J aco bi 迭代法计算了(
35、k+l)_ an 丫(左)an2 丫 伍)。，吁 1 (A),2-X-X2 Xn_x+nn a nn a-a-n-n-ann(2)引入松弛因子磔球+D =0 x+”+(l-0)x；3 i=1,2,.,整理得分量形式X严 7+依产丝,2,aii j=l矩阵形式”+D=S x(*+g迭代矩阵 B =D-D-d)A)右 端 向 量g =a)D lb2 3.已知A=a试分别导出求解A x=匕的J aco bi 迭代法和G au ss-S ei de/2a 1迭代法收敛的充要条件。解：1 a A =-a0-2a0-0U =00L=0用Ja co b i迭代法:B j=D (L+U)0 -a-2a 0de
36、t(-B j)=2aA2-2a24.2 =土西a|/?(B7)=|2max|=V2|6!|l 时方程组收敛，条件是：一&/2 a五/2Ga uss Se id e l 迭代法：1 0 -aB 行(D-L)-1U=,0 2 a2 _det(2/-BG)=a 2=2(A-2a2)，.4 =0,4 =2a2“(练)=|入|=2 2 1时方程组收敛，条件是：-拒/2 0，试证明：当a 满足0a x(M)=(/-aA)x(k)+ab由于4，演,4是A的特征值,则/-凶的特征值为1-阴,1-成2，,1-矶当 p(6)=AmM|=max|l-cd,.|1 时收敛,止匕时则有：0 叫2n0&一 方),(4=0
37、,1,.)2 5.2J求解Ax=。问a取什么实数可使迭代收敛，且协何值时，收敛最快。2 3 2解：(1)|2/-A|=22-5A+4=(2-l)(2-4)1 A-2A的 特 征 值 为 4 =1,22=4,迭 代 矩 阵 B=/+a A的特征值为%=1+a,fi2=1+4a,|1+ar|-l l +a -2 a 0,|1+4a -1 1+4a -a 0,当-1 a a=当 a=-12时，收 敛 最 快。2 6.设A eR X 是严格对角占优阵，试证明用S 0 R方法求解Ax=4取0 。1时是收敛的。证明：SOR迭代法的迭代矩阵为=(0-a)LYx(以/+(1-a)D)反证，设蜃有特征值风2 1
38、,由纥/=方程组(4/-B(i)x=0有非零解,于是有det(A/-8。)=det A/-(D-coL)(dU+(1-a)D)=0上式可改写为 det(D-oL)T det(2(O-a)L)-(oU-(1-a)D)=0=det(2+ty-l)-2tyL-d)=0,“c kco G)f A=det(D-L -U)=04+。1 4+。1设 4=a+，v|2|1,:.a2+b2 1(2+Z2)(l+fi?)=(2+Z2)+(a2+62)fi?N a+0 2 2M 1+0 =2n+(。+1)(a2+b2)(a)2-1)2a(0-1)+(0-1/a)2(a2+b2)a2+b2+2a(a)-l)+(i)-
39、l)2=(a+a-l)2+b2苏 +从)1(a+(D-l)2+b2-即 -l A+a)-l故项的特征值H I 1,即p(5。)1,所以S O R法当0 =(3 =r =(3 l)7%=5。),r(0)/(A P),P )=0.3 4 4 82 9X=x()+&P =，(3 l)r=(1.0 3 4 5,0.3 4 4 8)，k=l,r(l)=r(0)-a(APw=(0.5 86 2,-1.7 5 86/&)=(川/)=0.3 4 3 6p“)=r +4 尸=(1,6 1 7 1,-1.4 1 5 0)rax=(r/)/(A P，P(D)=0.3 2 2 2x(2)=x(1)+axPm=(1.5
40、 5 5 6,-0.1 1 1 1/2 9 .试证明对于最速下降法，相邻两次的搜索方向是正交的，即(川川,*)=0证明：r(k+i)=b-A x(k+i)=b-+akrik)=b-A x(k)-akA rik=r(k)-akA rik)/.(r(t+1 r(i)=(r(k,rw)-ak(A rik),r(k)=03 0 .已 知 一 组 线 性 无 关 向 量 ，=(0,1,1)由此向量组，按S c h m i dt正交化方法，求一组对应的A-共筑向量组，其中-3 1 0-A=1 3 10 1 3解:V,=)=(-l,l,l)r,V2=“2+&1，确定丸使(4.#1)=，4=-(A也匕)#=-
41、(4“2，匕)(0.3333 0.6667-0.3333-(Av,v,)(Av,v,)令 匕=3-41-42,确定4，4 使(4匕，匕)=0，(4 匕，匕)=，v,=u,-(A%)匕吗?.)%=(1.5000-1.0000 1.5000),(4匕,匕)(AV2,V2)第四章习题解答1、求下列矩阵的满秩分解。解：因为A I的秩为2,可求出满秩分解为A=BlCl=01201 F i o o0|_0 1-11又 因 为 的 秩 为 2,可求出满秩分解为0A2=B2C2=102 1-2 30 4 1 12、根据定义求下列矩阵的广义逆A+。4 =1 22 4A2 =0201010 10-1解：（1）先
42、求 出 的 一 个 满 秩 分 解。因为A1的秩为1,可求出满秩分解为A=G=：1 2于是有居+=（3/修尸2G+=G，（C ，）T=：；最后得AJ=CJJ=-1 1 25|_224（2）先求出人2的一个满秩分解。因为4 2的秩为2,可求出满秩分解为1 0-八 0 11 0 0一4=叫。2=A+A A+A=A+A。4、应用逐列递推法求以下矩阵的广义逆矩阵。1-1 3-A=1 3 22 2 5解：将A分块a2 4，其中a1=l 1 2,%=-1 3 2，%=3 2 5 r.(1)k=i,取A的 第 一 列 名=口 12 r.4=/=1 1 27；4,+=215O 0.2415 0.02660.0
43、314 0.0097 0.0411于是得至5=&+=-0.2150 0.2415 0.02660.1401-0.0338 0.10635、用广义逆矩阵求解如下矛盾方程组。-2x1+x2+x3=1 xx 2X2+x3=-2x,+x2 2X3=4解：A=先求出A的一个满秩分解。因为A的秩为2,可求出满秩分解为B+=(BTB)lBT=23131313230c+=cT(ccTyl=o13于是得到A+=C+B+=332 119 9 9I 2 19-9 91129 9-9故原方程组的解为,13,130 x=A+b+(I-A+A)y=1+113131313131313Vy G 7?6、用正交分解法求解矛盾方
44、程组Ax=方的最小二乘解。1-1A=2-22213解:匕=%=(1,2,2)/,1 1 v,11=3,1 2 2 T=vt/11 11=ul=vl=3与3 T 1 1 1 TV2=2 _(2，与)与=(-1，-1，一 彳)+2与2J J 61 2 2 1 rI I v22 11=v2/I I V,11=(-,-)2 2 2 2 3 3 3/、c 1“2=丫2+(2，与)与=-2与+-23-2A=Wj,w2 =,2 I=QRo-L 2 Jr YI R-|r故原方程组的最小二乘解为x=-_ 9 3_7、用满秩分解求矩阵广义逆4+1 2 0 1、A=0 1 1 3、2 5 1 5,解：先求出A的一个
45、满秩分解。因为A的秩为2,可求出满秩分解为1021A=013=BC21A+=C B+=CT(CCT BTc+=cT(ccTy1=1 02 1 1 F il0 1 41-51 32 0 51 1 3_|_5 1111-5-51 1 17-46 j-4 1 -5 6-4 1332-47 17/.A+=C B+=124642-22-5440-34 7330 458、求以下方程组的通解。xt-x2=5-x,+x2=-52xt-2X2=10先求出A的一个满秩分解。因为A的秩为1,可求出满秩分解为-1 A=-1 1-12B+=(BTB)lBT=-1-1 26C+=C，(CC7)T=；故原方程组的通解为x=
46、A+b+(I-A+A)y=VJG R39、若3=1 0,C=验证(3C)+wC+3+。解:C+ulCrOTCTugU 1B+=Br(BBr)1=:BC=1,(BC)+=1C+B+=,故(3C)+wC+3+。210、证明：若 A 为列满秩矩阵，则 A+=(A T A)T 4T；若 A 为行满秩矩阵，则 4+=4,(4 4 尸。证明：(1)若 A 为列满秩矩阵，则有A(ATA)-ArA=AA1AYAr A(AT A)-l Ar=(4,4尸 A，(A(ArA)-xArY=A ArA)-lYAJ=A(.(ArA)rYiAr=A(ArAYxAr(ArA)-1 ATA)T=1=(ATA)-1 ATA由广义
47、逆的定义知，(2)若 A 为行满秩矩阵，则有AAT(AAT 尸 A=A;AT(AAT)-*AAT(AAT 尸=AT(AAT)T(AAT(AArrl)T=1=AAAAryl;(AT(尸 A)r=AT(A 4r 尸)TA=Ar(AAT)T 尸 A=AT(AAT 尸 A由广义逆的定义知，A+=Ar(AA7)-11、利用矩阵正交分解因子阵表示其广义逆.1 2A=2 00 1解：A是列满秩阵，A可正交分解，A=QRq=(1,2,0尸,e=(2,0,1)7.rn=11 ax 11=V5 qi=al/rn=0/,、2%=(%，%)=弱r8 4 T22=a2-rl2qt 1 1=1 1 l)r 1 1=8-4
48、21V105I 5V105 9 V105?V1052一店.e=8V105-4V1050 3V105.,R=2忑21V105.-2/1050.A+=(AT A)AT=RQTJ10505V1058-4 5V105 V105 V10512、若A e氏 刈是列正交矩阵，试证明A+=A T证明：若Aw RX是列正交矩阵，显然A为列满秩矩阵,+=(AT A)l ATX ArA=/,LA+=(ATA)-l AT=AT13、已知试求出方程如lx=6的最小二乘解。b2%解：A是列满秩矩阵，故方程组有唯一的最小二乘解;AT A=d；+c；4+c；小c：d：+c；(ATA)l=1%+c：.4+=（鼠4）d；+c：2
49、12qd：+c；12力+q：x=A+b=+c也,+1d；+c；d 2b2+，2。,+2d也+cA,.可+c；.14、试证明对称矩阵的广义逆矩阵仍然是对称的。解：设矩阵A有奇异值分解A=U。由4=4 0 0则uE,。0 00VT=CUZ,00 0vTy=vC/T,故 U=V00又A的广义逆矩阵为A+=y Zr uT0 0故（A+）7=（V 工 0 UT）T=U k0 0 0 VT=V E/UT=A+0 0 0即对称矩阵的广义逆矩阵仍然是对称的。第五章习题解答1、给出数据点巧=0 1 3 43=1 9 1 5 6用,x2 3 L agrange插值多项式L Jx)，并计算了=1.5的近似值4(1.
50、5)。用 七户2,当 构造二次Ne w t。”插值多项式N2(x),并计算x =1.5的近似值2(1.5)。(3)用事后误差估计方法估计4(1.5)、可2(1.5)的误差。解:利用 =0,X j =l,x2=3,典=l,y =9,j2=1 5 作 L a gn w i ge 插值函数2L2(x)=Z,.(x)yi.=i=0(x-l)(x-3)X +(X o)(x 3)X 9+(x-0)(x-1)*1 5(0-1)(0-3)(1-0)(1-3)(3-0)(3-l)-5 x2+2 9 x +33代入可得心(1.5)=1 1.7 5。(2)利用x,=l,x2=3,X 3 =4,y -9,y2-1 5