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1、数值分析第三版课本习题与答案第一章绪论1.设x0,x的相对误差为,求lnx的误差.2.设x的相对误差为2,求nx的相对误差.3.下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出它们是几位有效数字:*123451.1021,0.031,385.6,56.430,71.0.xxxxx=?4.利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限:*12412324(),(),()/,ixxxiixxxiiixx+其中*1234,xxxx均为第3题所给的数.5.计算球体积要使相对误差限为1,问度量半径R时允许的相对误差限是多少?6.设028,Y=按递推公式1nnYY-=)计算到100
2、Y.27.982(五位有效数字),试问计算100Y将有多大误差?7.求方程25610xx-+=的两个根,使它至少具有四位有效数字27.982).8.当N充分大时,如何求211Ndxx+?9.正方形的边长大约为100,应如何测量才能使其面积误差不超过12?10.设212Sgt=假定g是准确的,而对t的测量有0.1秒的误差,证实当t增加时S的绝对误差增加,而相对误差却减小.11.序列ny知足递推关系1101nnyy-=-(n=1,2,),若01.41y=(三位有效数字),计算到10y时误差有多大?这个计算经过稳定吗?12.计算61)f=,1.4,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好?3-13.
3、()ln(fxx=,求f(30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等价公式ln(ln(xx=-计算,求对数时误差有多大?14.试用消元法解方程组101012121010;2.xxxx+=+=假定只用三位数计算,问结果能否可靠?15.已知三角形面积1sin,2sabc=其中c为弧度,02c7.设2(),fxCab且()()0fafb=,求证21()()().8maxmaxaxbaxbfxbafx-8.在44x-上给出()xfxe=的等距节点函数表,若用二次插值求xe的近似值,要使截断误差不超过610-,问使用函数表的步长h应取多少?9.若2nny=,求4ny?及4ny.
4、10.假如()fx是m次多项式,记()()()fxfxhfx?=+-,证实()fx的k阶差分()(0)kfxkm?是mk-次多项式,并且()0(mlfxl+?=为正整数).11.证实1()kkkkkkfgfggf+?=?+?.12.证实110010.nnkknnkkkkfgfgfggf-+=?=-?13.证实1200.njnjyyy-=?=?-?14.若1011()nnnnfxaaxaxax-=+有n个不同实根12,nxxx,证实10,02;,1.1()nknjknaknjjxfx-=-=15.证实n阶均差有下列性质:i)若()()Fxcfx=,则0101,nnFxxxcfxxx=;ii)若(
5、)()()Fxfxgx=+,则010101,nnnFxxxfxxxgxxx=+.16.74()31fxxxx=+,求0172,2,2f?及0182,2,2f?.17.证实两点三次埃尔米特插值余项是(4)22311()()()()/4!,(,)kkkkRxfxxxxxx+=-并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限.18.求一个次数不高于4次的多项式()Px,使它知足(0)(1)PPk=-+并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限.19.试求出一个最高次数不高于4次的函数多项式()Px,以便使它能够知足下面边界条件(0)(0)0PP=,(1)(1)1PP=,(2)1P=.20.设(),fxCab,把
6、,ab分为n等分,试构造一个台阶形的零次分段插值函数()nx?并证实当n时,()nx?在,ab上一致收敛到()fx.21.设2()1/(1)fxx=+,在55x-上取10n=,按等距节点求分段线性插值函数()hIx,计算各节点间中点处的()hIx与()fx的值,并估计误差.22.求2()fxx=在,ab上的分段线性插值函数()hIx,并估计误差.23.求4()fxx=在,ab上的分段埃尔米特插值,并估计误差.24.给定数据表如下:试求三次样条插值并知足条件i)(0.25)1.0000,(0.53)0.6868;SS=ii)(0.25)(0.53)0.SS=25.若2(),fxCab,()Sx是
7、三次样条函数,证实i)222()()()()2()()()bbbbaaaafxdxSxdxfxSxdxSxfxSxdx-=-+-?;ii)若()()(0,1,)iifxSxin=,式中ix为插值节点,且01naxxxb=6.求()sinfxx=在0,/2上的最佳一次逼近多项式,并估计误差.7.求()xfxe=在0,1上的最佳一次逼近多项式.8.怎样选取r,使2()pxxr=+在1,1-上与零偏差最小?r能否唯一?9.设43()31fxxx=+-,在0,1上求三次最佳逼近多项式.10.令()(21),0,1nnTxTxx=-,求*0123(),(),(),()TxTxTxTx.11.试证*()n
8、Tx是在0,1上带权=的正交多项式.12.在1,1-上利用插值极小化求11()fxtgx-=的三次近似最佳逼近多项式.13.设()xfxe=在1,1-上的插值极小化近似最佳逼近多项式为()nLx,若nfL-有界,证实对任何1n,存在常数n、n,使11()()()()(11).nnnnnTxfxLxTxx+-14.设在1,1-上234511315165()128243843840xxxxxx?=-,试将()x?降低到3次多项式并估计误差.15.在1,1-上利用幂级数项数求()sinfxx=的3次逼近多项式,使误差不超过0.005.16.()fx是,aa-上的连续奇(偶)函数,证实不管n是奇数或偶
9、数,()fx的最佳逼近多项式*()nnFxH也是奇(偶)函数.17.求a、b使220sinaxbxdx+-?为最小.并与1题及6题的一次逼近多项式误差作比拟.18.()fx、1(),gxCab,定义()(,)()();()(,)()()()();bbaaafgfxgxdxbfgfxgxdxfaga=+?问它们能否构成积?19.用许瓦兹不等式(4.5)估计6101xdxx+?的上界,并用积分中值定理估计同一积分的上下界,并比拟其结果.20.选择a,使下列积分获得最小值:1122211(),xaxdxxaxdx-?.21.设空间10010121,spanxspanxx1?=?=,分别在1?、2?上
10、求出一个元素,使得其为20,1xC的最佳平方逼近,并比拟其结果.22.()fxx=在1,1-上,求在2411,spanxx?=上的最佳平方逼近.23.sin(1)arccos()nnxux+=是第二类切比雪夫多项式,证实它有递推关系 ()()()112nnnuxxuxux+-=-.24.将1()sin2fxx=在1,1-上按勒让德多项式及切比雪夫多项式展开,求三次最佳平方逼近多项式并画出误差图形,再计算均方误差.25.把()arccosfxx=在1,1-上展成切比雪夫级数.26.用最小二乘法求一个形如2yabx=+的经历公式,使它与下列数据拟合,并求均方误差.28.在某化学反响里,根据实验所得分解物的浓度与时间关系如下:用最小二乘拟合求.29.编出用正交多项式做最小二乘拟合的程序框图.30.编出改良FFT算法的程序框图.31.现给出一记录4,3,2,1,0,1,2,3kx=,试用改良FFT算法求出序列kx的离散频谱kC(0,1,7).k=第四章数值积分与数值微分1.确定下列求积公式中的待定参数,使其代数精度尽量高,并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度: