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1、考点三十五：图形的相似聚焦考点温习理解1、比和比例的有关概念：（1）表示两个比相等的式子叫作比例式，简称比例.（2）第四比例项：若或a:b=c:d，那么d叫作a、b、c的第四比例项.（3）比例中项：若或a:b=b:c，b叫作a，c的比例中项.（4）黄金分割：把一条线段（AB）分割成两条线段，使其中较长线段（AC）是原线段AB与较短线段（BC）的比例线段，就叫作把这条线段黄金分割.即AC2=ABBC，AC=；一条线段的黄金分割点有两个.2.比例的基本性质及定理（1）（2）（3）3.平行线分线段成比例定理(1)三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.(2)平行于三角形一边截其他两边(或两边的延
2、长线)，所得的对应线段成比例；(3)如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边；(4)平行于三角形的一边，并且和其他两边(或两边的延长线)相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例4.相似三角形.相似三角形的定义：对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形相似比：相似三角形的对应边的比，叫做两个相似三角形的相似比5相似三角形的判定(1)平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所截得的三角形与原三角形相似；(2)两角对应相等，两三角形相似；(3)两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；(4)三边对应成比例
3、，两三角形相似；(5)两个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似；(6)直角三角形中被斜边上的高分成的两个三角形都与原三角形相似6相似三角形性质相似三角形的对应角相等，对应边成比例，对应高、对应中线、对应角平分线的比都等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方7相似多边形的性质(1)相似多边形对应角相等，对应边成比例(2)相似多边形周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方8位似图形(1)概念：如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，这样的图形叫做位似图形这个点叫做位似中心(2)性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比名师点睛典例
4、分类考点典例一、比例的基本性质、黄金分割【例1】已知，则的值是（）ABCD【答案】D【解析】试题分析：先设出b=5k，得出a=13k，再把a，b的值代入即可求出答案试题解析：令a，b分别等于13k和5k，；故选D考点：比例的性质【点睛】此题考查了比例的性质此题比较简单，解题的关键是注意掌握比例的性质与比例变形【举一反三】若4y-3x=0，则 【答案】.考点：比例的性质考点典例二、三角形相似的性质及判定 【例2】（2015.山东威海，第23题）（1）如图1，已知ACB=DCE=90，AC=BC=6，CD=CE，AE=3，CAE=45，求AD的长（2）如图2，已知ACB=DCE=90，ABC=CE
5、D=CAE=30，AC=3，AE=8，求AD的长【答案】AD=9；AD=【解析】（2）如图2，连接BE， 在RtACB中，ABC=CED=30，tan30=，ACB=DCE=90， BCE=ACD， ACDBCE， =，BAC=60，CAE=30， BAE=90，又AB=6，AE=8， BE=10， AD=考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定、平行四边形的性质、勾股定理的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力【举一反三】如图，在正方形ABCD中，点M是BC边上的任一点，连接AM并将线段AM绕M顺时针旋转90得到线段M
6、N，在CD边上取点P使CP=BM，连接NP，BP（1）求证：四边形BMNP是平行四边形；（2）线段MN与CD交于点Q，连接AQ，若MCQAMQ，则BM与MC存在怎样的数量关系？请说明理由【答案】(1)证明见解析；（2）BM=MC【解析】试题分析：（1）根据正方形的性质可得AB=BC，ABC=B，然后利用“边角边”证明ABM和BCP全等，根据全等三角形对应边相等可得AM=BP，BAM=CBP，再求出AMBP，从而得到MNBP，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可；（2）根据同角的余角相等求出BAM=CMQ，然后求出ABM和MCQ相似，根据相似三角形对应边成比例可得，再求出AMQ
7、ABM，根据相似三角形对应边成比例可得，从而得到，即可得解试题解析：（1）证明：在正方形ABCD中，AB=BC，ABC=B，在ABM和BCP中，ABMBCP（SAS），AM=BP，BAM=CBP，BAM+AMB=90，CBP+AMB=90，AMBP，AM并将线段AM绕M顺时针旋转90得到线段MN，AMMN，且AM=MN， MNBP，四边形BMNP是平行四边形；考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；正方形的性质考点典例三、相似三角形综合问题【例3】如图，已知AB是O的直径，BC是O的弦，弦EDAB于点F，交BC于点G，过点C的直线与ED的延长线交于点P，PCPG.(1)求证：PC
8、是O的切线；(2)当点C在劣弧AD上运动时，其他条件不变，若BG2BFBO.求证：点G是BC的中点（3）在满足（2）的条件下，AB=10，ED=4，求BG的长【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.试题解析：（1）证明：连OC，如图，EDAB，FBG+FGB=90，又PC=PG，1=2，而2=FGB，4=FBG，1+4=90，即OCPC，PC是O的切线；（2）证明：连OG，如图，BG2=BFBO，即BG：BO=BF：BG，而FBG=GBO，BGOBFG，OGB=BFG=90，即OGBG，BG=CG，即点G是BC的中点；（3）解：连OE，如图，EDAB，FE=FD，而AB=10，ED
9、=4，EF=2，OE=5，在RtOEF中，OF=，BF=5-1=4，BG2=BFBO，BG2=BFBO=45，BG=2考点：切线的判定与性质；勾股定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质【点睛】本题考查了切线的判定、垂径定理、勾股定理以及三角形相似的判定与性质等知识的综合运用【举一反三】课本中有一道作业题：有一块三角形余料ABC，它的边BC120 mm，高AD80 mm.要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上问加工成的正方形零件的边长是多少毫米？小颖解得此题的答案为48 mm，小颖善于反思，她又提出了如下的问题(1)如果原题中要加工的零件是一个矩形，且此
10、矩形是由两个并排放置的正方形所组成，如图，此时，这个矩形零件的两条边长又分别为多少毫米？请你计算(2)如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图，这样，此矩形零件的两条边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长 【答案】这个矩形零件的两条边长分别为mm，mm；S的最大值为2400mm2，此时PN=60mm，PQ=40mm【解析】试题分析：（1）设PN=2y（mm），则PQ=y（mm），然后根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式求出即可；（2）设PN=x，用PQ表示出AE的长度，然后根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式并用x表示出PN，然后根据矩形
11、的面积公式列式计算，再根据二次函数的最值问题解答（2）设PN=x（mm），矩形PQMN的面积为S（mm2），由条件可得APNABC，即，解得PQ=80-xS=PNPQ=x（80-x）=-x2+80x=-（x-60）2+2400，S的最大值为2400mm2，此时PN=60mm，PQ=80-60=40（mm）考点：相似三角形的应用；二次函数的最值考点典例四、相似多边形与位似图形【例4】如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，按要求画出A1B1C1和A2B2C2；（1）把ABC先向右平移4个单位，再向上平移1个单位，得到A1B1C1；（2）以图中的O为位似中心，将A1B1C1作位似变换且放
12、大到原来的两倍，得到A2B2C2【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析.【解析】试题分析：（1）把A、B、C三点先向右平移4个单位，再向上平移1个单位得到A1，B1，C1，顺次连接得到的各点即可；（2）延长OA1到A2，使0A2=20A1，同法得到其余各点，顺次连接即可试题解析：考点：作图-位似变换；作图-平移变换【点睛】本题考查了平移、位似的作图，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键【举一反三】（2015辽宁营口）如图，ABE和CDE是以点E为位似中心的位似图形，已知点A（3，4），点C（2，2），点D（3，1），则点D的对应点B的坐标是( ). A（4，2） B（4，1）
13、 C（5，2） D（5，1）【答案】C.考点：1.位似性质；2.平行线分线段成比例定理.课时作业能力提升一、选择题1. （2015成都）如图，在ABC中，DE/BC，AD=6，BD=3，AE=4，则EC的长为（ ）A1 B2 C3 D4【答案】B【解析】试题分析：根据平行线段的比例关系，即，故选B考点：平行线分线段成比例2. (2015黑龙江哈尔滨）如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在BA的延长线上，点F在BC的延长线上，连接EF，分别交AD、CD于点G，H，则下列结论错误的是（ ）（A） （B） （C） （D） 【答案】C【解析】试题分析：根据平行四边形的性质可得AEGBEF，DGHAG
14、E，CHFAGE，从而可以得出A、B、D三个选项是正确的，只有C选项是错误的.考点：三角形相似的应用.3. (2015湖北武汉，6题，3分）如图，在直角坐标系中，有两点A(6，3)、B(6，0)以原点O为位似中心，相似比为，在第一象限内把线段AB缩小后得到线段CD，则点C的坐标为（ ）A(2，1)B(2，0)C(3，3)D(3，1)【答案】A考点：位似图形的性质.4.（2015.山东淄博，第8题，4分）如图，在四边形ABCD中，DCAB，CBAB，AB=AD，CD=AB，点E、F分别为AB、AD的中点，则AEF与多边形BCDFE的面积之比为（）ABCD【答案】C.考点：相似三角形的判定与性质；
15、三角形的面积；三角形中位线定理5. (2014泰安)在ABC和A1B1C1中，下列四个命题：若ABA1B1，ACA1C1，AA1，则ABCA1B1C1；若ABA1B1，ACA1C1，BB1，则ABCA1B1C1；若AA1，CC1，则ABCA1B1C1；若AC：A1C1CB：C1B1，CC1，则ABCA1B1C1.其中真命题的个数为( )A4 B3 C2 D1【答案】B【解析】试题分析：分别利用相似三角形的判定和全等三角形的判定定理进行判断即可得到正确的选项考点：命题与定理；全等三角形的判定；相似三角形的判定6. （2015宜宾）如图，OAB与OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1：2，
16、OCD=90，CO=CD若B（1，0），则点C的坐标为（）A（1，2） B（1，1） C（，） D（2，1）【答案】B【解析】试题分析：OAB=OCD=90，AO=AB，CO=CD，等腰RtOAB与等腰RtOCD是位似图形，点B的坐标为（1，0），BO=1，则AO=AB=，A（，），等腰RtOAB与等腰RtOCD是位似图形，O为位似中心，相似比为1：2，点C的坐标为：（1，1）故选B考点：1位似变换；2坐标与图形性质7.（2015湖南株洲）如图，已知AB、CD、EF都与BD垂直，垂足分别是B、D、F，且AB1，CD3，那么EF的长是( )A、B、C、D、【答案】C考点：相似三角形的性质.二、填
17、空题1.（2015.河南省，第10题，3分）如图，ABC中，点D、E分别在边AB，BC上，DE/AC，若DB=4，DA=2，BE=3，则EC= .ECDBA第10题【答案】.【解析】试题分析：DE/AC,DB:AD=BE:CE,4:2=3:EC,EC=.考点：平行线分线段成比例定理.2.（2015.重庆市A卷，第15题，4分）已知ABCDEF,与的相似比为4:1，则与对应边上的高之比为 .【答案】4：1.【解析】试题分析：相似三角形对应边上的高、对应角的平分线、对应边上的中线之比，都等于相似比.所以ABC与DEF对应边上的高之比等于它们的相似比4：1.故答案为：4：1. 考点：相似三角形的性质
18、.3. （2015.重庆市B卷，第14题，4分）已知ABCDEF，若ABC与DEF的相似比为2:3，则ABC与DEF对应边上的中线的比为_.【答案】2:3【解析】试题分析：根据相似三角形对应边上的中线之比等于相似比可得：ABC与DEF对应边上的中线的比为2:3.考点：相似三角形的应用.4. (2015.天津市，第16题，3分)如图，在ABC中，DEBC，分别交AB，AC于点D，E. 若AD =3，DB =2，BC =6，则DE的长为.【答案】.考点:相似三角形的判定与性质.5.（2015自贡）将一副三角板按图叠放，则AOB与DOC的面积之比等于 【答案】1：3【解析】试题分析：设BC=x，AB
19、C=DCB=90，AB=BC，D=30，在RtDBC中，CD=BCcotD=x，ABD+DCB=180，AB=BC=x，ABCD，AOBCOD，AOB与DOC的面积之比为1：3故答案为：1：3考点：1相似三角形的判定与性质；2压轴题6.（2015凉山州）在ABCD中，M，N是AD边上的三等分点，连接BD，MC相交于O点，则SMOD：SCOB= 【答案】或考点：1相似三角形的判定与性质；2平行四边形的性质7.（2015辽宁沈阳）如图，ABC与DEF位似，位似中心为点O，且ABC的面积等于DEF面积的，则AB：DE= 【答案】2：3【解析】试题分析：ABC与DEF位似，位似中心为点O，ABCDEF
20、，ABC的面积：DEF面积=，AB：DE=2：3，故答案为：2：3考点：位似变换三、解答题1.如图，在ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，若DEBC，DE=2，BC=3，求的值【答案】.考点：相似三角形的判定与性质2.（2015.山东滨州第23题，10分）（本小题满分10分）如图，已知B、C、E三点在同一条直线上，ABC与DCE都是等边三角形.其中线段BD交AC于点G，线段AE交CD于点F.求证：（1）ACEBCD；（2）.【答案】试题解析：证明：（1）ABC与DCE都是等边三角形，AC=BC，CE =CD，ACB =DCE=60，ACB+ACD =DCE+ACD，即ACE =BCD，AC
21、EBCD（SAS）. （2）ABC与DCE都是等边三角形，AB=AC， CD=ED，ABC =DCE=60，ABDC， ABG =GDC，BAG=GCD， ABGCDG， . 同理，. .考点：三角形全等，三角形相似的判定与性质3（2015.山东泰安，第27题）（10分）如图，在ABC中，AB=AC，点P、D分别是BC、AC边上的点，且APD=B（1）求证：ACCD=CPBP；（2）若AB=10，BC=12，当PDAB时，求BP的长【答案】（1）证明见试题解析；（2）【解析】试题分析：（1）先证APD=B=C，从而有ABPPCD，即可得到，即ABCD=CPBP，由AB=AC即可得到ACCD=CPBP；（2）由PDAB得到APD=BAP，进而得到BAP=C，从而有BAPBCA，根据相似三角形的性质即可求出BP的长考点：1相似三角形的判定与性质；2综合题