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1、习题一1、数系扩展的原则是什么？有哪两种扩展方式？（P9P10）答：设数系A扩展后得到新数系为B，则数系扩展原则为：（1）（2） A的元素间所定义的一些运算或几本性质，在B中被重新定义。而且对于A的元素来说，重新定义的运算和关系与A中原来的意义完全一致。（3） 在A中不是总能实施的某种运算，在B中总能施行。（4） 在同构的意义下，B应当是A的满足上述三原则的最小扩展，而且有A唯一确定。数系扩展的方式有两种：（1） 添加元素法。（2） 构造法。2、 对自然数证明乘法单调性：设则（1）（2）（3）证明：（1）设命题能成立的所有C组成集合M。由归纳公理知，所以命题对任意自然数成立。（2） （P17定
2、义9）由（1）有 （P17.定义9）或： （3） 3、 对自然数证明乘法消去律：（1）（2）（3）证明（1）（用反证法）（2） 方法同上。（3） 方法同上。4、 依据序数理论推求： 解： （P16.例1） （2） 5、设，证明是9的倍数。证明： 则当n=k+1时：。由，知，对于任一自然数n成立。6、 用数学归纳法证明下式对于任意自然数都成立：证明： 。由、知，对任意自然数n命题成立。7、（1）（2）（3） 。解：（1） （2） （3） 所得的各个数皆为自然数，因此， 。8、证明： 9. 证明整数集具有离散性.证明：（反证法）假设整数集不具有离散性，即在相邻整数a和a+1之间存在。依据加法单调性
3、， ， 即.这就和自然数集具有离散性相矛盾。10、 证明：有理数乘法满足结合律。证明： （1） 当a,b,c中至少有一个为零。（1）显然成立。设a,b,c都不为零。因为算术数乘法满足结合律，故。故（1）两边的绝对值相等。如果a,b,c中有一个或三个都是负数，则（1）两边都为负数；如果a,b,c中没有负数或有两个负数，则（1）两边都是正数，说明（1）两边的符号相同。因此（1）成立。11、 指出下列集合中可以畅通无阻的算术运算，并且判断哪些集合构成数环：； ； ； ； ； ； 。答：（1） 加，乘，成环（2） 乘，除（3） 加，乘（4） 加，乘（5） 加，乘，除（6） 乘（7） 加，乘，成环（8）
4、 加，乘，成环12、 设有n个正分数 （分母为正分数）求证：.证明： 设 (1)即 (2) (3) (n). 14.已知近似数2315.4的相对误差界是，.是确定它的绝对误差界，并指出它的有效数字的个数。故近似数精确到个位所以有效数字有4个19.辨别下面的断语有无错误，错在哪里？（1）复数集与复平面内所有向量组成的集合一一对应。（2）两复数的和与积都是实数的充要条件是：这两个复数是共轭复数。（3）共轭虚数的正整数次幂仍是共轭虚数。（4）一个非零复数与它的倒数之和为实数的充要条件是它的模等于1。答：都有错误。（1） 所有向量改为：所有以原点为起点的向量。（2） 是充分条件而非必要条件。（3） 共
5、轭虚数应改为：共轭复数。（4） 是充分条件而非必要条件。20.证明：当n为3的倍数时，而当n是其它正整数时，上式左边等于-1。22、 0112yABCDE0x1习题二 习题二1. 2. 3.解： 4.证明：（1）因又所以（2）设因为故由因式定理可知，x-1是P(x),Q(x)和R(x)的因式，又根据（2），x-1也是F(x),S(x)的因式，但x-1不是F(x)的因式，所以x-1是（）的因式5.6.解：由试除法知，当k=2时，有一次因式，为了探求二次因式，可用待定系数法，求得当k=1时，由（4），有.7.解：（1）原式=（2）原式= =（3）此多项式是对称多项式。当x=-（y+z）时， 所以f
6、（x,y,z）有因式（x+y+z），因原式为三次式，故还有另一个二次对称式的因式，设，令x=1,y=1,z=0.得，2=（2m+n）即2m+n=1(1)令x=1,y=1,z=1.得，9=3(3m+3n)即m+n=1.(2)由（1）（2）得，m=0,n=1,所以，（y+z）(z+x)(x+y)+xyz=(x+y+z)(xy+yz+zx)(4)原式是轮换多项式，因式有因式（x-y）（y-z）（z-x），设令x=1.y=2,z=0得：所以k=-28.解：（1）先用综合除法，可能的试除数是，由于多项式偶次次系数都是正数，奇次次系数都是负数，就只选择正的试除数，试除结果都被排除，因此原式在上没有一次因式
7、，假设因式含有x的二次因式。设 比较等式两端对应次的系数，得方程组：由（4）知，k和l的值可能有下面八组：经检验得。方程组的解为（2）先用综合除法可能的试除数是，由于多次式系数均为正数，因此只能选择负的试除数，试除结果都被排除，因此原式在Q上没有一次因式，假设原式含有x的二次因式，设 比较各式两端对应次的系数，得方程组：由（4）知，k和l的值可能有8组经检验得方程组解为：9.解：（1）原式= =（x-3）x(x-2)-15 =(x-3)(x+5)(x-3) (2)原式 =(2x-1)(x-1)(x+2)(x+3)(3)此多项式是轮换多次试，当x=-y时。原式=0所以有因式（x+y）(y+z)（
8、z+x）设即6k=6,所以k=1(4)原式 第10,11题，无答案12.解：13证明：所以（a+b）(b+c)(c+a)=0所以a,b,c中必有两数之和为零，不妨设a+b=0，b=-a14.证明：（分析法）要证明原式成立，即证明：即要证：即要证：因为a+b+c=0，末式成立，各部皆可逆，故原命题成立15.证明：（运用数学归纳法）（1）所以，当n=1时，等式成立（2）假设当n=k时，等式成立，即所以当n=k+1时，等式成立（3） 解：（1）先将分子表达成（x-2）的幂形式： （2）设令x=3,有：49A=49，所以令x=0,有：-3C-3E=15，所以C+E=-5.(1)令x=1,有：17=1+
9、（B+C）（-2）+（D+E）（-2），所以B+C+D+E=-8.(2)令x=2,有：28=9+（2B+C）（-1）.3+（2D+E）(-1).所以6B+3C+2D+E=-19.(3)令x=4,有：80=169+13（4B+C）+4D+E，所以52B+13C+4D+E=-89.(4)解（1），（2），（3），（4）得：17.（1）解：设（2原式= （3） (4)原式= 18.解：（1）原式= （2）略19.解：（1)原式= （2）原式= = （3）原式= （4）原式= = =1 20.解：原式= 21.证明：设，则22.解： 23.证明： 又 在两边取以a为底的对数有：24.证明： 成等差数列
10、。 即， 26.解：令，则有：解得，因为a0,b0 。所以舍去负号。得27.证明：sinA, sinB, sinC, 成等差数列所以，2sinB=sinA+sinC=成等差数列。28.求值。（1）原式（2）原式 同理 原式=（3）原式= = 原式=（4）原式= = （5） 证明： 由题设得 将各式两边平方后相加得，于是得同理可得，30.证明： 31.解，（1），(2)32证明（1）（2）(3).(4).(5).(6).习题三1、已知半径为r的圆为内接等腰梯形ABCD。它的下底AB是圆O的直径，上底CD的端点在圆周上。（1）写出梯形的周长y和腰长x间的函数关系式，并求其定义域；（2）当腰长为何值
11、时，该等腰梯形的周长有最大值，并求出最大值。解：（1）作于E 连DB，则 又 又，且，即。（2），所以当腰长x=r时，周长y有最大值5r.2、设函数定义在R上，当x0时，,且对于任意，有又当时，求证：（1） （2）对于任意，均有证明：（1）对任意，有 令m=n=0,则有 即. 或 若则对于任意m0,有和题设矛盾。因此，（2）由题设和（1）的结论，当时，假设，则，因而。但是 所以，.3、判断下列各组函数是不是同一函数，并说出理由。（1）.（2）解：（1）是同一函数。因为定义域相同：且对每个x,对应值也相等。（2）不是同一函数。因为当x1，使对于有：即但此式不能成立。因为当M1时，总有使，即，所以
12、无上界。11、设函数和具有同一定义域D，是有界函数，但没有上界。求证：与的和在定义域D上无上界。证明：设M是的上界，则对于任意因无上界，所以对于任意给定的p0，都存在使所以所以，与的和在D上无上界。12、讨论函数的单调性。解：设，则因指数函数是增函数，故的增减性就取决于的增减性。被开放数所以定义域为-2,4.又定义域被划分为增减性不同的两个区间-2,1和1，4.当时，则有： 又 即因此，函数在区间-2,1上递增，同理可证：在区间1，4上递减。13、判断下列函数的奇偶性：（1） （2）（3） （4）（5） （6）解：（1）是奇函数。（2）是偶函数。 （3） 是非奇非偶函数。（4）设则 是非奇非偶
13、函数。（5）设，则是偶函数。（6）设则是偶函数。14、设是实数集上奇函数，判断（其中）的奇偶性。解：设则是奇函数。又是实数集上的奇函数在实数集上是偶函数。15、已知判断它的奇偶性，并求它的单调区间。解：函数定义域为（-1，1）。设则在定义域上为奇函数。且则当 当， 在（-1，1）是减函数。16、设（1）确定的定义域和奇偶性；（2）求它的反函数；（3）求它的值域；（4）求证在其定义域上是增函数。解：（1）函数的定义域为R又 在R上是奇函数。（2）由有互换，有（3）的值域是R.（4）且，则 在R上是增函数。17、设是奇函数，当时，求当时，的表达式。解：设，则所以又是奇函数，所以，当时， 18、设判
14、断函数的奇偶性。解： 是奇函数。19、设且满足（1）比较和的大小；（2）求证：解：（1）由 同理求得，因此，（2）设 20、设且试比较与的大小。解： 21、求的递减区间。解： 而当时，是增函数。所以，的递减区间就是的递减区间。即为22、设是第二象限的角，求的值。解：这里是正负号的取舍，取次于所在区间因不可能在第一象限，所以必定为奇数设，则此时， 23、证明：的最小正周期是分析：首先要验证是函数的周期，然后证明的正周期不能比小，用反证法。证明：是的周期。假设是的周期，即对，有成立令得： 习题三1、已知半径为r的圆为内接等腰梯形ABCD。它的下底AB是圆O的直径，上底CD的端点在圆周上。（1）写出
15、梯形的周长y和腰长x间的函数关系式，并求其定义域；（2）当腰长为何值时，该等腰梯形的周长有最大值，并求出最大值。解：（1）作于E 连DB，则 又 又，且，即。（2），所以当腰长x=r时，周长y有最大值5r.2、设函数定义在R上，当x0时，,且对于任意，有又当时，求证：（1） （2）对于任意，均有证明：（1）对任意，有 令m=n=0,则有 即. 或 若则对于任意m0,有和题设矛盾。因此，（2）由题设和（1）的结论，当时，假设，则，因而。但是 所以，.3、判断下列各组函数是不是同一函数，并说出理由。（1）.（2）解：（1）是同一函数。因为定义域相同：且对每个x,对应值也相等。（2）不是同一函数。因
16、为当x1，使对于有：即但此式不能成立。因为当M1时，总有使，即，所以无上界。11、设函数和具有同一定义域D，是有界函数，但没有上界。求证：与的和在定义域D上无上界。证明：设M是的上界，则对于任意因无上界，所以对于任意给定的p0，都存在使所以所以，与的和在D上无上界。12、讨论函数的单调性。解：设，则因指数函数是增函数，故的增减性就取决于的增减性。被开放数所以定义域为-2,4.又定义域被划分为增减性不同的两个区间-2,1和1，4.当时，则有： 又 即因此，函数在区间-2,1上递增，同理可证：在区间1，4上递减。13、判断下列函数的奇偶性：（1） （2）（3） （4）（5） （6）解：（1）是奇函
17、数。（2）是偶函数。 （3） 是非奇非偶函数。（4）设则 是非奇非偶函数。（5）设，则是偶函数。（6）设则是偶函数。14、设是实数集上奇函数，判断（其中）的奇偶性。解：设则是奇函数。又是实数集上的奇函数在实数集上是偶函数。15、已知判断它的奇偶性，并求它的单调区间。解：函数定义域为（-1，1）。设则在定义域上为奇函数。且则当 当， 在（-1，1）是减函数。16、设（1）确定的定义域和奇偶性；（2）求它的反函数；（3）求它的值域；（4）求证在其定义域上是增函数。解：（1）函数的定义域为R又 在R上是奇函数。（2）由有互换，有（3）的值域是R.（4）且，则 在R上是增函数。17、设是奇函数，当时，求当时，的表达式。解：设，则所以又是奇函数，所以，当时， 18、设判断函数的奇偶性。解： 是奇函数。19、设且满足（1）比较和的大小；（2）求证：解：（1）由 同理求得，因此，（2）设 20、设且试比较与的大小。解： 21、求的递减区间。解： 而当时，是增函数。所以，的递减区间就是的递减区间。即为22、设是第二象限的角，求的值。解：这里是正负号的取舍，取次于所在区间因不可能在第一象限，所以必定为奇数设，则此时， 23、证明：的最小正周期是分析：首先要验证是函数的周期，然后证明的正周期不能比小，用反证法。证明：是的周期。假设是的周期，即对，有成立令得： 93