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1、十一：二次函数聚焦考点温习理解一、二次函数的概念和图像 1、二次函数的概念一般地，如果，那么y叫做x 的二次函数。叫做二次函数的一般式。2、二次函数的图像二次函数的图像是一条关于对称的曲线，这条曲线叫抛物线。3、二次函数图像的画法五点法：（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴（2）求抛物线与坐标轴的交点：当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A,B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C的对称点D。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。二、二次函数的解析式 二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：（2）顶点式
2、：（3）当抛物线与x轴有交点时，即对应二次好方程有实根和存在时，根据二次三项式的分解因式，二次函数可转化为两根式。如果没有交点，则不能这样表示。三、二次函数的最值如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当时，。如果自变量的取值范围是，那么，首先要看是否在自变量取值范围内，若在此范围内，则当x=时，；若不在此范围内，则需要考虑函数在范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当时，当时，；如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当时，当时，。四、二次函数的性质 1、二次函数的性质2、二次函数中，的含义：表示开口方向：0时，抛物线开口向上, 0时，图像与x
3、轴有两个交点；当=0时，图像与x轴有一个交点；当y1y2.【解析】试题分析：将A,B,C三点坐标分别代入解析式，得：y1=3,y2=5-4,y3=15,y3y1y2.考点：二次函数的函数值比较大小.课时作业能力提升一选择题1（2015广安）如图，抛物线（）过点（1，0）和点（0，3），且顶点在第四象限，设P=，则P的取值范围是（）A3P1 B6P0 C3P0 D6P3【答案】B【解析】试题分析：抛物线（）过点（1，0）和点（0，3），0=ab+c，3=c，b=a3，当x=1时，=a+b+c，P=a+a33=2a6，顶点在第四象限，a0，b=a30，a3，0a3，62a60，即6P0故选B考点：
4、二次函数图象与系数的关系2.抛物线共有的性质是（ ）A开口向下 B对称轴是y轴 C都有最低点 Dy随x的增大而减小【答案】B考点：二次函数的性质3.（2015攀枝花）将抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度所得的抛物线解析式为（）A B C D【答案】C考点：二次函数图象与几何变换4.已知抛物线y=ax2+bx+c（a0）经过点（1，1）和（1，0）下列结论：ab+c=0；b24ac；当a0时，抛物线与x轴必有一个交点在点（1，0）的右侧；抛物线的对称轴为x=其中结论正确的个数有（ ）A4个 B3个 C2个 D1个【答案】B【解析】试题分析：抛物线y=ax2+bx+c（a0）经过点
5、（1，0），ab+c=0，故正确.抛物线y=ax2+bx+c（a0）经过点（1，1），a+b+c=1.又ab+c=0，两式相加，得2（a+c）=1，a+c=，两式相减，得2b=1，b=，当，即a= 时，b24ac=0，故错误.当a0时，0，抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个交点.设另一个交点的横坐标为x，则.a0，1.即抛物线与x轴必有一个交点在点（1，0）的右侧，故正确.抛物线的对称轴为，故正确综上所述，结论正确的有3个.故选B考点：1.二次函数图象上点的坐标特征；2.二次函数图象与系数的关系；3.二次函数与一元二次方程的关系；4.一元二次方程根的判别式和根与系数的关系；5.二次函数的性
6、质；6.不等式的性质.5.（2015.山东济南，第15题,3分）如图，抛物线y=2x2+8x6与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作C1，将C1向右平移得C2，C2与x轴交于点B，D若直线y=x+m与C1、C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是（） ABC D【答案】D【解析】试题分析：令y=2x2+8x6=0，即x24x+3=0，解得x=1或3，则点A（1，0），B（3，0），由于将C1向右平移2个长度单位得C2，则C2解析式为y=2（x4）2+2（3x5），当y=x+m1与C2相切时，令y=x+m1=y=2（x4）2+2，即2x215x+30+m1=0，=8m115=0，解
7、得m1=，当y=x+m2过点B时，即0=3+m2，m2=3，当时直线y=x+m与C1、C2共有3个不同的交点，故选：D考点：二次函数的图象.6.(2014甘肃省白银市)二次函数y=x2+bx+c，若b+c=0，则它的图象一定过点（）A（1，1）B（1，1）C（1，1）D（1，1）【答案】D.【解析】试题分析：对二次函数y=x2+bx+c，将b+c=0代入可得：y=x2+b（x1），则它的图象一定过点（1，1）故选D考点：二次函数图象与系数的关系7.（2015黑龙江绥化）把二次函数y=2x的图象向左平移1个单位长度 ，再向下平移2个单位长度 ，平移后抛物线的解析式为_.【答案】或（答出这两种形式
8、中任意一种均得分）考点：抛物线的平移.8.（2015辽宁沈阳）在平面直角坐标系中，二次函数（）的图象可能是（）A B C D【答案】D【解析】试题分析：二次函数（）的顶点坐标为（h，0），它的顶点坐标在x轴上，故选D考点：二次函数的图象二填空题9.如图，对称轴平行于y轴的抛物线与x轴交于（1，0），（3，0）两点，則它的对称轴为 .【答案】直线.【解析】试题分析：对称轴平行于y轴的抛物线与x轴交于（1，0），（3，0）两点，它的对称轴为.考点：二次函数的性质.10.已知抛物线y=ax2+bx+c(a0)与x轴交于A、B两点若点A的坐标为（-2,0)，抛物线的对称轴为直线x=2则线段AB的长为
9、.【答案】8考点：1.抛物线与x轴的交点问题；2.二次函数的性质11.（2015.山东枣庄，第12题，3分）如图是二次函数y=ax+bx+c（a0）图象的一部分，对称轴为x=，且经过点（2,0），有下列说法：abc0；a+b=0；4a+2b+c=0；若（0，y），（1，y）是抛物线上的两点，则y= y上述说法正确的是A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析： 由图象可得a0,又因为，所以b0,即abc0,正确；当x=1时，a+b=0；正确；当x=2时，4a+2b+c=0,错误；当x=1时，所得与抛物线与y轴的交点关于抛物线的对称轴对称，所以，正确.故选A.考点：二次函数的图象和性质1
10、2.（2015资阳）已知抛物线p：的顶点为C，与x轴相交于A、B两点（点A在点B左侧），点C关于x轴的对称点为C，我们称以A为顶点且过点C，对称轴与y轴平行的抛物线为抛物线p的“梦之星”抛物线，直线AC为抛物线p的“梦之星”直线若一条抛物线的“梦之星”抛物线和“梦之星”直线分别是和，则这条抛物线的解析式为 【答案】考点：1抛物线与x轴的交点；2二次函数的性质；3新定义三解答题13.如图，已知二次函数y=a（xh）2+的图象经过原点O（0，0），A（2，0）（1）写出该函数图象的对称轴；（2）若将线段OA绕点O逆时针旋转60到OA，试判断点A是否为该函数图象的顶点？【答案】(1)x=1；（2）是
11、.【解析】试题分析：（1）由于抛物线过点O（0，0），A（2，0），根据抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x=1；（2）作ABx轴与B，先根据旋转的性质得OA=OA=2，AOA=2，再根据含30度的直角三角形三边的关系得OB=OA=1，AB=OB=，则A点的坐标为（1，），根据抛物线的顶点式可判断点A为抛物线y=（x1）2+的顶点试题解析：（1）二次函数y=a（xh）2+的图象经过原点O（0，0），A（2，0）抛物线的对称轴为直线x=1；（2）点A是该函数图象的顶点理由如下：如图，作ABx轴于点B，线段OA绕点O逆时针旋转60到OA，OA=OA=2，AOA=2，在RtAOB中，OAB=30
12、，OB=OA=1，AB=OB=，A点的坐标为（1，），点A为抛物线y=（x1）2+的顶点考点：1.二次函数的性质；2.坐标与图形变化-旋转.14.（2015黑龙江省黑河市、齐齐哈尔市、大兴安岭）【6分】如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边长为4，顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴，抛物线经过B、C两点，点D为抛物线的顶点，连接AC、BD、CD（1）求此抛物线的解析式（2）求此抛物线顶点D的坐标和四边形ABCD的面积【答案】（1）；（2）D（2，6），12考点：1待定系数法求二次函数解析式；2二次函数图象上点的坐标特征15.(2015湖北衡阳，27题，分)（本小题满分10分）如图，顶点M
13、在轴上的抛物线与直线相交于A、B两点，且点A在轴上，点B的横坐标为2，连结AM、BM（1）求抛物线的函数关系式；（2）判断ABM的形状，并说明理由；（3）把抛物线与直线的交点称为抛物线的不动点若将（1）中抛物线平移，使其顶点为（，），当满足什么条件时，平移后的抛物线总有不动点？【答案】（1）抛物线的解析式为（2）ABM是直角三角形，且BAM90理由见试题解析； （3）平移后的抛物线总有不动点，【解析】试题解析：解：（1）点A是直线与轴的交点，A点为（-1，0） 点B在直线上，且横坐标为2，B点为（2，3） 过点A、B的抛物线的顶点M在轴上，故设其解析式为： ，解得： 抛物线的解析式为（2）ABM是直角三角形，且BAM90理由如下： 作BC轴于点C，A（-1，0）、B（2，3）ACBC3，BAC45； 点M是抛物线的顶点，M点为（0，-1）OAOM1，AOM90MAC45； BAMBACMAC90ABM是直角三角形 （3）将抛物线的顶点平移至点（，），则其解析式为 抛物线的不动点是抛物线与直线的交点， 化简得： 当时，方程总有实数根，即平移后的抛物线总有不动点 考点：二次函数的综合应用（待定系数法；直角三角形的判定；一元二次方程根的判别式）