初等数学研究第三章.ppt

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1、 方程是函数变化过程中的一个特殊状态，方程是函数变化过程中的一个特殊状态，即方程的解是函数的零点。即方程的解是函数的零点。第三章第三章 方程与函数方程与函数的零点。的解，就是求函数求)(0)(:xfyxfeg方程思想、函数思想方程思想、函数思想解决问题解决问题一、方程一、方程 讲授的内容讲授的内容1、方程与方程组的有关概念、方程与方程组的有关概念2、方程与方程组的同解变形、方程与方程组的同解变形3、各类方程与方程组的解法、各类方程与方程组的解法重点：重点：方程（组）的同解性判定；方程（组）的同解性判定； 方程（组）的解法方程（组）的解法.方程的有关概念方程的有关概念 含有未知数的等式含有未知数

2、的等式 方程。方程。能够使方程左右两边的值相等的未知数的值能够使方程左右两边的值相等的未知数的值方程的解方程的解只含只含一个未知数一个未知数的方程的的方程的解解也叫方程的也叫方程的根根。求方程的解或确定方程没有解的过程求方程的解或确定方程没有解的过程叫做解方程。叫做解方程。 方程的定义域（存在域）方程的定义域（存在域）),.,(),.,(2121nnxxxxxxF方程：。中至少有一个不是常数、),.,(),.,(2121nnxxxxxxF方程的定义域方程的定义域:)()(DFDM类似类似不等式的定义域不等式的定义域方程定义域与其解的关系方程定义域与其解的关系0)1)(3)(1(22xxx解方程

3、：方程定义域方程定义域 解解3, 3, 1321xxxR1xQixixxxxC54321, 3, 3, 1方程的解方程定义域能取值的范围总结：x方程组方程组由由k方程联立构成方程联立构成方程组（联立方程）方程组（联立方程）),.,(),.,(),.,(),.,(212212211211nnnnxxxxxxFxxxxxxF方程组：)2( k方程组的定义域：K个方程定义域的交集个方程定义域的交集。解解 解集解集 解方程组解方程组方程的分类方程的分类未知数的个数未知数的个数多元方程一元方程方程解的个数解的个数无限解方程有限多解方程唯一解方程无解方程整式方程(一次、二次、高次方程)有理方程代数方程分式

4、方程方程无理方程超越方程(指数方程、对数方程、三角方程、反三角方程等)按方程的表达式结构分类按方程的表达式结构分类方程组也可以类似的分类方程组也可以类似的分类二、方程与方程组的同解性二、方程与方程组的同解性22122121211211),.,(),.,(),.,(),.,(AxxxxxxFAxxxxxxFnnnn则如果,A21A为同解方程。与),.,(),.,(),.,(),.,(212212211211nnnnxxxxxxFxxxxxxF注：没有特别说明方程的同解不考虑重数没有特别说明方程的同解不考虑重数22122121211211),.,(),.,(),.,(),.,(AxxxxxxFAx

5、xxxxxFnnnn的结果方程。为则称如果),.,(),.,(),.,(),.,(,A21121121221221nnnnxxxxxxFxxxxxxFA互为结果方程的两个方程同解。互为结果方程的两个方程同解。每一个方程是无解方程的结果方程。每一个方程是无解方程的结果方程。定理1同解与则方程，如果),.,(),.,(),.,(),.,(),.,(),.,(),.,(),.,(212211212211212212211211nnnnnnnnxxxxxxxxxFxxxFxxxxxxFxxxxxxF等价转换等价转换）同解。（与所以12|lg222lg) 1(222|,|lg2lg:22xxxxxxxx

6、egxxxx101),.,().,.,(),.,(,.,F42121221121nnnnnxxxxxxxxxxxx）（因式分解定理）如果定理0,.,F21）（则方程nxxx与方程集0),.,(.0),.,(0),.,(21212211nnnnxxxxxxxxx同解。几个方程的集合，其解是几个方程的集合，其解是每个方程解的并集每个方程解的并集。innninnnnnuxxxgxxxxxxgxxxgxxxgxxxgfxxx),.,(),.,(F),.,(),.,(),.,.,(),.,(,.,F521121212121221121令的定义域中有定义在其中）（换元定理）如果定理同解。）（与方程组）（则

7、方程nnnnnnnuxxxguxxxguxxxguuufxxx),.,(,.,),.,(),.,(0,.,0,.,F21221212112121定理定理1（等价转化）（等价转化） 定理定理2（加法定理）（加法定理）推论推论1、2（移项）（移项） 定理定理3（乘法定理）（乘法定理）定理定理4（因式分解定理）定理（因式分解定理）定理5（换元定理（换元定理）方程变形满足条件：对方程两边所实施的运算都是单值运算且对方程两边所实施的运算都是单值运算且其逆运算也是单值运算。其逆运算也是单值运算。变形后所得方程与原方程定义域相同变形后所得方程与原方程定义域相同。所得方程与原方程同解。所得方程与原方程同解。充

8、分不必要条件充分不必要条件 第第 三三 节节 整整 式式 方方 程程一、韦达定理（一、韦达定理（根与系数的关系根与系数的关系）法国数学家法国数学家系统地引入了代系统地引入了代数符号，推进了方程的发展数符号，推进了方程的发展现代数学之父现代数学之父., 04, 021212122acxxabxxxxacbcbxax则、设两个根为且一元二次方程 第第 三三 节节 整整 式式 方方 程程韦达定理（复数范围）韦达定理（复数范围）那么个根是的方程定理,.,)0(0.)(112101110nnnnnnxxxxnaaxaxaxaxf.) 1(.,.,.012102131210121aaxxxxaaxxxxx

9、xaaxxxnnnnnnn韦达定理的证明思路韦达定理的证明思路:则个根有,.,)0(0.12101110nnnnnnxxxxnaaxaxaxa)().()(.12101110nnnnnnxxxxxxxxaaxaxaxa待定系数法待定系数法 思维训练思维训练为根的新方程。，求作一个以，、的三个根分别是、已知2,222301rqpxx. 1022的根的倒数加使其根为方程、求作一个二次方程，cbxaxacxxabxxxxcbxax2121212,0由韦达定理有：、方程的根为解：设11, 110212xxBAxx的根为所求方程BxxAxx）（由韦达定理有：11(11,11112121ccbaBccbA

10、,2二、二、实系数一元实系数一元n次方程次方程根的性质根的性质0.)(1110nnnnaxaxaxaxf),.,0(100都是实数naaaa定义定义1.)0(0)(2biabbabiaxfn则必有另外一个虚根为实数，、其中有一个虚根次方程如果实系数一元定理实系数方程虚根成对出现实系数方程虚根成对出现.)0(0)(2biabbabiaxfn则必有另外一个虚根为实数，、其中有一个虚根次方程如果实系数一元定理证明思路：证明思路：)0)(biaf目的证明：qpxxQbiaxbiaxxf)()()()(2222)()(baaxxbiaxbiax0, 00,000)(qpbpbqpabiaf又0)(bia

11、faaxaxaxaxaxfnnnnn有一根为0.)(122110)()()(|)(2xfaxxfax不整除的单根。是0)(xfa）次重根。（的是不整除20)()()()(|)(kkxfaxfaxxfaxkk定义定义3 如何判断根的重数如何判断根的重数程。，符号相反，解这个方有两个根的绝对值相等的四个根中，）已知（例题020421234xxxx解题思路解题思路：（法一）：（法一）得，则由设方程的根为0)(, 0)(,113211xfxfxxxx0204020412131411213141xxxxxxxx2, 211xx解得由韦达定理，得由韦达定理，得5, 13232xxxx5)()()4()(2

12、2xxxQxQxxf法二：根？有几个正根或者几个负实系数方程0.)(122110nnnnnaxaxaxaxaxf思考思考笛卡尔符号法则笛卡尔符号法则法国的数学家、哲学家、科学家法国的数学家、哲学家、科学家几何学几何学实实系数多项式方程正根或负根的个数。系数多项式方程正根或负根的个数。笛卡尔符号法则笛卡尔符号法则 其正根数或等于其正根数或等于多项式变号数多项式变号数，或是，或是变变号数号数减二的倍数减二的倍数. 其中相同的根被计算两次其中相同的根被计算两次。法则：一个系数为实数的一元多项式方程法则：一个系数为实数的一元多项式方程的各项按的各项按降序排列降序排列0.)(122110nnnnnaxa

13、xaxaxaxf04850) 1()2( :232xxxxxeg若根全为实数若根全为实数，正根数等于变号数，正根数等于变号数 负根数等于负根数等于奇次项变号后的变号数奇次项变号后的变号数，或是或是变号数变号数减二的倍数减二的倍数. 04850) 1()2( :232xxxxxeg若根全为实数若根全为实数，负根数等于变号数，负根数等于变号数0123xxx0) 1() 1(01223xxxxx范围内无解。在证明方程例题3067)3(23xxx法一法一：（：（直接计算直接计算）3, 2, 1321xxx立方差公式立方差公式法二法二：（：（笛卡尔符号法则笛卡尔符号法则）0122096)3(7)3()3

14、(, 3, 067)(2333yyyyyyfyxxxxf则令关于关于y的方程是否有正根的方程是否有正根).,.,2, 1(0)(),.,2, 1(0)(4nikakyfniaxfii根：则根：若定理).,.,2,1(0)(),.,2,1(0)(3nikakyfniaxfii根：则根：若定理变化后方程与原方程的变化后方程与原方程的根相差根相差k变化后方程是原方程的根的变化后方程是原方程的根的k倍倍innnnnnninnnnnkxkaxkaxkakxaxaxaxaxaxaxa根则根若推论0.,0.111222110122110innnnnnninnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxaxa根则

15、根若推论0) 1() 1(.,0.21122110122110即可。中的证明思路：取推论11kiikxkyfxxf)()(则若证明思路：证明思路：思考：何种情况下，思考：何种情况下，变换后的方程是原变换后的方程是原方程根的倒数？方程根的倒数？.10)1()0(0)(5iixyfxxf根：则根：若定理.10.),0(0.3012211122110innnnnninnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxaxa根则根若推论一元三次方程的解法的历史一元三次方程的解法的历史 类很早就掌握了一元二次方程的解法类很早就掌握了一元二次方程的解法一一元三次方程的研究进展缓慢元三次方程的研究进展缓慢只能解特殊

16、的一只能解特殊的一元三次方程元三次方程十六世纪，第一位发表一元三次十六世纪，第一位发表一元三次方程求根公式的是意大利数学家卡尔丹诺方程求根公式的是意大利数学家卡尔丹诺 。 数学史上最早发现一元三次方程通式解的人，数学史上最早发现一元三次方程通式解的人，是是十六世纪意大利的另一位数学家冯塔纳十六世纪意大利的另一位数学家冯塔纳 。 卡尔丹诺公式卡尔丹诺公式卡尔丹诺卡尔丹诺冯塔纳的发现非常感兴趣冯塔纳的发现非常感兴趣请教冯塔纳请教冯塔纳冯塔纳守口如瓶，只是以十冯塔纳守口如瓶，只是以十分隐晦的如同咒语般的语言提示了卡尔丹分隐晦的如同咒语般的语言提示了卡尔丹诺诺卡尔丹诺悟性极高，很快破解了卡尔丹诺悟性极

17、高，很快破解了“咒咒语语” 卡尔丹诺公式解题比较复杂，缺乏直观性，卡尔丹诺公式解题比较复杂，缺乏直观性，范盛金研究出了比卡尔丹诺公式更简洁实用的范盛金研究出了比卡尔丹诺公式更简洁实用的求根公式求根公式。范盛金范盛金湖南常宁人湖南常宁人1955年年1月出生，月出生，1991年年7月海南师范学院数学系（函授）毕月海南师范学院数学系（函授）毕业，业，“一元三次方程新解法一元三次方程新解法盛金公式解题法盛金公式解题法”的发明者。的发明者。1988年，年，33岁的范盛金完成盛金公式的推岁的范盛金完成盛金公式的推导导 。（。（中学数学老师中学数学老师）一元三次方程的解法一元三次方程的解法卡尔丹诺公式卡尔丹

18、诺公式1）问题）问题解一般的一元三次方程解一般的一元三次方程)0( , 023adcxbxax2）解决方法）解决方法化简，使二次项系数化为化简，使二次项系数化为0，原方程化成：令kyx整理，得到, 0)()()(23dkyckybkya）式。记为（ 10)()23()3(23223dckbkakycbkakybakay.3,3,03abyxabkbak所以即取令）式，得代入（把13abk0)3272()3(2323dabcabycabay0)3272()3(2323dabcabycabay解方程解方程:式化成令)2(),3272(1),3(1232dabcabaqcabap)2(0)3272(

19、1)3(1,2323dabcabaycabaya 得方程两边除以03qpyy化成03qpyy则令,vuy即,0)()(3qvupvu)4(0)(3(33vupuvqvuqvupuvpuv3334, 03）同解于则方程（令,2733333qvupvu也同解于是二次方程、利用韦达定理，可知33vu02732pqzz两个根。由求根公式，得27422742323323pqqvpqqu131233212312312742uiuuiupqqu131233212312312742vivvivpqqv233322111,vuyvuyvuyabvuxabvuxabvux333233322111卡尔丹诺公式卡尔丹

20、诺公式思路总结思路总结)0( , 023adcxbxax一元二次方程利用韦达定理，化成求换元：次方程化成缺二次项的一元三，令二次项系数为换元：vuyabyx03判断实系数三次方程根的情况判断实系数三次方程根的情况27422742323323pqqvpqqu274D32pq判别式.0D30D20D1000时，有三个互异的实根当；有两个相等时，有三个实根，其中当个共轭虚根；原方程有一个实根、两时，当233322111,vuyvuyvuy327|2742|274220D33332323pppqiqupqiqDiqu 时，得当01627427427423xxx解例题思路：令思路：令493yabyx03

21、2297161353yy02215-z,433zzy得，令iviuD21,21,011得到321, 321, 2321zzz一元四次方程的解法一元四次方程的解法)0(0234aedxcxbxax换元换元缺三次项的一元四次方程缺三次项的一元四次方程换换元元一元三次方程一元三次方程换元法、因式分解法、图像法、待定系数法换元法、因式分解法、图像法、待定系数法倒数方程倒数方程为倒数方程。的根则有的根，复数定义0)(0)(10.)(4122110 xfxfaaxaxaxaxaxfannnnn.10.),0(0.3012211122110innnnnninnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxaxa根

22、则根若推论同解。与0.)(0.)(012211122110axaxaxaxaxgaxaxaxaxaxfnnnnnnnnnnn011110.aaaaaaaannnn性质：,.,110nnaaaa得，第一类倒数方程系数相等即首末两项等距的项的时，当,.,11100nnaaaa0231632234xxxx015xn为偶数为偶数第一类偶次倒数方程第一类偶次倒数方程n为奇数为奇数第一类奇次倒数方程第一类奇次倒数方程第二类倒数方程系数互为相反数时即首末两项等距的项的时，当,.-,-21100nnaaaa0123322345xxxxx第一类倒数方程的解法第一类倒数方程的解法第一类偶次倒数方程第一类偶次倒数方

23、程) 0( ,.)(00112120aaxaxaxaxaxfkkkk0.)() 1(12120kkkkxaxxaxa0)1(.)1()1(11110kkkkkkaxxaxxaxxa,1yxx令22)1(12222yxxxxyyyyxxxxxx3)3()11)(1(1322233242)1()(1)(124222222244yyxxxxxx)1()1)(1(12211ppppppxxxxxxxx0)1(.)1()1()(11110kkkkkkaxxaxxaxxaxf次方程的关于ky02316321234xxxx、解方程：01223456xxxxxx、解方程：第一类奇次倒数方程第一类奇次倒数方程)

24、0( ,.)(001121120aaxaxaxaxaxaxfkkkkkk0)(.)() 1()(121120kkkkkxxaxxaxaxf0) 1(.) 1() 1()(121120 xxaxxaxaxfkkkk0).)(1()(0112120axbxbxbxaxxfkkkk,.012330122011aaaabaaabaab第一类偶次倒数方程第一类偶次倒数方程021) 1(.-aaaabkkkkk0).)(1()(0112120axbxbxbxaxxfkkkk0125x、解方程：0133323xxx、解方程：分式方程的解法分式方程的解法21312xxxxxx至少有一个不是常数。为多项式，)(

25、),()(),(),(),(,)()()()(2121212211xgxgxgxgxfxfxgxfxgxf移项移项通分通分约分约分令既约分式的分子为令既约分式的分子为0验根验根24124322222xxxxxxx作业作业01323) 1234xxxx1、求下列方程复数集内的解、求下列方程复数集内的解033)223xxx130页，第页，第16题的（题的（1）（）（2）小题）小题解方程的关键解方程的关键同解变形同解变形解的关系？与思考：)()()()(xgxfxgxfnn).()()()(xgxfxgxfnn的解一定是结论：验根验根)()()(.)()()()()()()(1221xgxgxfxg

26、xfxfxgxfxgxfnnnnnn证明思路：证明思路：一、无理方程一、无理方程根号内含有未知数的方程根号内含有未知数的方程无理方程（根式方程）无理方程（根式方程）乘方去根号、定义域乘方去根号、定义域验根验根32:xxeg732233122xxxx）（：、在实数范围内解方程思维训练思维训练2)()(cxfcxf方法：方法：换元换元一元二次方程一元二次方程062 yy0, )(, 0)() )(cbyayxfycxfbxfanmmnm得，令换元法换元法22-2216262xxxx、解方程：02762yy116101453xxxx、解题思路：解题思路：1)31()21(22xx原方程同解变形为：原

27、方程同解变形为：1|31|21|xx几何意义：几何意义：312x1276422xxxxx、解方程：1)2)(1()7)(1(:xxxxx解题思路), 17,(定义域：2)1()2-7(11xxxxx时，原方程化为当2)1()2-7(17xxxxx原方程化为时，当平方去根号平方去根号0441632xx因式分解法因式分解法1492172522xxxx、解方程：法一：法一：平方去根号平方去根号法二：法二：共轭因子法共轭因子法32)492()172(2222xxxxx3249217222xxxxx2217222xxx1276422xxxxx、解方程：55)2()76(2222xxxxx法二：共轭因子法

28、) 1( , 515527622xxxxxxx是方程的根1x47622xxxxxxxx2713-43-46、解方程：解题方法：解题方法：利用合分比定理利用合分比定理3434xxxx27,40212xxyy换元换元依据定理依据定理2，查看是否遗根、增根，查看是否遗根、增根1235172xxx、解方程：)2, 0(,sec, 0 xx令由原方程可知，解题思路：解题思路：（三角换元三角换元）1235tansecsec总结：总结：的方程可用三角代换。、形如：0),(0)-,(0),(222222xaxfaxxfxaxf二、超越方程的几个同解变形二、超越方程的几个同解变形1、指数方程、指数方程)()()

29、()(xgxfaaxgxf2、对数方程、对数方程)()()(log)(logxgxfxgxfaa时，有）若0)(, 0)(1xgxf时，有）若0)(2xf)(log)(log)()()()(xuxfxgxuxfaaxg时，有，）若0)(, 1)(0)(3xgxfxf)(log)(log)(log)(xfcxgcxgaaxf思维训练思维训练)0, 0( ,211aamaaxx）（、解方程：0122myy时，原方程无解。当时，当) 1 , 0();1(log),1(log12221mmmxmmxmaa.2log2log2log242xxx、解方程：解题思路：解题思路：换底公式换底公式换元换元作业：

30、作业：130页，页，17(3)，18(1)(2)方程组的同解变形方程组的同解变形消元消元定理定理6 如果把方程组里如果把方程组里任意一个方程换成任意一个方程换成与之同解的方程与之同解的方程，所得新方程组与原方程组，所得新方程组与原方程组同解。同解。同解方程代换定理同解方程代换定理定理定理7 如果把方程组里如果把方程组里任意一个方程换成任意一个方程换成其结果方程其结果方程，所得新方程组是原方程组的结，所得新方程组是原方程组的结果方程组。果方程组。结果方程代换定理结果方程代换定理定理定理8 如果方程组中如果方程组中某个方程是同组中某个方程某个方程是同组中某个方程或某几个方程的结果方程或某几个方程的

31、结果方程，则这个方程可以弃掉，则这个方程可以弃掉。结果方程弃掉定理结果方程弃掉定理推论推论1 在方程（组）中在方程（组）中添上恒等式方程添上恒等式方程，其解不变。其解不变。推论推论2 在方程组中在方程组中添上该组中某些方程的结添上该组中某些方程的结果方程果方程其解不变。其解不变。则方程组的一般解为如果方程定理),.,(0),.,(F921211nnxxxxxx.0),.,(., 0),.,(, 0),.,(21212211nnnnxxxFxxxFxxxF同解。与. 0),.,),.,(., 0),.,),.,(),.,(2222221nnnnnnxxxxFxxxxFxxx代入消元代入消元定理定

32、理)1 (.0),.,(., 0),.,(, 0),.,(21212211nknnxxxFxxxFxxxF0.1212222111211kkkkkkijmmmmmmmmmm且满足）的定义域内有意义，在方程组（条件：思考：什么情况下同解？思考：什么情况下同解？定理定理10（加减消元定理）（加减消元定理）定理定理11（因式分解降次定理）如果（因式分解降次定理）如果),.,().,.,(),.,(),.,(21212211211nnnnnxxxxxxxxxxxxF与则.0),.,(., 0),.,(, 0),.,(21212211nknnxxxFxxxFxxxF方程组集方程组集同解。同解。函数定义函

33、数定义变量说、对应说、关系说变量说、对应说、关系说变量说（初中课本）变量说（初中课本）优点：优点：形象、直观、容易理解接受形象、直观、容易理解接受对应说（高中课本）对应说（高中课本）优点：明确指出了函数的三要素；优点：明确指出了函数的三要素； 函数的实质函数的实质两个集合元素之间两个集合元素之间的某种对应关系。的某种对应关系。 关系说关系说集合定义关系，用关系定义函数集合定义关系，用关系定义函数函数的性质及其应用函数的性质及其应用单调性单调性对称性对称性凹凸性凹凸性周期性周期性(1)函数的单调性可导函数的单调性可由其一阶导数来判断单调递增区间上的增函数。为则称有且，若对，的定义域为Dxfxfx

34、fxxDxxxfD)()()(,IDI)(212121.1111abcabcabcabc证明：证明：的单调性证明思路：利用)0(1)(xxxxf|cbacba|1|1|cbacbacbacba(2)(2)函数的对称性函数的对称性奇函数关于原点对称；奇函数关于原点对称；偶函数关于偶函数关于 y 轴对称；轴对称；)()()()(xfxfxfxf偶函数：奇函数：；定义域都关于原点对称奇函数偶函数奇函数偶函数偶函数偶函数偶函数奇函数结论：奇函数例题例题3、例题、例题4、例题、例题5步骤：步骤：1）定义域是否关于原点对称；）定义域是否关于原点对称； 2）f(-x)=?； 3)下结论下结论 .(3)(3)函数的凹凸性函数的凹凸性1212()()22xxfxfxf2()f x1()f x1x2x122xx可导函数的单调性可由其二阶导数来判断函数周期性函数周期性证明：f(x)=sin2x 的最小正周期是。sin2()sin2xxxR 0000,sin2()sin2TxRxTx 第第130页，页，19（1）、（）、（3）、（）、（6）第第131页页 第二题第二题